Некоторые следствия из теоремы Пифагора

Учитель математики
ГОУ СОШ № 738
г. Москва
Власова Т.Г.
• Теорема Пифагора позволяет вывести много
интересных геометрических фактов. Полезными для
решения задач оказываются и некоторые следствия из
теоремы.
Теорема 1. Разность квадратов двух сторон треугольника
равна разности квадратов их проекций на
третью сторону, т.е. AC² - BC² = AD² - BD².
Доказательство:
В треугольнике ACD АС² = AD² + СD² (1).
В треугольнике BCD BC² = BD² + CD² (2).
Вычитая из равенства (1) равенство (2), получим:
AC² - BC² = AD² - BD².
Задача 1. На прямой даны две точки А и В. Через точку В проведен
перпендикуляр ВС к прямой АВ. Серединный перпендикуляр к
отрезку АС пересекает прямую АВ в точке D.
а) Докажите, что треугольник ADC – равнобедренный.
б) Выразите высоту ВС в треугольнике ADC через длины отрезков AD и BD.
РЕШЕНИЕ.
1) Применим теорему 1 для треугольника ACD. AD² - CD² = AE² - CE² (1).
Но так как по условию АЕ = СЕ, то правая часть равенства (1) есть 0,
тогда AD² = CD², откуда AD = CD, т. е. треугольник ADC –
равнобедренный.
2) В прямоугольном треугольнике BCD BC² = CD² - BD², но CD = AD,
поэтому BC² = AD² - BD², отсюда ВС = AD 2  BD 2
Задача решена.
Задача 2. На прямой даны точки А и В. Постройте на этой прямой точку D
так, чтобы разность квадратов ее расстояний до точек А и В была равна
квадрату длины данного отрезка k.
1) Проведем прямую ВС перпендикулярно прямой АВ и отложим на ней
отрезок ВС = k.
2) Пусть Е – середина отрезка АС. Проведем ED АС, где D – точка
пересечения АВ и ЕD.
Построенная таким образом точка D удовлетворяет условию задачи
и является единственной.
Теорема 2. Для любого отрезка длины k на прямой АВ
существует единственная точка, разность квадратов
расстояний от которой до точек А и В равна k² .
k
k
A
.
D
k² = AD² - BD²
B
Теорема 3. Если в ∆ АСВ на стороне АВ или ее продолжении
дана точка D, такая, что CВ² - CА² = DВ² - DА²,
то CD – высота.
Теорема 4. Если две прямые AB и CD перпендикулярны,
то имеет место равенство:
AC² - BC² = AD² - BD².
C
A
O
D
B
1
Теорема 5 (обратная): Если даны две прямые AB и CD и имеет
место равенство AC² - BC² = AD² - BD²,
то эти прямые перпендикулярны.
С
А
В
D
Задача 3. Докажите, что если точка М принадлежит хорде АВ окружности
с центром О и радиусом R, то произведение отрезков АМ и МВ
равно R² - OM²
Решение.
В треугольнике АОМ проведем
высоту ОD и применим
теорему 1.
AO² - OM² = AD² - DM²,
АО = R, поэтому
R² - OM² = (AD – DM)(AD + DM).
Т. к. треугольник АОВ равнобедренный, то AD = BD
и тогда R² - OM² = MB ∙ AM, что
требовалось доказать.
Задача 4. Докажите, что если из точки М, лежащей вне окружности
с центром О и радиусом R, проведена секущая,
пересекающая окружность в точках А и В,
то произведение отрезков АМ и МВ равно ОМ² - R² .
Решение.
Проведем ОС перпендикулярно
МВ и применим к ∆ВОМ
теорему 1:
OM² - R² = МС² - ВС²,
OM² - R² = (МС – ВС)(МС + ВС).
Так как
МС – ВС = МС – АС = АМ,
а МС + ВС = ВМ, то
OM² - R² = АM ∙ MВ.
Задача решена.
Теорема 6. Если хорды АВ и СD окружности
пересекаются в точке М, то
АМ ∙ ВМ = СМ ∙ DM.
Доказательство.
В ∆АОВ, согласно задаче 3,
R² - OM² = АM ∙ ВM.
В ∆СОD, аналогично,
R² - OM² = СM ∙ DM.
Из этих равенств следует,
что АM ∙ ВM = СM ∙ DM.
Теорема 7. Если из точки М к окружности проведены две секущие,
пересекающие окружность соответственно в точках А
и В, C и D, то АМ · ВМ = СМ ∙ DM.
Теорема 1 позволяет вычислить проекцию одной стороны
треугольника на другую.
Согласно следствию мы имеем систему
a 2  b 2  ac2  bc2 ,

ac  bc  с;
a 2  b 2  ac  bc ac  bc ;
a 2  b 2  ac  c  ac c;
a 2  b 2  2a c c  c 2 ;
a 2  b 2  a c2  bc2 ,

a c  bc  ñ;
a2  c2  b2
ac 
.
2c
Аналогично получаем
или
b2  c2  a2
bc 
2c
a 2  b 2  c 2  2c  bc
(если угол, лежащий против стороны с - острый)
a 2  b 2  c 2  2c  bc
(если угол, лежащий против стороны с - тупой)