Документ 4749049

О роли задач на
построение
в курсе геометрии
7-9 классов
Полонский Виталий Борисович,
автор УМК «Геометрия 7-9 кл.»
Пропедевтика
курса геометрии
Математика 6 класс
§24. Окружность и круг
Построение треугольника по трем
сторонам.
Пример. С помощью линейки и
циркуля постройте треугольник ABC
со сторонами AC = 2 см, BC = 3 см и
AB = 4 см.
Решение. Сначала с помощью линейки строим
отрезок AB длиной 4 см. Третья вершина C
треугольника должна быть удалена от точки A
на 2 см, а от точки B — на 3 см. Поскольку все
точки, удалённые от точки A на 2 см, лежат на
окружности радиуса 2 см с центром A, а все
точки, удалённые от
точки B на 3 см, — на
окружности радиуса 3 см
с центром B, то точка C
является точкой
пересечения этих
окружностей.
C
A
B
Соединив точку C с точками
A и B, получим искомый
треугольник ABC.
Обратим внимание на то,
что построенные окружности
имеют ещё одну общую
точку C1, которую также
можно было взять в качестве
вершины треугольника. В
этом случае мы получим ещё
один треугольник со
сторонами указанной длины,
равный треугольнику ABC.
C
A
B
C
A
B
C1
Задачи на взаимное
расположение двух окружностей
712. Начертите окружность радиуса 3 см с
центром O. Проведите луч с началом в
точке O и отметьте на нём точку A,
удалённую от точки O на 5 см. Проведите
окружность с центром в точке A, радиус
которой: 1) 2 см; 2) 2 см 5 мм; 3) 1 см
5 мм. Сколько общих точек имеют
окружности в каждом из этих случаев?
Угол, опирающийся на
диаметр
714. Начертите окружность,
проведите её диаметр AB, отметьте
на окружности точки C и D.
Соедините точки C и D с концами
диаметра AB и найдите градусные
меры углов ACB и ADB.
Неравенство треугольника
722. Установите, можно ли построить
треугольник со сторонами:
1) 2 см, 6 см и 7 см;
2) 2 см, 6 см и 8 см;
3) 2 см, 6 см и 9 см.
Сделайте вывод.
6 кл. §43. Перпендикулярные прямые
 Задачи о взаимном расположении
перпендикулярных отрезков и лучей
a
1222. Начертите два перпендикулярных отрезка
B
A
так, чтобы они:
A
1) пересекались;
C
B
D
2) не имели общих точек;
b
C
a
M
b
3) имели общий конец.
P
Q
N
1223. Начертите два перпендикулярных луча
так, чтобы они:
D
1) пересекались;
C
2) не имели общих точек.
a
A
b
b
a
B
Построение с помощью шаблона
1226. Как построить перпендикулярные
прямые, пользуясь шаблоном угла,
который равен: 1) 15; 2) 18?
1227. Пользуясь угольником и шаблоном
угла 17, постройте угол, градусная
мера которого равна: 1) 5; 2) 12.
1228. Пользуясь угольником и шаблоном
угла 20, постройте угол, градусная
мера которого равна 10.
6 кл. §44. Параллельные прямые
 Частные виды многоугольника
 1243. Начертите четырёхугольник, у
которого:
1) две стороны параллельны, а две другие —
не параллельны;
2) противоположные стороны параллельны.
1244. Начертите:
1) пятиугольник, две стороны которого
параллельны;
2) шестиугольник, у которого каждая сторона
параллельна какой-либо другой стороне.
 Частные виды многоугольника
1245.Начертите шестиугольник, две
стороны которого лежат на одной
прямой, а каждая из четырёх
остальных сторон параллельна какойлибо другой стороне.
Рубрика
«Практические задания»
7-9 класс
7 кл. §21. Описанная и вписанная
окружности треугольника
540. Начертите разносторонний остроугольный
треугольник.
1) Пользуясь линейкой со шкалой и угольником, найдите
центр окружности, описанной около данного
треугольника.
2) Опишите около треугольника окружность.
Выполните задания 1 и 2 для разносторонних
прямоугольного и тупоугольного треугольников.
541. Начертите:
1) равнобедренный остроугольный треугольник;
2) равнобедренный тупоугольный треугольник.
