Понятие «систематизация» в психолого

Алексеева Наталья Евгеньевна,
учитель математики, высшая квалификационная категория
ГБОУ школа №292 с углубленным изучением математики, Санкт-Петербург
Понятие «систематизация» в психолого-педагогической и методической
литературе
Статья содержит ответы на следующие вопросы: что понимается под
понятием «систематизация»; каким образом устанавливаются связи между
знаниями; средства и приемы систематизации. Также автором предложена
методика работы по систематизации знаний учащихся о свойствах
элементарных функций, основных видов уравнений и неравенств.
В школьных условиях систематизация представляет один из видов учебной
деятельности учителя и учащихся, результат которой – овладение учащимися системой
знаний. При этом необходимо помнить о том, что осуществлять эту деятельность должны
учащиеся, а направлять и организовывать – учитель, так как система знаний будет полезна
учащимся только в том случае, если построят они ее сами, а не получат готовой.
Приведение знаний в систему является одним из наиболее эффективных средств их
закрепления. Учитывая то, что система представляет собой множество элементов,
находящихся в отношениях и связях друг с другом, которое образует определенную
целостность, единство, отмечу, что в процессе построения системы знаний необходимо
устанавливать связи между элементами из некоторой систематизируемой совокупности
знаний.
Элементами математических знаний являются:

представления о понятиях, определения понятий, свойства понятий,

математические факты (формулировки теорем, аксиом, формулы),

различные способы деятельности (алгоритмы, правила, методы решения задач и
доказательства математических утверждений).
В подтверждение того, что систематизация не может осуществляться без выделения
связей между объектами, которые преобразуют множество изучаемых объектов в систему,
приведу высказывание Ю.A. Самарина (4, с.263): «Если знания школьника представляют
собой ассоциации, замкнутые в пределах соответствующих параграфов и глав учебника, то
есть остаются частно-системными ассоциациями, и не устанавливаются те связи
(ассоциации), которые дают возможность соотнести изучаемые знания друг с другом внутри
1
данного учебного предмета, то мы не можем говорить об эффективности учебновоспитательного процесса».
Для формирования системы знаний надо выделять элементы знаний, подлежащих
систематизации, и устанавливать между ними различные взаимосвязи, обусловленные
необходимостью одного знания для применения или получения другого.
Поскольку систематизация знаний – это процесс установления между ними связей, а
связи на уровне осознания способа их применения устанавливаются только в деятельности,
то основным средством организации деятельности учащихся служат наборы задач и система
вопросов к ним, это поможет ученику стать активным участником процесса получения
знаний и объединения их в новую систему.
Осуществление
систематизации
невозможно
без
использования
специальных
приемов, таких как обобщение, аналогия, структурирование, классификация.
Результаты систематизации знаний удобно оформлять в виде схем, таблиц. Это
облегчит восприятие и сохранение в памяти учащихся системы объектов и теоретических
фактов; а также будет способствовать актуализации и выбору необходимых знаний в
процессе решения задач.
В качестве примера рассмотрим работу по систематизации знаний учащихся о
свойствах элементарных функций, основных видов уравнений и неравенств.
Занятия проводились в 9 классах на уроках обобщающего повторения в конце курса алгебры.
Цель: актуализировать знания учащихся о свойствах элементарных функций (у = кх + в,
у = ах 2 + вх +с, у = k/х; у = х р ); методах решения ранее изученных уравнений и неравенств
(метод равносильных переходов, метод разложения на множители, метод интервалов
(решение неравенств), метод введения новых переменных, функционально-графический
метод).
Методика работы состоит из 2 блоков:
I.
Недельное домашнее задание;
II.
Занятия на тему: «элементарные функции, решение уравнений и неравенств»
(2 урока).
Рассмотрим содержание каждого блока:
I. Недельное домашнее задание.
Для успешного выполнения домашней работы учащиеся должны были повторить свойства
изученных функций, способы решения основных видов уравнений и неравенств.
Содержание работы:
1) Найти область определения функции:
2
х 2  5х  6
1
х  4 ; б) у =  х  2 ; в) у = 3 + (х – 5) 2 ; г) у = х 3 ; д) у = 6
3
х  9 х3  8
Ответы: а) люб.ч.; б) х = 2; в) х  R; г) х  0; д) ( -  ; -2) U (-2; -1) U (-1; 1) U (1; 2) U
4
а) у =
3;
2) Найти множество значений функции:
1

