ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА. ПРИЗНАКИ И СВОЙСТВА. Выполнила: Рогачева Маша ученица 8 класса. Параллелограмм. Тема1: B A C D ПАРАЛЛЕЛОГРАММ – четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Первое свойст во параллелограмма. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. B C 4 2 1 A 3 D Рассмотрим параллелограмм ABCD диагональ AC делит его на два треугольника ABC и ACD. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (по 2 признаку) (AC общая сторона, угол 1 равен углу 2 и угол 3 равен углу 4 т.к накрест лежащие углы при секущей AC и параллельных прямых AB и CD, AD и BC) следовательно AB = CD, AD = BC, угол B равен углу C. Далее пользуясь равенством углов 1и 2, 3 и 4 получаем: угол A = угол 1+3=2+4= углу C. Вт орое свойст во параллелограмма. Диагонали в параллелограмме точкой пересечения делят ся пополам. B 1 3 A C o 4 2 D Пуст ь O - т очка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD. Треугольники AOB и COD равны по ст ороне и двум прилежащим к ней углам.(AB=CD как прот ивоположные ст ороны параллелограмма, угол 1=2 и угол 3=4 как накрест лежащие углы при пересечение прямых AB и CD секущими AC и BD) поэт ому AO=OC и OD=OB. Первый признак параллелограмма. Если в чет ырёхугольнике две ст ороны равны и параллельны, т о B эт от чет ырёхугольник 1 параллелограмм. C 3 4 2 A D Пусть в четырёхугольнике стороны параллельны AB и CD,AB=CD. Проведём диагональ BD, разделяющую данный четырёхугольник на два треугольника: ABD и CBD. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними(BD общая сторона , AB=CD по условию,угол1=2 как накрест лежащие углы при пересечение параллельных прямых AB и CD и секущей BD .) поэтому угол 3=4, но углы 3 и 4 накрест лежащие при пересечение прямых BC и AD секущей BD , следовательно, BC параллельна AD. Таким образом в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, ВТОРОЙ ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛОГРАММА. Если в четырёхугольнике противоположенные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник параллелограмм. B C 1 A 2 D Проведём диагональ BD данного четырёхугольника ABCD, разделяющую его на треугольники ABD и BCD . Эти треугольники равны по трём сторонам(BD - общая сторона, AB = CD, BC=AD по условию.) поэтому угол 1=2. отсюда следует, что AB параллельна CD . Т.к BC=AD, BC параллельна AD, то по 1 признаку этот четырёхугольник параллелограмм. Третий признак параллелограмма. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник параллелограмм. B C O 3 1 A 5 6 2 4 D Рассмотрим четырёхугольник ABCD , в котором BD и AC диагонали пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Треугольник и равны по первому признак(AO =CO, BO=OD по условию угол 1=2 как вертикальные) поэтому 3=4 и угол 5=6 . Из равенства углов следует, что AB параллельна CD, следовательно AB CD равны и параллельны, по 1 признаку четырёхугольник ABCD параллелограмм.