Выполните задания 1 и 2 из задания 540.
7 кл. §21. Описанная и вписанная
окружности треугольника
542. Перерисуйте в тетрадь рисунок 304.
Проведите через точки A, B, C окружность,
пользуясь линейкой со шкалой, угольником
и циркулем.
B
C
A
7 кл. §21. Описанная и вписанная
окружности треугольника
543. Начертите разносторонний треугольник.
1) Пользуясь линейкой и транспортиром, найдите
центр окружности, вписанной в данный
треугольник.
2) Пользуясь угольником, найдите точки касания
вписанной окружности со сторонами
треугольника.
3) Впишите в данный треугольник окружность.
544. Начертите равнобедренный треугольник.
Выполните задания 1, 2 и 3 из задания 543.
9 кл. §18. Осевая и центральная
симметрии. Поворот
660. Постройте образы фигур, изображенных
на рисунке, при симметрии относительно
прямой l.
l
661. Начертите треугольник. Постройте
треугольник, симметричный ему
относительно прямой, содержащей одну
из его средних линий.
9 кл. §18. Осевая и центральная симметрии.
Поворот
662. Точки A и B симметричны относительно A
прямой l (рис.) Постройте прямую l.
B
663. Начертите треугольник ABC и отметьте точку O, не
принадлежащую ему. Постройте треугольник,
симметричный данному относительно точки O.
664. Начертите треугольник ABC. Постройте треугольник,
симметричный данному относительно середины стороны
AB.
665. Начертите окружность и отметьте на ней точку. Постройте
окружность, симметричную данной относительно
отмеченной точки.
9 кл. §18. Осевая и центральная
симметрии. Поворот
B
666. Постройте образ отрезка AB
при повороте вокруг центра
O против часовой стрелки на
угол 45 (рис.).
667. Постройте образ
треугольника ABC при
повороте вокруг центра O
по часовой стрелке на угол
90 (рис.)
A
O
O
A
B
C
9 кл. §18. Осевая и центральная
симметрии. Поворот
668. Проведите пересекающиеся прямые a и a1.
Постройте прямую, относительно которой
прямая a1 будет симметрична прямой a.
Сколько решений имеет задача?
669. Проведите параллельные прямые a и a1.
Постройте прямую, относительно которой
прямая a1 будет симметрична прямой a.
9 кл. §18. Осевая и центральная
симметрии. Поворот
B
670. Восстановите ромб ABCD по его
вершинам B и C и прямой l,
содержащей его диагональ BD
(рис.).
671. Восстановите равнобедренный
треугольник ABC по вершине A,
точке K, принадлежащей боковой
стороне BC, и прямой,
содержащей высоту,
проведенную к основанию AB
A
(рис.).
C
l
K
Задачи
на построение
7 кл. §22. Задачи на построение
С помощью линейки с делениями, циркуля, угольника,
транспортира, лекал вам не раз приходилось проводить
различные геометрические построения.
А можно ли обходиться меньшим количеством чертёжных
инструментов? Оказывается, что во многих случаях достаточно
использовать только циркуль и линейку без делений.
Например, чтобы провести биссектрису угла, совсем не
обязательно иметь транспортир, а разделить отрезок пополам
можно и тогда, когда на линейку не нанесена шкала.
А стоит ли в наше время, когда созданы точнейшие приборы и
совершенные компьютерные программы, позволяющие
выполнять сложнейшие измерения и построения, обходиться
такими скудными средствами, как циркуль и линейка? На
практике, конечно, нет. Поэтому, например, конструкторы,
строители, архитекторы, дизайнеры не ограничивают себя в
выборе инструментов.
7 кл. §22. Задачи на построение
При построении фигур в геометрии принимают
такие правила:
1) все построения выполняются только с
помощью циркуля и линейки без делений;
2) с помощью линейки можно через заданную
точку провести прямую, а также через
заданные две точки A и B провести прямую
AB;
3) с помощью циркуля можно построить
окружность с данным центром и радиусом,
равным заданному отрезку.
Итак, договоримся, что если в задаче требуется
построить какую-то фигуру, то построение
выполняется по описанным выше правилам.
7 кл. §22. Задачи на построение
Решить задачу на построение — это значит:
•
составить план (алгоритм) построения
фигуры;
•
реализовать план, выполнив построение;
•
доказать, что полученная фигура является
искомой.