1
а) у = 0,5 – 2х; б) у = (-3 – х) + 1; в) у =
; г) у = х 3 ; д) у = х 2  4 х  3
х2
Ответы: а) у  R; б) у  1; в) у  0; г) у  0; д) у  0
2
3) Найти нули функции:
2х 2х 1
а) у =

х 1 х  3
г) у = 2 х  1 х  3х  4
б) у = х 2  3
д) у =
х 2  7 х  120
х 5 3
х 6  3х 4  х 2  3
в) у =
е) у = х  х  7
х 3  64 х
1
Ответы: а) х = - ; б) х =  3 ; в) х =  1; г) х = 2; д) х = 15; е) нулей не имеет
7
4) Найти абсциссы точек пересечения графиков функций:
 3х
х2  х  5
у2  2
а) у1 
4
х
х  х 5
2
б) у1  х  4 х  3
у2 = -2
у2  2 х  6
у2  хх  5
в) у1  ( х  3) х 2  5 х  4
г) у1  х  2х  3
д) у1  х  х  3
у2  3х  1
е) у 1  5
у2  х 3
Ответы: а) х = 1; х = -5; х =  1  6 ; б) нет точек пересечения; в) х = 0, х = 5; г) х = - 0,6; д)
х = 4; е) х =  3 5
5) Установить, при каких значениях х график одной функции лежит выше графика другой:
а) у1  х  0,8
у2  13
б) у1 = -5
у2 = х 2  х  1 х 2  х  7


в) у1 = х  4
у2 = -2х – 1
г) у1 = х - 1
у2 =
д) у1 = 4
1
е) у1 =
х
у2 = х  13
2

2 х 2  3х  5
2
у2 = - х
Ответ: а) при х  0 ; б)  2;1 U 2;3 ; в) х  -3 , х  1е) х  0, х  0
6) Найти значения х, при которых значения функции:
3
6 ; г)
5
 х 3 ; д) 1  х  9
2
а) положительны:
у = х
3

2
 6 х 2  5х  12  (3  2 х  х 2 ) 2
1)
2) у = 5  2 х  3
3) у =
х 2  7 х  12  6  х
б) отрицательны:
4
х 3  х  1  х  5
5 х 2  х  4 3х 2  4 х  1
2
1) у 
;
2)
;
3)
у
=
у


х3
2 х 2  х  1 4 х 2  5х  1
1  4 х х  32 х  8
24
Ответы: а) 1) при х  -3 и х  1; 2) при х  (-1; 4); 3) при х 
;
19
1 1 
 1

