Лекция 8: Волновые свойства частиц

Лекция № 8
Волновые свойства частиц.
Алексей Викторович
Гуденко

10/04/2015
План лекции
1.
2.
3.
4.
Гипотеза де Бройля. Волна де Бройля.
Дифракция частиц. Эксперимент.
Дифракция электронов на щели и соотношение
неопределённостей Гейзенберга.
Корпускулярно-волновой дуализм.
демонстрации
Фотон – корпускула (частица) или
волна?




волновые свойства света:
Интерференция, дифракция, поляризация
свойства частиц (корпускулярные свойства):
фотоэффект,
эффект Комптона (Δλ = λ - λ0 = h/mec = Λс(1 – cosθ)
Λс = 2πћ/mec = 2,4 10-10 см)
Двойственная природа света: фотон обладает как
волновыми, так и корпускулярными свойствами корпускулярно-волновой дуализм
корпускулярно-волновой дуализм – характерное
свойство характерно для всех микрообъектов
Гипотеза де Бройля (1923 г)


Свет (волна) обладает свойствами корпускул,
частиц (фотоэффект, эффект Комптона) :
E = ћω; p = ћω/c = 2πћ/λ
Гипотеза Луи де Бройля: частица с энергией
E и импульсом p должна обладать
свойствами волны:
ω = E/ћ – частота волны де Бройля
λD = 2πћ/p – длина волны де Бройля
Волна де Бройля = ψ - функция




Для свободной частицы, движущейся со скоростью v
плоская волна де Бройля:
ψ = ψ0еi(kz – ωt)
ω = E/ћ – частота волны де Бройля
k = 2π/λ = p/ћ – волновое число волны де Бройля
фазовая скорость волны де Бройля для частицы,
движущейся со скоростью v:
vф = ω/k = E/p = c2/v
Групповая скорость vгр = v – скорость частицы:
закон дисперсии E2 = E02 – p2c2 → EdE = c2pdp →
vгр = dE/dp = c2p/E = v
vфvгр = с2
Численные оценки



Макроскопический объект: шарик массой m = 1 г;
скорость v = 1 м/с → длина волны де Бройля
λD = 2πћ/p ≈ 2*3,14*1,05*10-27/102 ≈ 7*10-29 см
Современный предел измерений линейных размеров
~ 10-16см
Электрон с энергией E = 100 эВ (нерелятивистский
электрон):
λD = 2πћ/p = 2πћ/(2meE)1/2 ≈
2*3,14*1,05*10-27/(2*0,911*10-27*102*1,6*10-12)1/2 ≈ 10-8
см = 1 A – размер атома →
наблюдать волновые свойства электронов надо
на атомных кристаллических структурах
Полезные формулы






λD = 2πћ/(2meE)1/2
Для электронов: λD = 12,3/U1/2 (A)
(U – в Вольтах)
Для протонов: λD = 0,29/U1/2 (A)
(U – в Вольтах)
Для атомов He: λD = 12,6/T1/2 (A)
Для H2: λD = 17,8/T1/2 A
Для нейтронов: λD = 25,2/T1/2 (A)
Экспериментальные исследования
дифракции частиц.

Опыты Дэвиссона и Джермера (1927 г. США) –
рассеяние электронов на монокристалле никеля
Опыт Дэвиссона и Джермера
(1927 г. США)
Результат эксперимента по
дифракции электронов


Расстояние между плоскостями атомов Ni
d = 2,15 A
Интерференция: максимум первого порядка при
отражении от плоской решётки с периодом d =
2,15 A
условие интерференционного максимума:
dsinβ = λ →
λэксп = dsinβ = 2,15*sin500 ≈ 1,65 A
U = 54 В →
λD = 12,3/U1/2 = 12,3/(54)1/2 ≈ 1,67 А (!)
Опыт Дж. Томсона (1928 г.)
Опыт Томсона





Ускоряющее напряжение
U = 17,5 – 56,5 кВ
λD = 12,3/U1/2 = 0,092 – 0,052 A
Золотая фольга толщиной h = 0,1 мкм
Условие Вульфа-Брэгга
2dsinθ = mλ (θ – угол скольжения)
Для малых θ радиус кольца:
rm = 2Dθ = mλD/d
Условие Вульфа-Брэгга
Томсон:
Электроны или вторичный рентген?


Как отличить дифракционную картину
рассеянных электронов от дифракционной
картины вторичных рентгеновских лучей?
Ответ:
в магнитном поле картина смещалась и
искажалась – значит электроны.
Эффект Рамзауэра (1920 г.)