Основные задачи на построение
1. Постройте угол, равный данному, одна из сторон
которого является данным лучом.
2. Постройте серединный перпендикуляр данного
отрезка.
3. Разделите данный отрезок пополам.
4. Даны прямая и не принадлежащая ей точка.
Через эту точку проведите прямую,
перпендикулярную данной.
5. Даны прямая и принадлежащая ей точка. Через
эту точку проведите прямую,
перпендикулярную данной.
6. Постройте биссектрису данного угла.
Эффективные методы
решения задач на
построение
 Метод вспомогательного треугольника
Задача 8. Постройте треугольник по стороне и
высотам, проведённым к двум другим сторонам.
Решение. На рисунке 322 изображён треугольник
ABC, отрезки AA1 и CC1 — его высоты. Если
известны отрезки AC, AA1 и CC1, то можно
построить прямоугольные треугольники AA1C и
CC1A по гипотенузе и катету.
B
Приведённые рассуждения
A1
называют анализом задачи
C1
на построение. Он подсказывает план построения.
A
C
 Метод вспомогательного
треугольника
Построим прямоугольный треугольник AA1C, в котором
гипотенуза AC равна данной стороне, а катет AA1 — одной
из данных высот (рис. 323). В построенном треугольнике
угол ACA1 равен одному из углов, прилежащих к заданной
стороне искомого треугольника. С помощью аналогичного
построения можно получить другой прилежащий к данной
стороне угол. На рисунке 324 это угол C1AC.
A1
A
C1
C
A
Теперь осталось построить треугольник ABC по
стороне AC и двум прилежащим к ней углам.
Выполните это построение самостоятельно.
C
 Метод вспомогательного треугольника
Задача 9. Постройте треугольник по углу, высоте
и биссектрисе, проведённым из вершины
этого угла.
Решение. Проведём анализ
задачи на построение. На
рисунке 325 изображён
треугольник ABC, в котором
отрезок BD — высота, отрезок
BK — биссектриса.
B
A
D
K
C
Если известны длины отрезков BD и BK, то прямоугольный
треугольник BDK можно построить по гипотенузе и
катету. Также отметим, что если известен угол ABC,
1 ABC
то можно построить
углы ABK и KBC, каждый из
2
которых равен
Отсюда получаем план построения.
 Метод вспомогательного треугольника
Строим прямоугольный треугольник BDK, в
котором гипотенуза BK равна данной
биссектрисе, а катет BD — данной высоте
(рис. 326). Строим два угла, каждый из которых
равен половине данного, так, чтобы луч BK был
их общей стороной. На рисунке 326 это углы ABK
и KBC.
B
A D
K
Треугольник ABC — искомый.
C
 Метод вспомогательного треугольника
610. Постройте треугольник по двум высотам и углу, из
вершины которого проведена одна из данных
высот. Сколько решений может иметь задача?
616. Как разделить на три равные части угол, равный
54?
658. Постройте треугольник по двум сторонам и
медиане, проведённой к третьей стороне.
 Построение четырехугольников
Параллелограмм
80. Постройте параллелограмм:
1) по стороне, проведённой к ней высоте и диагонали;
2) по двум диагоналям и высоте;
Прямоугольник
130. Постройте прямоугольник по стороне и углу между
диагоналями, противолежащему данной стороне.
Ромб
158. Постройте ромб по диагонали и углу, вершина
которого принадлежит этой диагонали
Трапеция
268. Постройте трапецию:
1) по основаниям и боковым сторонам;
2) по основанию, высоте и диагоналям.
 Теорема Фалеса
416. Постройте треугольник:
1) по стороне и углам, которые эта
сторона образует с медианами,
проведёнными к двум другим
сторонам;
2) по трём медианам
 Симметрия
725.* Постройте треугольник ABC
по двум сторонам AB и AC (AB <
AC) и разности углов B и C.
 Метод ГМТ
7 кл. §23. Метод геометрических мест точек
в задачах на построение
Известно, что если смешать синий и жёлтый цвета,
то получим зелёный.
