Презентация по теме "Элементы теории процентных ставок"

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЭКОНОМИКА (32 часа)
лектор:
Марченко Ирина Владимировна
1
Тема 1. Элементы теории
процентных ставок
2
§ 1.1. Логика финансовых операций.
Учет фактора времени
Финансовая операция предполагает совокупность
условий, согласованных участниками:
• сумма кредита (займа, инвестиций),
• сроки операции,
• способы начисления процентов.
Для оценивания результатов фин. операции необходим
количественный анализ: совокупность методов расчета.
(Финансовая математика, Финансовые и коммерческие
расчеты).
Принцип: неравноценность сумм, отнесенных к
разным моментам времени.
Следствие: неправомерность суммирования сумм,
отнесенным к разным моментам времени.
3
Простейшим видом финансовой операции является однократное предоставление в долг некоторой суммы
PV (present value) с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сумма FV (future
value).
Результативность подобной сделки может быть
оценена различными показателями:
4
.
Найдем проценты, процентную ставку, учетную ставку,
дисконт-фактор.
5
6
§ 1.2. Наращение и дисконтирование по
простым процентам
Схема простых процентов предполагает неизменность
суммы с которой начисляются проценты.
Пусть
PV – инвестируемый капитал
r
– годовая доходность (процентная ставка)
PV •r – величина ежегодного увеличения капитала
Через n лет величина инвестируемого капитала составит:
FV  PV  PV  r   PV  r  PV 1  nr 
– формула наращения по простым процентам.
1  nr  – множитель наращения
I  FV  PV  PVnr – проценты (прирост капитала)
7
Наращение по простым процентам в случае, когда
продолжительность финансовой операции n не равна
целому числу лет, определяется по формуле:
t 

FV  PV  1  r 
 T 
(день выдачи и день погашения ссуды принято считать
за один день)
T – количество дней в году
• точные проценты ( точное число дней в году (365 или 366),
в квартале (от 89 до 92), в месяце (от 28 до 31);
• обыкновенные проценты ( приближенное
число дней в году,
квартале и месяце (соответственно 360, 90, 30).
t – продолжительность финансовой операции в днях
• точное число дней ссуды (расчет ведется по дням);
• приближенное число дней ссуды (месяц 30 дней).
8
В применяются различные способы расчетов:
1) обыкновенные проценты с приближенным числом дней
 360 360 
2) обыкновенные проценты с точным числом дней
 365 360, ACT
360 
3) точные проценты с точным числом дней
 365 365, ACT
ACT 
Для упрощения процедуры расчета точного числа дней
пользуются специальными таблицами (Таблица 1,
Таблица 2).
9
10
обратно
11
t

FV  PV  1 
 T

 153

r   40  1 
0,12   42,04

 360

12
FV
PV 
1  nr
1
– множитель дисконтирования показывает
1  nr долю капитала PV в FV
FVnr
– дисконт
D  FV  PV 
1  nr
FV  PV 1  nr  
FV
4,5
PV 

3
1  nr 1  5  0,1
D  FV  PV  4,5  3  1,5
13
Владелец векселя на сумму FV предлагает банку купить
его раньше срока оплаты векселя по меньшей цене PV –
банковское дисконтирование,
PV – дисконтированная величина векселя,
d – ставка дисконтирования (учетная ставка)
D – дисконт, удерживаемая в пользу банка сумма
D  FVnd
Владелец векселя получит:
PV  FV  FVnd  FV (1  nd )
14
PV  FV (1  nd ) – формула банковского дисконтирования
(1  nd ) – дисконтный множитель (коэф. дисконтирования)
 25  30  25 
PV  FV (1  nd )  100  1 
0,1  97,78
360


D  FV  PV  100  96,94  2,23
Задача, обратная банковскому дисконтированию,
называется наращением по учетной ставке.
PV
FV 
1  nd
15
§ 1.3. Сложные проценты. Номинальная и
эквивалентная процентные ставки
Инвестиция, сделанная на условиях сложного процента,
предполагает, что очередной доход за период
начисляется не с первоначальной величины капитала,
а с общей суммы, включающей также и ранее
начисленные и не востребованные инвестором
проценты.
FV  PV  FM1 r , n 
FV  PV (1  r )n
– формула наращения по сложным процентам
FM1 r , n   (1  r )n – коэф. наращения по сложным
процентам (см. таблицу 3).
Экономический смысл: коэф. наращения
показывает во сколько раз увеличится капитал в одну
единицу через n периодов при заданной процентной
ставке r.
16
Сравнение простой и сложной схемы
наращения капитала
FV  PV 1  nr 
FV  PV (1  r )n
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
сложные
проценты
простые
проценты
17
18
Финансовые контракты могут заключаться на
период, отличающийся от целого числа лет.
В этом случае существуют различные методы
подсчета наращенной суммы:
• по схеме сложных процентов: FV  PV (1  r )a  b
• по смешанной схеме :
FV  PV (1  r )a (1  br )
a   n  – целое число лет
b  n   n  – дробная часть года.
a3
b
4 1

