Треугольник, простейший и неисчерпаемый

Треугольник, простейший и
неисчерпаемый
Работа ученицы 10 класса
Заокской средней школы
Афониной Светланы
Руководитель Шариброва Л.С.
Элементы треугольника
Основными элементами
треугольника АВС являются
вершины - точки А, В, С;
стороны - отрезки а=ВС; б=АС;
с=АВ, соединяющие вершины;
углы, образовпнные тремя
парами сторон. Углы часто
обозначают так же, как и
вершины, - буквами А, В и С.
Кроме этих основных элементов
в треугольнике рассматривают
и другие отрезки, обладающие
интересными своиствами,
прежде всего средние линии,
медианы, биссектрисы и
высоты.
С
вершина
сторона
б
а
угол
А
с
В
Средние линии - это отрезки, соединяющие
середины двух сторон. Три средние линии
треугольника образуют «вписанный» в него
треугольник называемый серединным.
Медианы - отрезки, соединяющие вершины
треугольника с серединами противоположных
сторон.
Биссектрисами называют заключённые внутри
треугольника отрезки прямых, которые делят
пополам его углы.
Высоты представляют собой перпендикуляры,
опущенные из вершин треугольника на
противоположные стороны. Если один из
углов при стороне треугольника тупой, то
опущенная на неё высота падает на
продолжение её стороны.
С
Высота
Средние
линии
Медиана
А
В
Биссектриса
Виды треугольников
При определении вида треугольника
учитывают велечины его углов и
наличие равных сторон. По первому из
этих признаков треугольники делятся
на остроугольные - у них все углы
острые, прямоугольные - с прямым
углом и тупоугольные - с тупым углом.
У любого треугольника сумма углов
равна развёрнутому углу, или 180
градусов, а потому только один из его
углов не может быть острым.
Стороны прямоугольного треугольника
имеют особые названия: сторона,
лежащая против прямого угла,
называются гипотенузой, а две другие
стороны катетами.
Прямоугольный
Остроугольный
Тупоугольный
Равносторонний
(правильный)
По наличию равных сторон различают три
вида треугольников. У равносторонних
(или правильных) треугольников все три
стороны равны. Равнобедренные
треугольники имеют две равные
стороны; эти стороны называют
боковыми, а третью сторону основанием. Все остальные
треугольники - разносторонние.
Те же виды получаются, если сравнить их
по степени симметричности. Если
вырезать два одинаковых
оазносторонних треугольника, то их
можно будет совместить лишь одним
способом, если они равнобедренные, то
двумя, ну а если равносторонние, то аж
шестью.
Равнобедренный
Разносторонний
Равнобедренный треугольник
В одной из первых теорем «Начал» Евклида сформулировано основное свойство
равнобедренного треугольника: углы при его основании равны.
Впоследствии теорема получила название «мост ослов». Объясняют такое название, с одной
стороны тем, что чертёж, использованный Евклидом для её доказательства, напоминает мостик,
а с другой - мнением, будто только ослы не могут этот мостик перейти.
Обычно для доказательства равенства углов при основании равнобедренного треугольника
используют его симметричность. Треугольник можно перевернуть и наложить на себя так, что
каждая из боковых сторон совпадёт с другой: тогда и углы при основании сместятся друг с
другом. Верна и обратная теорема: «Если углы при основании треугольника равны, то он
равнобедренный.» Таким образом, равенство углов при основании треугольника - это признак,т.е.
Достаточное условие того, что он равнобедренный.
Есть и другие признаки. Например, треугольник будет равнобедренным,
если любые два из трёх отрезков - медиана, высота или биссектриса,
проведённые к основанию, равны. Вот ещё три признака: «Если в
равнобедренном треугольнике равны две медианы, или две
, высоты, или две биссектрисы, то такой треугольник
равнобедренный.» Эту теорему доказать очень сложно. Это
так называемая теорема Штейнера - Лемуса.Интересно, что
в истории С. Л. Лемус остался только благодаря доказательству
этой теоремы.
Признаки равенства
треугольников
Треугольники АВС и А1В1С1 называются равными,если они имеют
соответственно равные стороны и углы,т.е. Сторона АВ равна
стороне А1В1,угол при вершине А равен углу при вершине А1
второго треугольника и.т.д.Это равносильно следующему
определению,применимому к любым фигурам:треугольники
равны,если существует движение,преводящее один из них в
другой.Равенство двух треугольников,т.е. Всех их шести
элементов,можно вывести из равенства некоторых трёх
элементов.Соответствующие теоремы называются признаками
равенства треугольников.Вот три таких признака.1:«Если у двух
треугольников равны две стороны и угол, заключённый
между ними,то эти треугольники равны.»
2:«Треугольники равны,если сторона и прилежащие к ней
углы одного треугольника равны стороне и прилежещим к
ним углам другого.» 3:«Если стороны двух треугольников
соответственно равны,то равны и сами треугольники.»