При прохождении электронов через аргон при E = 0,6 эВ электроны
проходят газ беспрепятственно!
Волны де Бройля не отражаются – аналог просветления оптики.
Для электрона атом аргона –
потенциальная яма глубиной U0 ~ 2,5 В
Фазовая скорость волн де Бройля: vф = E/p
Групповая скорость vгр = dE/dp = pc2/E = c2/vф
λ = 12.26/(U)1/2 = 15.8 A
Скорость над ямой vгр’ = vгр(1 + U0/E)1/2 = vгрn
n = (1 + U0/E)1/2 = (1 + 2,5/0,6)1/2 = 2,27 - показатель преломления
Условие просветления оптики: 2d = λ’ = λ/n = →
радиус атома аргона:
r = λ/4n ≈ 1,74 A (rтабл = 1,98 А)
Волновые свойства частицы и
соотношение неопределённостей.



Дифракция электрона на щели: Δx – неопределённость
координаты → Δp – неопределённость импульса
дифракционная расходимость θ = λ/Δx = Δp/p →
Δpx Δx ~ λp = h
Дифракция на щели и соотношение
неопределённостей: Δp Δx ~ h




Положение и импульс квантовой частицы точно
не определяются.
Произведение неопределённости координаты Δx
и импульса (Δpx) не меньше порядка постоянной
Планка:
ΔpxΔx ≥ h.
Попытка локализовать частицу в пределах Δx
порождает разброс по импульсу Δpx
У квантовой частицы нет траектории (!)
Соотношение неопределённости.

Произведение неопределённостей значений
двух сопряжённых величин не меньше
постоянной Планка (ћ/2)
Δpx Δx ≥ ћ/2; Δpy Δy ≥ ћ/2; Δpz Δz ≥ ћ/2;
ΔE Δt ≥ ћ/2
1.
2.
3.
невозможно состояние, в котором частица
находилась бы в состоянии покоя
квантовые частицы не имеют траектории
энергия квантовой частицы не делится на
потенциальную и кинетическую
Почему электрон не падает на ядро?


Электрон не падает на ядро из-за соотношения
неопределённостей.
P2/2m – Ze2/r < 0 – условие связанного
состояния →
p2r2 < 2mZe2r → p2r2 ≥ ¼ ћ2 → r ≥ 1/Z ћ2/8me2 =
1/Z 0,66 10-9 см ~ (0,1)/Z Ангстрем
Соотношение неопределённостей, размер
атома водорода и энергия основного
состояния




Для минимальной энергии импульс частицы
равен его неопределённости:
p = <p> + Δp ~ <p> + ћ/ℓ → pmin ~ ћ/ℓ ~ Δp.
E = p2/2m – e2/r ~ ћ2/2mr2 – e2/r
E → min:
dE/dr = 0 → -ћ2/mr3 + e2/r2 = 0 →
rБ = ћ2/me2 = 0,529*10-8 см = 0,529 A –
боровский радиус
Emin = -e2/2r = - me4/2ћ2 = -13,6 эВ – энергия
основного состояния атома водорода
Соотношение неопределённостей и
минимальная энергия квантового
гармонического осциллятора U = æx2/2



E → min: p = Δp; x = Δx →
E = K + U = p2/2m + æx2/2 ~ ћ2/2mx2 + æx2/2
Emin: dE/dx = 0 → xmin4 = ћ2/mæ →
Emin = ћ(æ/m)1/2 = ћω
Точный расчёт даёт E0 = ½ ћω
Итоги
1.
2.
Микрообъекты обладают одновременно свойствами
частиц и свойствами волн и поэтому не являются ни
частицами ни волнами.
Состояние микрочастицы описывается ψ-функцией; для
свободной частицы ψ-функция – плоская волна:
ψ = ψ0еi(kz – ωt) (ω = E/ћ – частота волны де Бройля; k = 2π/λ = p/ћ – волновое
число волны де Бройля)
3.
4.
Скорость микрочастицы совпадает с групповой
скоростью волн де Бройля
Невозможно одновременно измерить координату и
соответствующий импульс частицы. Неопределённость
координаты и импульса частицы связаны
соотношением неопределённости Гейзенберга:
ΔpxΔx ≥ ћ
Итоги


Из-за соотношения неопределённостей
микрочастицы не обладают определёнными
траекториями.
Микрочастицы следует представлять
размазанными по пространству. Квадрат
амплитуды ψ- функции ~ вероятности
нахождения частицы в заданной точке
пространства.
Волны де Бройля – это волны
вероятности

Макс Борн:
Интенсивность волны де Бройля в каком-то месте
пространства пропорциональна вероятности
обнаружить частицу в данном месте
Чем занимается вантовая механика

Квантовая механика рассчитывает
волновые функции, т.е. вероятности
реализации различных состояний
квантовой системы.