Динамическая дифракция рентгеновских лучей в кристаллах

Динамическая теория дифракции
рентгеновских лучей в кристаллах
(лекция)
В. А. Бушуев
Московский государственный университет
имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия
e-mail: [email protected]
Вторая Балтийская школа “Методы и инструменты
рентгеновских исследований”
Калининград, 3-7 октября 2013 года
Краткий план:
1. Общие сведения о рентгеновском излучении
2. Уравнения Максвелла
3. Кинематическое приближение
4. А так ли нам она нужна, эта самая динамическая теория ??
5. Основные положения и уравнения динамической
теории дифракции. Два подхода к этой теории.
6. Граничные условия. Геометрии Брэгга и Лауэ.
Коэффициенты отражения и прохождения.
7. Некоторые примеры
...осмелюсь напомнить, что...
Рентгеновские лучи (X-rays) – электромагнитное излучение
с длиной волны   rат  d  1 Ангстрема = 10-8 см = 0.1 нм.
Именно поэтому они применяются для ....
Энергия рентгеновских фотонов ћ  10 кэВ >> энергии
связи не слишком глубоких электронов
Открытие X-rays – Вильгельм Конрад Рентген (1895 г.)
Нобелевская премия (первая в мире) – 1901 г.
... и это всегда приятно напомнить другому физическому, но
не рентгеновскому люду, а именно: оптикам, акустикам,
магнетологам, радиофизикам, астрономам, гонцами за новыми
элементарными частицами, искателями кварков и других темных
и скрытых материй, энергий и действенных идей....)
...всегда надо “танцевать” от эксперимента...
S3
2
S2
1
S1

5
4
3
Схема эксперимента по регистрации кривой дифракционного
отражения (КДО). 1 - рентгеновская трубка, СИ, РЛСЭ;
2 - кристалл-монохроматор, 3 - гониометр, 4 – исследуемый
образец, 5 - детектор, S1-3 - щели.
Микроскопические уравнения Максвелла
(поле + заряды в вакууме)
1 H ,
rot E  c t
divE = 4πρ,
1  E

rot H  
 4j 
c  t

divH = 0.
E = E(r, t), H = H(r, t) – вещественные не усредненные
функции координаты r и времени t (никакой мистики).
ρ(r, t) = eψψ* – плотность заряда,
j(r, t) – ток зарядов, возмущенный эл.-магн. полем.
Макроскопическое уравнение Максвелла
Введем поляризацию P и индукцию D:
P
j ,
t
D = E + 4πP
1 
rotrot E(r, t )  2 2 D(r, t )  0.
c t
2
Уравнение одно, а неизвестных – два (E, D) ??
Материальное уравнение (линейный случай)
t



4P (r, t )   dt   d r (r, r; t , t ) E (r, t ),
i
3
ij
j
χij – поляризуемость среды (в общем случае тензор
второго ранга).
Для стационарных сред: τ
= t - t΄.
Для кристаллов (трансляционная симметрия)
ˆ (r, r; )  ˆ (r  a, r  a; ) 
  ˆ g (r  r, ) e
g
igr
- теорема Блоха
Метод преобразований (интегралов) Фурье

E(r, t )   E(k, ) exp(ikr  it )d kd,
3

где фурье-амплитуды (частотно-угловой спектр)
1 
3
E(k, ) 
E(r, t ) exp( ikr  it )d rdt.
4 
(2) 
Вопрос: что такое k и ω ??
.....волновой вектор и частота – не правильно
Немые переменные интегр: k = щ, ы; 1,2,3; синий,
красный, серо-буро-малиновый и т.п.
Простейший случай.
Излучение в вакууме (P = 0, D = E)
Из уравнения Максвелла следует, что
k2 = (/c)2
Обычно отвечают, что k = ω/c = 2π/λ.
Правильно, но не совсем...
Еще говорят, что k = (/c)n
Уже лучше, учтена возможность наличия
встречных (обратных) волн, но все равно
ответ не полный ... кое-что мы потеряли ...
Мы чуть не упустили такое решение:
k = k΄ + ik΄΄
(комплексный вектор, в вакууме, как это не
звучит пародоксально !!!!)
Условие прежнее:
k2 = k΄2 - k΄΄2 + 2ik΄k΄΄ = ω2/c2
Отсюда:
k΄2 - k΄΄2 = k2;
k΄k΄΄ = 0.
Это плоская неоднородная (эванесцентная) волна.
Поверхности равных фаз и амплитуд взаимно
ортогональны.
4P(k, )   ˆ g (k, )E(k  g, ),
g
где


