ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ Работа учащихся 8 класса «Г» Давыдова Дмитрия и Меркулова Георгия

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
Работа учащихся 8 класса «Г»
Давыдова Дмитрия и
Меркулова Георгия
Учитель Акимова Т.Д.
Подобие треугольников широко
применяется при решении задач.
Цель нашего проекта – обобщение
материала по теме «Подобие
треугольников» и решение задач ГИА
и практического содержания с
применением этого метода.
Определение подобных
треугольников
Два треугольника называются подобными, если их
углы соответственно равны и стороны одного
треугольника
пропорциональны
сходственным
сторонам другого.
B
B1
A
C
A1
C1
Число k, равное отношению сходственных сторон
треугольников, называется коэффициентом подобия
k
AB
BC
AC


A1 B1 B1C1 A1C1
Отношение площадей подобных
треугольников
Отношением площадей двух подобных треугольников
равно квадрату коэффициента подобия
S ABC
 k2
S A1B1C1
B
A
B1
C
A1
C1
Признаки подобия треугольников
I признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум
углам другого треугольника, то такие треугольники подобны
Дано:
ABC, A1B1C1,
A = A1, B = B1
B
B1
Доказать:
ABC
A1B1C1
A
C
A1
C1
Доказательство первого признака подобия
B
A
B1
C
A1
C1
По теореме о сумме углов треугольника: С=180°-А-В,С1=180°-А1-С1
следовательно угол С равен углу С1. Значит, углы треугольника АВС
соответственно равны углам треугольника А1В1С1.
Докажем ,что стороны треугольника АВС пропорциональны
сходственным сторонам треугольника А1В1С1.Т.к  А=  А1 и  С= 
С1,то
SABC
AB  AC

SA1B1C1 A1 B1  A1C1
и
SABC
AC  CB

SA1B1C1 A1C1  C1 B1
Из равенств пункта 2 следует, что
AB
BC

A1 B1 B1C1
Аналогично, используя равенства  A=  A1,  B= B1, получаем
BС
CA

B1C1 C1 A1
Признаки подобия треугольников
II признак подобия треугольников
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум
сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими
сторонами, равны, то такие треугольники подобны
Дано:
ABC, A1B1C1,
A = A1
AB
AC

A1 B1 A1C1
Доказать:
ABC
B
B1
A1B1C1
A
C
A1
C1
Доказательство второго признака подобия
C
A
1
B1
2
С2
B
A1
C1
Рассмотрим треугольник АВС2,у которого  1=  A1,
 2=  B1.
∆ABC2~∆A1B1C1(по первому признаку подобия)
Значит, AB AC2

A1 B1 A1C
С другой стороны
AB
AC

A1 B1 A1C1 (по условию).
Получаем АС=АС2
∆АВС и ∆АВС2 равны по двум сторонам и углу межу ними(АВобщая сторона, АС=АС2 и  A=<1,т.к
 A=  A1 и  1=  A1)
Следует, что  B=  2, а так как  2=  B1,то
 B=  B1.
Признаки подобия треугольников
III признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем
сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны
Дано:
ABC, A1B1C1,
AB
BC
AC


A1 B1 B1C1 A1C1
B
Доказать:
ABC
A1B1C1
A
B1
C
A1
C1
Доказательство третьего признака подобия
C1
A1
C
A
B1
Треугольники АВС2 и А1В1С1 подобны по первому
признаку подобия треугольников, поэтому
AB BC 2
AC2


A1 B1 B1C 1 A1C1
Получаем: ВС=ВС2, AC=AС2. Треугольники АВС и
АВС2 равны по трем сторонам. отсюда следует, что
А=  1,а так как
1=  A1, A=  A1.
ВС=ВС2, СА=С2А
∆АВС= ∆АВС2 по трём сторонам. Из этого следует ,
что А= 1 => А= А 1
1
2
C2
B
Задача об определении
высоты здания
B
D
Хм
1,5 м
С
18м
А
Е
2м
Для того чтобы определить высоту здания,
нужно поставить на некоторое расстояние от здания
шест DЕ с вращающейся планкой
и направить планку на верхнею точку В.
Отметить на поверхности земли точку А, в которой прямая ВD
пересекается с поверхностью земли.
В
D
Хм
1,5 м
С
Рассмотрим
АВС и
1.
С=
Е= 90°
2.
А - общий
18м
А
Е
2м
АDЕ
АВС~
АDЕ
(по 1 признаку подобия треугольников)
Из подобия треугольников следует:
BC AC