б) 1)  ;5 U  0;  U 8;  ; 2) х  3; 3)   1;  U  ;1
2 4 
 4

7) Задача: Найти наибольшее значение площади трапеции, если сумма ее средней линии и
высоты равна 12 см . Ответ: 36 см 2
8) Решить графически:
3
2х 1
 х ; г) 3 + х 
; д) х 4 + х 2 + 4х – 3 = 0
х 1
х 1
II. Занятие на тему: «Элементарные функции, решение уравнений и неравенств».
а)
х 1  х2  7 ;
б)
3
х   х  1 ; в)
2
Организация работы: класс распределяется на группы (по 2–3 человека), каждая группа дома
готовит ответ на один из десяти предложенных вопросов. На занятии обсуждаются данные
вопросы, заслушиваются доклады групп, под руководством учителя учащиеся составляют
систематизирующие таблицы.
Вопросы:
1. Что такое область определения и множество значений функции; область определения
уравнения, неравенства.
2. Свойствами каких функций вы пользовались при выполнении домашнего задания?
Укажите для данных функций область определения, множество значений, какие из
них четны (нечетны), промежутки знакопостоянства и промежутки монотонности.
3. Сколько корней имеет линейное уравнение? Как решить линейное неравенство? Как
определить число корней квадратного уравнения? Какие формулы нахождения корней
вам известны?
4. Наибольшее или наименьшее значение принимает функция у =ах 2+вх+с при а  0 (а 
0)?
В
каком
случае
квадратичная
функция
принимает
отрицательные
(положительные) значения на всей области определения?
5. Какие уравнения называются равносильными? Когда одно уравнение называют
следствием другого? Какие из известных вам преобразований приводят к уравнениюследствию?
4
6. Как доказать, что уравнения равносильны? А как доказать, что уравнения не
равносильны? Как доказать, что одно уравнение является следствием другого?
7. Что происходит с множеством корней при переходе к уравнению-следствию? При
решении каких уравнений могут появиться посторонние корни? Как избавиться от
посторонних корней?
8. Какие
уравнения
(неравенства)
называются
иррациональными?
Как
решить
простейшее иррациональное уравнение (неравенство)?
9. В чем заключается метод интервалов? (Сформулируйте алгоритм)
10. Графический метод решения уравнений (неравенств) (план решения уравнения
(неравенства) данным методом). Какие еще методы решения уравнений (неравенств)
вам известны? (Использовали при выполнении домашней работы).
Работая над данными вопросами, полезно представлять полученную информацию в
виде систематизирующих таблиц, схем, определенных записей. Например, при ответе на
восьмой вопрос учащимися были составлены следующие таблицы:
Простейшие иррациональные уравнения
n - нечетно
n
n
х  b ( b  0),
x  a (а  0), х = аn
корней нет
n - четно
n
x  a (а  0), х = an
n
n
n
x  b ( b  0), x = bn
Простейшие иррациональные неравенства
n
x  a ( а  0), x  a ;
x  a ( а  0), 𝑥𝜖[0;𝑎𝑛 )

n

x  c ( с  0), х  0;
n
x  a (при любых а),
х 𝜖 (𝑎𝑛 ; +∞)
x  a (при любых а),
хϵ(-∞; 𝑎𝑛 )
n
f x   g x 
f x   g x 
 f x   g 2 x   f x   g x 


 f x   0
 g x   0
(или g(x)  0)
Неравенства в системах, как
правило, проверяют, а не
решают
x  c (с  0), решений нет
n
f ( x)  g ( x)
 g ( x ) 0

 f ( x)  0
 f ( x ) g 2 ( x )

√𝑓(х) < √𝑔(𝑥)
 f ( x)  0

 f ( x ) g ( x )
5
f ( x)  g ( x) √𝑓(х) > √𝑔(𝑥)
 f ( x)  0
 f ( x) g ( x)


 g ( x)  0
  g ( x ) 0
 g ( x)  0

 f ( x) g 2 ( x)

 f ( x)  0
Список источников:
1. Алгебра и геометрия в таблицах и схемах / Роганин А.Н., Дергачев В.А. – Ростов н/Д:
«Феникс», 2006.
2. Алгебра. 9 класс. Учебник / Алимов Ш.А. и др. – М.: «Просвещение», 2011.
3. Алгебра: Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9
классе / Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. 5-е изд. – М.:
«Просвещение», 2010.
4. ГИА 2013. Математика. 9 класс. Государственная итоговая аттестация (в новой
форме). Типовые тестовые задания / Ященко И.В. и др. – М.: «Экзамен», 2013.
5. Очерки психологии ума. Особенности умственной деятельности школьников /
Ю.А.Самарин; АПН РСФСР. – М.: « АПН РСФСР», 1962.
6