ˆ g (k, )   d ρ  dˆ g (ρ, ) exp( ikρ  it ).

3
0
В рентгеновском диапазоне вдали от краев поглощения связь между P и E локальная и изотропная (!!):
4P(r, ) = (r, )E(r, ),
Индукция D = E + 4P = E, где  = 1 + ,
 - диэлектрическая проницаемость.
При больших частотах смещение электрона x
определяется вторым законом Ньютона md2x/dt2 = eE.
Отсюда смещение x = (e/m2)E, а поляризация
P = exn(r), где n(r) - плотность электронов.
4n(r )e 2
(r )  
2
m
Фурье-компоненты поляризуемости h
1
 h  V (r ) exp( ihr )dr
Vc c
где Vc  объем элементарной ячейки.
n0 r0 2
h  
Fh

где n0 = Vc-1  плотность элементарных ячеек, r0 = e2/mc2
Оценим 0 для кристалла кремния (параметр
решетки a = 5.43 A, 8 атомов в ячейке, 14 электронов
в атоме). Так как r0 = 2.81013 см,
n0 = 1/a3 = 6.251021 см 3, F0 = 814, то для
CuK-излучения ( = 1.54 A) получим, что
0 = 1.5105.
Видно, что величина 0 крайне мала и отрицательна.
Последнее приводит, в частности, к явлению полного
внешнего отражения (ПВО) РЛ (в отличие от полного
внутреннего отражения в оптике видимого диапазона,
для которого 0 > 0).
Есть два понятия (подхода) в физике
рассеяния рентгеновских лучей:
1. Кинематическая теория (а лучше
и правильнее сказать – приближение)
2. Динамическая теория (как наиболее
точная и адекватная)
Аксиомы кинематической теории
1. Пренебрегаем поглощением (l << 1)
2. Пренебрегаем преломлением (  1-5 угл. сек)
3. Пренебрегаем влиянием рассеянной волны на проходящую волну, т.е. R << 1 (однократное рассеяние).
R  10-4
N << 1/R = 104, т.е. толщина
L = Nd << 3 мкм.
kh
S
k0
N
A(S)   f n (S) exp(iSRn )
n 1
S = kh – k0
Кинематическое рассеяние
.
R(r)
E0 , k0
r
k
R0 E = E0 + E1 + ... (E1 << E0)
2E =  k2(r)E
E
+
k
1
1
0
R = R0 - r
S = k - k0 - вектор рассеяния
0 n(r)

eikR
E1 ( R0 )   E0  (r )
exp( ik 0r )dr - первое Борновское
R

приближение
В дальней зоне (область Фраунгофера) R  R0  (R0/R0)r

E1 (S)   n(r ) exp( iSr )dr

Если бы знать фазу, то можно из
обратного фурье-преобразования
восстановить 3D-строение
объекта n(r) !!! (см. ниже)
Динамическая дифракция
Здесь самосогласованным образом учитывается все:
1. Поглощение,
2. Преломление, иными словами – граничные условия !!
3. И самое главное – многократность процессов рассеяния
X-ray
2
1
5
1
3
9
4
2
6
7
10
8
11
14
13
3
4
атомные плоскости
15
12
Граничные условия
Bragg-case R
Laue-case
R(z = 0) = 0
R(z = L) = 0
R
T
Две схемы дифракции: геометрия Брэгга (“на отраж
ние”) и геометрия Лауэ (“на прохождение”).
Проблемы в динамической теории:
(даже в случае идеальных кристаллов)
1
Bragg
2
R
??
R
Laue
??
T
T
Y. Feldman, V. Lyahovitskaya, G. Leitus, I. Lyubomirsky,
E. Wachtel, V.A.Bushuev, Yu.Rosenberg & G.Vaughan
Synchrotron radiation–induced crystallization of amorphous Barium
Titanate Oxide membranes //
Appl. Phys. Lett. 95, 051919 (2009).
В итоге мы приходим к таким состояниям:
....а в “кинематике” все просто: (!!!)
N
A(S)   f n (S) exp(iSRn )
n 1