DE AE
DE  AC
BC 
EA
В
D
Хм
1,5 м
С
18м
А
Е
2м
Измерив расстояние АС и ЕА, и
зная длину шеста DЕ, по
полученной формуле
определим высоту здания
1,5  20
BC 
 15( м)
2
Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1м, а длинное плечо 4м. На
какую высоту (в метрах) поднимается конец длинного плеча, когда конец
короткого опускается на 0,5м?
B1
?м
A
C
1
2
A1
B
Решение: Найдём A 1B 1
Рассмотрим ΔABC и ΔA1B1C.
А= А1=90°
1= 2 (как вертикальные)
AC
AB

A1C A1 B1
1
0,5

;
4 A1 B1
Ответ: 2
A1 B1 
ΔABC ~ ΔA1B1C (по двум углам)
0,5  4
 2 (M)
1
Проектор полностью освещает экран A
высотой 80 см, расположенный на
расстоянии 250 см от проектора. На каком
расстоянии (в сантиметрах) от проектора С
нужно расположить экран B высотой 160
см, чтобы он был полностью совещён,
если настройки проектора остаются
неизменными?
F
D
M
E
Решение: Найти CH
Рассмотрим треугольники CDE и CFN:
∆CDE ∆CFN
1) C – общий
по двум углам
2) Так как ∆CDE и ∆CFN равнобедренные, а
С общий, значит CDE= CFN
FN CH

DE CM
DE=80 см; FN=160 см; CM=250 см
FN CH
160 CH


250 160
CH=
=500 (см)
DE CM
80 250
80
Ответ: 500
H
N
Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции АВСD,
проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и
пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F
соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 12 см, BC
= 24 см.
1)ΔBOC ~ ΔAOD по двум углам:
а) ∠ BOC = ∠ DOA как вертикальные;
б) ∠ CBO = ∠ ADO как внутренние
накрест лежащие углы при BC ||AD и
секущей BD.
BO CO BC 24



2
DO AO AD 12
EO
BO
2 DO
2 DO 2
EO BO




BO = 2DO; CO = 2AO;


AD
BO

DO
2
DO

DO
3
DO
3
2)ΔEBO ~ ΔABD по двум углам: AD BD
2
а) ∠ B – общий;
EO  AD = 8 см
б) ∠ BEO = ∠ BAD как
3
соответственные при EO ||AD и Аналогично, из подобия ΔACD и ΔOFC,
получаем OF = 8 cм
секущей AE.
EO+ OF= EF
EF = 16 см
Ответ: 16 см.
Высота треугольника разбивает его основание на два
отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты,
если известно, что другая высота треугольника делит
ее пополам.
Пусть высота BH треугольника ABC разбивает основание AC на отрезки
AH=8 и CH=9, высота AK пересекает высоту BH в точке M, причем
BM=MH=x.
Треугольники AHM и BKM подобны (по двум углам)
Треугольники BKM и BHC подобны (по двум углам)
Получаем пропорцию
MH CH
x
9

, тт есть 
, откуда x 2  36.
AH BH
8 2x
Следовательно, BM=6, и BH=12.
Ответ: 12.
В трапеции проведен отрезок, параллельный основаниям и делящий ее на две
трапеции одинаковой площади. Найдите длину этого отрезка, если основание
трапеции равны24 2 см и 7 2 см
Пусть AD=b, BC=a. Проведем отрезок KL, делящий трапецию на две равновеликие трапеции и
обозначим его длину x. Проведем из C высоту и отрезок CE, параллельный стороне AB. Точки
пересечения этих отрезков с отрезком KL назовем M и N соответственно.
Из условия следует, что
2(a  x)  CM  (a  b)  CH.
Из подобия треугольников NCL и ECD следует:
Следовательно,
CM NL x  a
xa


