Соотношение между сторонами и углами

Соотношение между
сторонами и углами
прямоугольного
треугольника
Синус, косинус и тангенс острого угла
прямоугольного треугольника
Рассмотрим прямоугольный
треугольник
B
 ABC  A  90°
 С ,  B – острые углы
C
A
Рассмотрим  С ,
катет АВ является противолежащим углу С,
катет АС является прилежащим углу С.
Синус, косинус и тангенс острого угла
прямоугольного треугольника
Синусом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
противолежащего катета к гипотенузе:
B
AB
sin C 
BC
Косинусом острого угла
прямоугольного треугольника
называется отношение
прилежащего катета к гипотенузе:
cos C 
AC
BC
С
A
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника
называется отношение противолежащего катета к
прилежащему катету:
AB
tgC 
AC
Историческая справка
Синус, косинус и тангенс острого угла
прямоугольного треугольника
Задача №1.
В
Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В
треугольника АВС с прямым углом С,
если ВС = 12, АС = 9.
Решение:
А
1. По теореме Пифагора АВ = 15.
2.
3.
BС 4
AС 3
BC 4
sin А 

cos А 

tgА 

АВ 5
АВ 5
АC 3
AС 3
BС 4
AC 3
sin B 

cos B 

tgB 

АВ 5
АВ 5
BC 4
С
Синус, косинус и тангенс острого угла
прямоугольного треугольника
 Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.
sin A  sin A BC AB BC




 tgA
tg A 


cos A  cos A AB AC AC
 Если острый угол одного прямоугольного треугольника
равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то
синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и
тангенсы этих углов равны.
Если A = A1, то sin A = sin A1, cos A = cos A1, tg A = tg A1.
 Основное тригонометрическое тождество
  BC 2  AC 2 BC 2  AC 2

2
2
 1
sin A  cos A  1  
 
 
2

AB
AB
AB






Тест
Историческая справка
Значения синуса, косинуса и тангенса
для углов 30˚ ,45˚ и 60˚
Т.к. катет, лежащий против угла в 30˚, равен половине
BC
гипотенузы, то BC  1 . Но
 sin A  sin 30˚.
AB
AB 2
BC
 cos B  cos 60˚.
С другой стороны,
AB
1
1
30˚
Получаем sin30˚= , cos60˚= 2 .
2
А
Из основного тригонометрического тождества получаем
В
60˚
С
1
3 sin 60˚ 1  cos 2 60˚  1  1  3
cos 30˚ 1  sin 30˚ 1  
4
2
4
2
sin 30˚ 1
3
sin A


По формуле tg A 
получаем tg 30˚
cos 30˚ 3
3
cos A
sin 60˚
tg 60˚
 3
cos 60˚
Тест
2
Таблица значений sin  , cos  , tg для углов  ,
равных 30˚, 45˚, 60˚

30˚
45˚
60˚
sin 
1
2
2
2
3
2
cos 
3
2
2
2
1
2
tg
3
3
1
3
Тест
Историческая справка
Слово «синус» появилось в математике далеко не сразу. В
работах греческих астрономов встречается величина «хорда»,
что значит «струна». В V в. этот термин попал в Индию, где
был переведен на местный научный язык санскрит, как
«джива» - «тетива лука». В VIII в. в переводах индийских
работ на арабский язык слово «джива» было переведено как
«джайб», что означало «впадина». В XII в. арабские
математические книги стали переводить на латинский язык, и
«джайб» («впадина») было переведено словом «синус».
«Косинус» – это сокращение латинского выражения completely
sinus, т. е. «дополнительный синус» (или иначе «синус
дополнительной дуги»).
Название «тангенс» появилось в XVI в., также имеет
латинские корни и переводится как «касающийся».
Определения
Тождества
Историческая справка
Тригонометрия - слово греческое и в буквальном
переводе означает измерение треугольников.
В данном случае измерение треугольников следует
понимать как решение треугольников, т.е. определение
сторон, углов и других элементов треугольника, если
даны некоторые из них.
Возникновение
тригонометрии
связано
с
землеизмерением, астрономией и строительным делом.
Впервые способы решения треугольников, основанные
на зависимостях между сторонами и углами
треугольника,
были
найдены
древнегреческими
астрономами
Гиппархом
и
Клавдием
Птолемеем (2в. н.э.)
Определения
Гиппарх
Клавдий
Птолемей
Тождества
Анонимное тестирование
 Укажите свой класс
 Ответьте на 2 вопроса:
 Оцените сегодняшний урок по 5-ти бальной системе
1 – совсем не понравился,
2 – скорее не понравился, чем понравился,
3 – трудно сказать что-то определенное,
4 – понравился, но были уроки лучше,
5 – очень понравился
 Сравните урок с использованием презентации и без нее
1 – лучше, когда учитель пишет на доске,
2 – не вижу особых различий,
3 – с презентацией интереснее и понятнее