E1 (S)   n(r ) exp( iSr )dr

... А так как объекты малы, то и возникает
крамольная мысль – а так ли нам она
нужна эта самая динамическая теория ??
Когерентная рентгеновская дифракция
(безлинзовая X-ray микроскопия)
Преобразования Фурье
I ( x) 

 F ( q) exp( iqx )dq

F ( q)  A( q)e
i ( q)
Что важнее –
амплитуда или фаза поля ??
Есть две фотографии – Исаак Ньютон и Бритни Спирс.
...Оцифровываем изображения и делаем прямые и
обратные Фурье-преобразования......
F=A(Ньютон)exp[i(Бритни Спирс)]
Что (кто) получится ??!!
Прямое Фурье-преобразование
I(x, y)
Фурьеамплитуды
Фурьефазы
Теперь переходим в прямое пространство
Фурьефазы, а все
A=1 !!
Фурьеамплитуды
Итерационный алгоритм восстановления фазы
I.A.Vartanyants (DESY)
Пример реконструкции (I. Vartanyants, A. Efanov, DESY, 2010)
FFT1
Замена
амплитуды
FFT
... Все это, конечно, хорошо, однако давно
пора вернуться к основной теме лекции –
к динамической теории дифракции
Есть два подхода
1. Метод дисперсионного уравнения:
E(r) = Aexp(ikr),
где A = const, k – неизвестный вектор.
2. Метод уравнений Такаги:
E(r) = A(r)exp(ikvacr),
где A(r) – неизвестная медленно меняющаяся
функция, kvac - известная (как в вакууме).
Основное уравнение динамической теории
где
hEh = G hG EG ,
h = (qh2  k02)/k02 .
Сфера Эвальда
(hkl)
k0 + h
Что надо найти ??
Eh , qh
k0
(000)
Дисперсионное уравнение
в двухволновом приближении
E(r) = e0E0exp(iq0r) + ehEhexp(iqhr) ,
e0
(hkl )
eh
e
qh
e
0
h

q0
Рис. 3
h
(0  0)E0  Cχ-h Eh = 0,
(h  0)Eh  СhE0 = 0,
C = 1 для -поляризации и
C = cos2B для -поляризации.
(0  0)(h  0)  C 2 χhχ-h = 0,
q0 = k0 + k0n
(!!!!)
(20  0)E0  C χ-hEh = 0,
(2h0    0)Eh  ChE0 = 0,
(20  0)(2h    0)  Cχhχ-h= 0,
0 = k0z / k0 ,
h = (k0 + h)z /k0.
В геометрии дифракции Брэгга h < 0, в случае Лауэ h > 0.
 = k02  (k0 + h)2k02
Учтем, что h = 2k0sinB, получим
 = 2 sin2B,
где  =   B
Два корня решения дисперсионного уравнения
1, 2 = (1/40){0(1+b) + b  [(0(1b)  b)2 + 4bC2χhχ-h]1/2},
где b = 0/h - коэффициент асимметрии брэгговского
отражения. В геометрии Брэгга b < 0, в случае Лауэ b > 0.
Два корня – автоматически ДВЕ проходящих и ДВЕ
дифрагированных волны !!!!
R1,2 = Eh(1,2)/E0(1,2) = (201,2  0)/Cχ-h
0 = sin(+B), h = sin(B).
Геометрия Брэгга
Граничные условия для амплитуд полей:
E0(z = 0) = 1,
Eh(l) = 0.
Поле в любой точке кристалла:
Eg(r) = exp[i(k0 + g)r][Eg1exp(ik01z) + Eg2exp(ik02z)],
где g = 0 (проходящая волна), g = h (дифрагированная).
Im(ε1)Im(ε2) < 0 !!!!
Коэффициент отражения
E01 = 1/(1  p), E02 =  p/(1  p),
Eg1,2 = R1,2E01,2,
p = (R1/R2)exp[ik0(1  2)l].
R  Eh(0)/E0(0) = (R1  pR2)/(1  p).
Ph () = (h /0
2
)R
(КДО)
1.0
Ph
a
2

