теоремы синусов Различные способы доказательства и история жизни первого

Проект по математике
«Треугольник простейший и неисчерпаемый»
Различные способы
доказательства
теоремы синусов
и история жизни первого
ученого, доказавшего её
Выполнили ученицы 9 академического класса
Алешина Арина и Наумчик Ирина
Создатель теоремы синусов -
Брахмагупта
БРАХМАГУПТА (Brahmagupta)
(598 – ок. 665), последний и наиболее
выдающийся из древних индийских
математиков и астрономов. Родом из
Удджайна в Средней Индии, где у него
была астрономическая обсерватория. В
628 изложил четвертую индуистскую
астрономическую систему в
стихотворной форме в сочинении
Открытие Вселенной
(Брахма-спхута-сиддханта).
Создатель теоремы синусов -
Брахмагупта
Две его главы посвящены математике, в
том числе арифметической прогрессии и
доказательству различных геометрических
теорем. Остальные 23 главы посвящены
астрономии: в них описаны фазы Луны,
соединения планет, солнечные и лунные
затмения, даны расчеты положений
планет. Труд Брахмагупты был переведен
на арабский язык и таким образом попал в
Египет, а оттуда в Европу.
Теорема
Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов.
Доказательство:
Пусть есть Δ ABC со сторонами a, b,
с и углами α, β, γ. Докажем, что
a
b
c


sin  sin  sin 
Проведем из точки С высоту CD.
Тогда из Δ ACD получим:
CD  b sin 
Теорема
Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов
Доказательство:
Если угол α тупой, то
Из Δ BCD получаем
Аналогично получаем
Теорема доказана.
Следствие из теоремы синусов
Доказательство
Теоре́ма си́ нусов — теорема, устанавливающая зависимость
между сторонами треугольника и противолежащими им
углами. Теорема утверждает, что стороны треугольника
пропорциональны синусам противолежащих углов, или, в
расширенной формулировке:
.
Следствие из теоремы синусов
Для произвольного треугольника
где a, b, c — стороны треугольника, α,β,γ — соответственно
противолежащие им углы, а R — радиус описанной около
треугольника окружности.
Следствие из теоремы синусов
Доказательство
Достаточно доказать следующие положения
Проведем диаметр | BG | для описанной
окружности. По свойству углов,
вписанных в окружность, угол
прямой и угол при вершине G треугольника
равен либо α, если точки A и G лежат по одну сторону от
прямой BC, либо π − α в противном случае.
Поскольку sin(π − α) = sinα, в обоих случаях a = 2R sinα. Повторив то же
рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем