Подобные треугольники. Выполнили: Карташов Алексей Пучков Евгений Пропорциональные отрезки AB CD Говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1 B1и C1,D1 если AB = CD. Отношение отрезков АВ и СD называется отношение их длин, т.е. A1 B1 C1 D1 Например, отрезки AB и CD, длины которых равны 2см и 1см, пропорциональны отрезкам A1 B1и C1 D1 , длины которых равны 3см и 1,5см. 2 В самом деле, AB = CD = . A1 B1 C1 D1 3 Понятие пропорциональности вводится и для большего числа отрезков. Так, например 3 отрезка АВ, CD и EF пропорциональны трем отрезкам A1 B1 ,C1 D1 и E1 F1 , если справедливо равенство , AB = CD = EF. A1 B1 C1 D1 E1 F1 Что хотим узнать??? Подобные треугольники Определение подобных треугольников Признаки подобия 1-ый признак 2-ой признак конец Отношение площадей подобных треугольников 3-ий признак Определение подобных треугольников Пусть в двух треугольниках АВС и A1 B1C1углы соответственно равны: A A1, B B1 , C C1. В этом случае стороны АВ и A1 B1 , ВC и B1C1, CA и C1 A1 называются сходственными. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Другими словами 2 треугольника называются подобными если: 1) A A1 , B B1 , C C1 2) AB BC CA k , где k коэффициент подобия A1 B1 B1C1 C1 A1 Отношение площадей подобных треугольников ТЕОРЕМА Отношение двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия В B1 S ABC k2 S A1B1C1 А С A1 C1 1-ый признак ТЕОРЕМА Если 2 угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого ,то такие треугольники подобны B1 В А С A1 Доказательство C1 2-ой признак ТЕОРЕМА Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны B1 В А A A1 И С CA AB = A1 B1 C1 A1 A1 C1 Доказательство 3-ий признак Теорема Если три стороны треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны B1 В А AB BC AC A1 B1 B1C1 A1C1 С A1 C1 Доказательство Доказательство 1 B 180 A C B1 180 A1 C1 В Следовательно B B 1 Углы треугольника АВС соответственно равны углам треугольника A1 B1C1 . Т.к. A A1 и S ABC AC BC S A1B1C1 A1C1 B1C1 B B1 С A A1 А C C1 S ABC AB AC и то S A1B1C1 A1 B1 A1C1 B1 BC = A1 B1 B1C1 AB Аналогично для A A1 и C C1 CA BC Получим = B1C1 C1 A1 A1 C1 Доказательство 2 1) С CA AB = 2) A A1 C A A1 B1 1 1 Учитывая первый признак подобия можно доказать, что B B1 А 1 Рассмотрим ABC 2 у которого 1 A1 и 2 B1 Треугольники ABC 2 и A1 B1C1 подобны по первому признаку AC AB A B A C2 и AB = CA AC AC 2 1 1 1 1 A1 B1 C1 A1 Треугольники АВС и ABC 2 равны (СУС) B 2 и 2 B1 B B1 A1 2 В C2 C1 B1 Доказательство 3 C1 AB BC AC A1 B1 B1C1 A1C1 Учитывая второй признак подобия можно доказать что 2) A1 A A1 Рассмотрим ABC 2 у которого 1 A1 и 2 B1 Треугольники АВС и ABC 2 Подобны по первому признаку BC 2 C 2 A AB A1 B1 B1C1 C1 A1 BC BC 2 и CA C2 A Треугольник АВС= ABC 2 (3 стороны) Т.к. 1 A1 и A 1 АВС подобен A1 B1C1 B1 1 2 B1 C2 В A 1 A A1 1) А С Спасибо за внимание!!!!! ВЫХОД