12 3
ab
FV  PV (1  r )
 20 1  0,1
40
12
 20  1,373  27,48
1
3
FV  PV (1  r )a (1  br )  20 1  0,1  1  0,1   27,5
3

19
Начисление сложных процентов несколько раз в
году:
 m   годовая процентная ставка при m-разовом количестве
r
начислений в году (номинальная ставка)
1 m – длительность периода наращения
r
m
– процентная ставка за период
m
Формула наращения при m-разовом количестве
начислений процентов в году:
m
mn
 r 
FV  PV  1 


m


 r m

FV  PV  FM1
, mn 
 m



20
Эффективная процентная ставка – это годовая ставка
сложных процентов, которая дает тот же результат, что и
m-разовое начисление процентов по ставке r  m  m .
m
 r
1  ref   1 

m




m

m
 r
ref   1 

m

m

  1

21
12
 0,12 
ref   1 
 1  0,1268

12 

2
0,14


ref   1 
 1  0,1449

2 

Если две номинальные годовые процентные ставm
m
ки r  1 и r  2  определяют одну и ту же эффективную
ставку, они называются эквивалентными:
m1
m2
m1 
m2 


 r

 r

1  ref   1 
   1 


m1 
m2 


Вычисление номинальной ставки по известной эф1
фективной:


m
r  m 1  ref  m  1
22


1
1




4

r  2 1  0,1 2  1  0,097 r  4 1  0,1 4  1  0,0964




Формула, описывающая процесс дисконтирования по сложным процентам имеет вид:
FV
FV
PV 

 FV  FM 2(r , n )
n
(1  r )
FM1(r , n )
 2
FM 2(r , n ) 
1
n

v
– множитель дисконтирования
n
1  r 
(табл. 4)
Экономический смысл множителя дисконтирования:
он показывает «сегодняшнюю» цену одной денежной
единицы будущего спустя n периодов при ставке
доходности r.
23
Формула дисконтирования при m-разовом количестве
начислений в году:
 r m

FV
PV 
 FV  FM 2 
, mn 
mn


m
 r m 


 1 

m


PV 
PV 
5
23
 5  FM 2 12 %,6   5  0,5066  2,533
123
 5  FM 2  2 %,36   5  0,4902  2,451
 0,24 
1 2 


5
 0,24 
 1  12 


24
§ 1.4. Сложная учетная ставка
PV  FV 1  d 
m
 d
PV  FV  1 

m

n



mn
25
m
 d
def  1   1 

m

 m1 
 d
1  def   1 

m1




m1



m
 m2 
 d
 1

m2




m2

m
 d
def  1   1 

m




m
26
FV 
FV 
PV
1  d 
n
PV
m
 d
 1 
m




nm
27
§ 1.5. Учет инфляции
t 
Ip
P2

P1
P2  P1
ht 
P1
28
t 
I p  1  ht
I p  
t
P2 2P

2
P1
P
t 
 t1 
ht  I p   1  2  1  1 или 100%
t
 t2 
Ip  Ip  Ip 
 tk 
 Ip
  I p   1  hti 
k
 ti 
i 1
если ht1  ht2 
 htk  h,
k
i 1
то I p  1  h 
t 
k
29
1
Ip

 I

 1
 12 
 
p



12
 1  0,02  1,2682
12
FV 
FV 
6
1  0,02 
2
FV
I p 
t
 5,767
30
Наращение по схеме простых процентов:
PV 1  nr 
FV 
t
I p 
Наращение по схеме сложных процентов:
FV 
PV 1  r 
1  nr 
n
I p 
t
1  nr
I p 
t
31
1  nrreal 
rreal 
1 r
t 
Ip
1  nr
I p 
t
1  0,16
1
 1  0,074
1  0,08
32