b
3
1
2
0.5
1
0.0
0
-5
0
5 10 15
-5
0
5 10 15
 , arc.sec
 , arc.sec
a) - кривые дифракционного отражения (220) излучения
CuK (1) и AgK (2) от толстого кристалла кремния,
b = 1, b) - зависимость фазы отражения от угловой
отстройки.
B = Ch / b1/2 sin2B – ширина КДО.
Типичная ширина КДО B  0.1 – 10 угл. сек
 = (γ0γh)1/2/Ch  - глубина экстинкции.
Типичная глубина экстинкции  1 – 10 мкм
h

 B 
  sin 2 B
1.0
Ph
3
10 мкм
0.5
2 мкм
2
1 мкм
1
0.0
-10
0
10
 , arc.sec
20
КДО CuK-излучения от кристалла кремния с толщиной
l = 1 m (1), 2 m (2) и 10 m (3); симметричное отражение (220).
1.0
Ph
a
2
1
103
L i, m
b
3
10 2
2
0.5
10
3
1
1
0.0
0
20
 , arc.sec
40
0
20
 , arc.sec
40
Кривые дифракционного отражения (220) CuK-излучения от
кристалла кремния (a) и угловые зависимости глубины проникновения РЛ в кристалл (b). Коэффициент асимметрии отражения b:
кривые 1 - 0.1, 2 - 1, 3 - 10.
Геометрия дифракции Лауэ
Граничные условия:
E0(0) = 1, Eh(0) = 0.
Амплитуды полей в кристалле:
E01 =  R2/(R1  R2),
E02 = R1/(R1  R2).
0 = cos( + B), h = cos(  B),
0.8
P0,h
a
1
2
0.6
0.3
P0,h
b
2
0.2
1
0.4
0.1
0.2
0.0
-10
-5
0
 , arc.sec
5
0.0
10 -10
-5
0
5
 , arc.sec
10
Кривые дифракционного отражения (1) и прохождения (2) в случае
Лауэ для кристаллов с толщиной l = 23 m (a, тонкий кристалл)
и l = 300 m (b, толстый кристалл, эффект Бормана).
CuK-излучение, Si(220), b = 1.
Интенсивность полного поля в кристалле
Вблизи поверхности (z << Λ)
ISP(z, ) = |1 + Rexp(ihzz)|2.
В общем случае
I ( )  [1  b R  2C b R Fc cos(  c )]Veff
2
Veff
 /  0   /  