, откуда CM 
 CH.
CH ED b  a
ba
xa
2(a  x) 
 CH  (a  b)  CH
ba
Разделим обе части равенства на CH:
2( x 2  a 2 )
 (a  b),
ba
Откуда
b2  a 2
a 2  b2
a 2  b2
2
x a 
; x 
; x
.
2
2
2
Подставляя a  7 2 и b  24 2 , получаем :
2
2
x
Ответ:25
2.49  2.576
 625  25
2
В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, описанной
около некоторой окружности, проведена высота BH. Из точки H опущен
перпендикуляр HE на прямую AB. В каком отношении точка E делит
отрезок AB, если известно, что BC:AD=3:5?
Пусть BC=3x, AD=5x. Суммы противоположных сторон у описанного около окружности
четырехугольника равны, поэтому AB+CD=8x и, значит, AB=4x.
AH 
1
( AD  BC )  x
2
Применим соотношение в прямоугольном треугольнике:
AH 2  AE  AB.
AH 2 x 2 1
Тогда AE 

 x.
AB
4x 4
AB
Следовательно,
 16 и ттогд BE : AE  15 : 1.
AE
Ответ: 15 : 1.
Прямая, параллельная основаниям MP и NK
трапеции MNKP,
проходит через точку пересечения диагоналей
трапеции и пересекает
её боковые стороны MN и KP в точках A и B
соответственно. Найдите длину отрезка AB, если
MP=40 см, NK=24 см.
Решение:
1) ΔMOP ~ΔKON по двум углам:
3
а) ∠NOK=∠MOP как вертикальные;
3) Аналогично BO  NK  15см
5
б) ∠PMO=∠NKO как внутренние накрест
4) AB=30 см.
лежащие углы при NK||MP и секущей MK.
Ответ: 30 см.
NO KO NK 24 3




PO MO MP 40 5
3
3
KO  MO; NO  PO
5
5
2) ΔAMO ~ΔNMK по двум углам:
а) ∠М - общий;
б) ∠ MAO=∠MNK как соответственные при
AO||NK и секущей MN.
AO MO
MO
MO
5MO 5





NK MK MO  KO MO  3 MO 8MO 8
5
AO 
5
NK  15см
8
В трапеции проведен отрезок, параллельный
основаниям и делящий её на две трапеции
одинаковой площади. Найдите длину этого
отрезка, если основания трапеции равны 24√2
см и 7√2 см.
Решение:
Пусть AD=b, BC=a. Проведем отрезок KL,
делящий трапецию на две равновеликие
трапеции и обозначим его длину x. Проведем из
C высоту CH и отрезок CE, параллельный
стороне AB. Точки пересечения этих отрезков с
отрезком KL назовем M и N соответственно.
Из условия следует, что:
A
b a
2
x  a2 ; x 
x2  a2 
CM NL x  a


, откудаCM 
 CH
CH ED b  a
ba
Следовательно,
xa
2(a  x) 
 CH  (a  b)  CH
ba
Разделим обе части равенства на CH:
2( x 2  a 2 )
 a  b,
ba
откуда
b2  a 2 2 a 2  b2
a2  b2
x a 
;x 
;x 
2
2
2
2
2
N
K
2(a  x)  CM  (a  b)  CH
Из подобия треугольников NCL и ECD следует:
2
2
C
B
E
M
H
L
D
Подставляем a= 7 2 и b= 24 2
получаем:
x
2  49  2  576
 625  25
2
Ответ: 25
В прямоугольном треугольнике ABC
катет AC равен 8, катет BC равен 15.
Найдите радиус окружности, которая
проходит через концы гипотенузы
O
треугольника и касается прямой BC.
A
Решение:
По условию окружность проходит через
M
точку B. это единственная общая точка
окружности и прямой BC. Следовательно, C
B
радиус OB окружности перпендикулярен
1
прямой BC. Поэтому прямые AC и OB
AB 2
Тогда OB =
параллельны.
16
Центр окружности равно удален от точек
289
OB

A и B, следовательно, он лежит на
16
серединном перпендикуляре к AB.
Обозначим середину AB буквой M.
289
Ответ : OB 
MBO=BAC – это накрестлежащие
16
углы при параллельных прямых AC и OB и
секущей AB. Следовательно,
прямоугольные треугольники ACB и BMO
подобны. По теореме Пифагора найдём,
что AB = 17. коэффициент подобия равен:
BM OB

AC AB
BM
AB 17


AC 2 AC 16