Для равенства прямоугольных треугольников достаточно потребовать
равенства любых двух элементов(помимо прямого угла),если хотя
бы один из них сторона.
3 признак
Сумма углов треугольника
Если в качестве трёх элементов произвольного треугольника взять его
углы,то возникает совсем другая ситуация: существует бесконечно
много попарно неравных треугольников с углами, равными углам
данного треугольника.Дело в том,что,зная 3 угла,мы на самом деле
знаем только два независимых элемента треугольника:равенство
двух пар углов двух треугольников гарантирует равенство и третьих
углов.Этот факт следует из теоремы:«У любого треугольника
сумма углов равна 180 градусов»
Теорема о сумме углов треугольника была известна ещё
пифагорейцам,по крайней мере для правильного треугольника.Они выводили её из
факта,что плоскость можно покрыть равными правильными треугольниками без
пробелов
и перекрытий.Это верно и для треугольников произвольной формы.В любом узле
образующейся треугольной сетки сходится шесть углов,среди которых каждый угол
треугольника встречается ровно два раза.Таким образом, сумма всех этих шести
углов,т.е. удвоенная сумма углов треугольника, равно полному углу - 360 градусов.
Внешний угол
В некоторых случаях вместо теоремы о
сумме углов удобнее использовать
равносильное ей свойство внешнего
угла треугольника,т.е.угла,
образованного стороной и
продолжением другой стороны:
«Внешний угол треугольника равен
сумме двух внутренних углов,не
смежных с ним.»
Теорема о сумме углов треугольника факт,характерный именно для
евклидовой геометрии.Например, на
поверхности шара сумма углов
треугольника может применять разные
значения,но всегда больше 180
градусов.Кроме того,для треугольников
на сфере справедлив признак равенства
по трём углам.
А
В
С
Признаки подобия
Говорят,что треугольники подобны,если их углы соответственно
равны,а стороны пропорциональны.Каждый из двух подобных
треугольников можно перевести в другой отображением,при
котором все расстояния изменяются в одинаковое число раз.
Простейший случай подобия возникает,когда в треугольнике
проводят среднюю линию.Отрезаемый ею треугольник имеет
те же углы и вдвое меньшие стороны,чем исходный.Из этого
следует теорема о средней линии треугольника «Средняя
линия треугольника,которая соединяет его боковые
стороны,равна половине основания и параллельна
ему.»Подобие треугольников можно установить с помощью 3
признаков,которые соответствуют признакам равенства
треугольников: «Два треугольника подобны:1.Если они
имеют по равному углу и отношения заключающих его
сторон равны;2.если их соответственные углы равны;
3.если их соответственные стороны
пропорциональны.»
Эти признаки часто применяют в доказательство теорем,в том
числе и теорем о замечательных точках и линиях
треугольника.
А
В1
В
С1
С
Теорема Пифагора
Формулы,связывающие между собой длины отрезков,площади,величины углов в фигурах,
называются метрическими соотношениями.И,пожалуй,самое знаменитое из таких
соотношений-теорема Пифагора.Она устанавливает простую зависимость между
сторонами прямоугольного треугольника:«Квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов.»Эта теорема была известна ещё до Пифагора.Например,
«египетский треугольник» со сторонами 3,4 и 5 - говорится в папирусе,который историки
относят приблизительно к 2000 г.до н.э.То же соотношение встречается и на вавилонских
клинописных табличках,и в древнекитайских,и в древнеиндийских трактатах.Однако в
современности математики считают,что именно Пифагор дал первое логически стройное
доказательство.
Справедливо и утверждение обратное теореме Пифагора «Если квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов сторон,то треугольник прямоугольный.»
Благодаря тому,что теорема Пифагора помогает находить длину отрезка(гипотенузы), не
измеряя его непосредственно,она как бы открывает путь с прямой на плоскость,с
плоскости в трёхмерное пространство и дальше - в многомерные пространства.Этим
определяется её исключительная важность для геометрии и математики в целом.
Теорема Пифагора лежит в основе многих более общих метрических соотношений на
плоскости и в пространстве.И в значительной степени на неё опирается и
тригонометрия,ведь важнейшее тригонометрическое тождество - это та же Теорема
Пифагора,записанная в другом виде.
Доказательство теоремы
Пифагора
Со времён Пифагора появилось несколько сотен
доказательств его знаменитой теоремы,так что
она даже попала в Книгу рекордов
Гиннесса.Однако принципиально различных
идей в этих доказательствах используется
сравнительно немного.
В ряде доказательств используется подобие
треугольников.Вот,возможно,наиболее
характерное из таких
доказательств.Высота,опущенная на
гипотенузу,разбивает данный прямоугольный
треугольник с площадью S на два ему подобных
с площадями Sa и Sb.При этом его стороны
оказываются гипотенузами трёх
треугольников.Площади треугольников
относятся,как квадраты его сторон:
Sa : Sb : S=a 2 : b 2 : c 2 .Но Sa + Sb = S.
Следовательно, a2 + b2 = c 2 .
c
a
Sa
Sb
b