 int   /  
μint(Δθ) = 2k0Im(ε) - интерф. коэффициент поглощения
Fc = exp[-(1/2)h2<(z – zc)2>] – когерентная фракция
φc = 2πm zc/d , zc – когерентная позиция
4
I SP
a
3
4
4
2
2
1
5
-5
b
2
3
0
-10
I SP 1
0
2
1
5
 , arc.sec
0
10 -2
0
2
4
o
6
Coordinate x, A
a - КДО (1), угловая зависимость интенсивности полного поля в кристалле при z = 0 (2), z = d/4 (3), z = d/2 (4), z = 3d/4 (5); b – пространственное
распределение стоячей волны при угловых отстройках  = B (1) и
 = B (2). Вертикальные линии показывают положение атомных
плоскостей. CuK-излучение, Si(220), b = 1.
Дифракция на бикристалле
l
пленка
подложка
d + Δd
d
2dsinθB = nλ
2(d + Δd)sin(θB + Δθ0) = nλ
Δθ0 = -(Δd/d)tgθB
1.0
КДО
 d/d = 5x10 -4
0.5
П ленка
Подложка
l = 1 мкм
0.0
-60
1.0
-40
КДО
-20
0
20
угол (угл.сек)
0
20
угол (угл.сек)
l = 3 мкм
0.5
0.0
-60
1.0
КДО
-40
-20
Идеал.
l = 10 мкм
0.5
0.0
-60
-40
-20
0
20
угол (угл.сек)
1.0
КДО
Подложка
 d/d =-5x10 -4
Пленка
l = 2 мкм
0.5
0.0
1.0
КДО
0
20
40
Подложка
60
Угол (угл.сек)
 d/d = -1x10-4
0.5
Пленка
0.0
0
20
40
60
Угол (угл.сек)
Рекуррентная формула
R0tt
Rr
,
1  R0 r
RN 1t N t N
RN  rN 
1  RN 1rN
d ( z )
d
2
1
N Подложка
N+1
z
Уравнения Такаги
χd(r)= χ(r – u(r))
χ(r ) = Σhχhexp(ihr)
d (r)   (h e
h
ihu
)e
ihr
Слоистая среда
h ( z )  h e
i ( z )W ( z )
χh – поляризуемость идеального кристалла,
Φ(z) = hu(z) – фаза, u(z) – смещение
атомных плоскостей,
exp(-W(z)) – статический фактор ДебаяВаллера.
ik r
ik r
0
E ( r )  E0 ( z ) e
 Eh ( z ) e h
k0 – волновой вектор в вакууме,
kh = k0 + h.
rotrot E  graddiv E  E
2
ik r 
E  E  ik 0r
2
0
Ee
   k0 E ( z )  2ik0 z
 2 e

z
z 
Уравнения Такаги


dE0
i
i ( z )W ( z )

0 E0   e
Eh ,
h
dz 0
dEh
i
i ( z )W ( z )


(0  ) Eh   h e
E0 ,
dz  h
α = 2(θ – θB)sin2θB
Уравнение Такаги-Топена
1 Eh ( z )  h i ( z )
R( z ) 
e
b E0 ( z )  h
~
dR
2i ~
iC
2 W ( z )

yC  Y ( z ) R( z )  (1  R )e
,
dz




y
,
 B

1 d 1
d ( z )
Y ( z)   
  hz
,
2 dz 2
d
h h
~
C
.
hr
Трехкристальная (высокоразрешающая)
рентгеновская дифрактометрия
Монохроматор
Кристалл-анализатор
ДР


Образец
РТ

Детектор

2
qx 
sin  B ( 2  )

2
qz 
cos  B  

qz(111), A
80
60
M
40
КД
Структура слоев
пористого германия
по данным высокоразрешающей рентгеновской
дифрактометрии
20
Д
0
-20
Б
А
-40
Б - брэгговское рассеяние,
А – псевдопик кристалла анализатора,
М – отраженное от подложки малоугловое
рассеяние рентгеновского пучка
на пористой структуре,
КД - частично когерентное диффузное
рассеяние,
Д - диффузное рассеяние на нанокристаллитах
и нанопорах.
-60
-80
-20
-10
0
10
qx(1 -1 0), A
huev, Lomov(2002)
-1
20
Радиус пор 25-30 нм,
нанокристаллиты - 10 нм,
степень пористости 56%.
3000
2000
qz, m
-1
1000
0
-1000
-2000
-3000
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
qx, m
-1
Bushuev (2007)
Распределение интенсивности рассеяния CuK-излучения
на кристалле Si с КТ из Ge в окрестности узла Si(111).
(d/d = 0.04, r0 = 10 нм, az = 2 нм, l0 = 40 нм, 0 = 0.2d0 )
Спасибо за внимание
... Но это еще не все – будет
еще одна лекция....