Пусть на плоскости надо найти точки,
обладающие какими-то двумя свойствами
одновременно. Если синим цветом покрасить
точки, обладающие первым свойством, а
жёлтым — обладающие вторым свойством, то
понятно, что зелёные точки будут обладать
сразу двумя свойствами.
В этом и состоит идея метода ГМТ, которую
проиллюстрируем следующими задачами.
 Метод ГМТ
Задача 1. Постройте треугольник по трём
данным его сторонам.
Решение. Пусть даны три отрезка, длины
которых равны a, b, c (рис. 327). Надо
построить треугольник ABC, в котором
AB = c, AC = b, BC = a.
a
b
c
 Метод ГМТ
Проведём произвольную прямую. С помощью циркуля отложим на ней отрезок BC, равный a (рис. 328). Понятно, что задача свелась к построению третьей вершины треугольника,
точки A. Воспользуемся тем, что точка A обладает сразу двумя
свойствами:
1) принадлежит геометрическому месту точек, удалённых от
точки B на расстояние c, то есть окружности радиуса c с
центром в точке B (на рисунке 328 это «желтая» окружность);
2) принадлежит геометрическому месту точек, удалённых от
точки C на расстояние b, то есть окружности радиуса b с
центром в точке C (на рисунке 328 это «синяя» окружность).
A
В качестве точки A можно выбрать
любую из двух образовавшихся
b
c
B
a
C
зелёных точек. Полученный
треугольник ABC является
искомым, так как в нём AB = c,
 Метод ГМТ
Задача 2. Постройте фигуру, все точки которой
принадлежат данному углу, равноудалены от его
сторон и находятся на заданном расстоянии a от
его вершины.
Решение. Искомые точки принадлежат сразу двум
геометрическим местам точек: биссектрисе
данного угла и окружности с центром в его
вершине и радиусом, равным a.
Построим биссектрису угла и
указанную окружность (рис).
X
a
A
Их пересечением является
искомая точка X.
 Метод ГМТ
636. На данной окружности постройте точку,
находящуюся на данном расстоянии от
данной прямой. Сколько решений может
иметь задача?
 Метод вспомогательной окружности
Задача 2. Постройте касательную к данной
окружности, проходящую через данную точку,
лежащую вне окружности.
Решение. На рисунке изображены окружность с
центром в точке O и точка M, лежащая вне этой
окружности.
Пусть X — такая точка окружности, что прямая MX
является касательной (рис.). Тогда угол MXO —
прямой. Его можно рассматривать как вписанный в
X
окружность с диаметром MO.
Проведенный анализ
показывает, как
провести построение.
M
O
 Метод вспомогательной
окружности
Построим отрезок MO и разделим его пополам (рис.). Пусть
точка K — его середина. Построим окружность с центром в
точке K радиуса KO. Отметим точки E и F — точки пересечения
построенной и данной окружностей. Тогда каждая из прямых
ME и MF является искомой касательной.
Действительно, MEO = 90 как
вписанный угол, опирающийся на
диаметр MO. Отрезок OE —
радиус данной окружности. Тогда
по признаку касательной прямая
ME — искомая касательная.
M
E
K
O
F
 Метод вспомогательной
окружности
312. Постройте треугольник по стороне,
противолежащему ей углу и высоте, проведённой к
данной стороне
314. Постройте параллелограмм по двум сторонам
и углу между диагоналями.
320. Постройте треугольник по стороне,
противолежащему ей углу и радиусу вписанной
окружности.
 Метод спрямления
645. Постройте прямоугольный треугольник по
катету и сумме гипотенузы и другого катета.
647. Постройте прямоугольный треугольник по
гипотенузе и разности катетов.
655. Постройте треугольник по периметру и двум
углам.
Примеры построения
четырехугольников
83. Постройте параллелограмм по стороне, сумме
диагоналей и углу между диагоналями
131. Постройте прямоугольник:
1) по диагонали и разности двух сторон;
2) по периметру и диагонали;
3) по периметру и углу между диагоналями.
160. Постройте ромб:
1) по сумме диагоналей и углу между диагональю и
стороной;
2) по острому углу и разности диагоналей;
3) по острому углу и сумме стороны и высоты;
4) по стороне и сумме диагоналей;
5) по тупому углу и сумме диагоналей;
6) по стороне и разности диагоналей.
 Алгебраический метод.
Соотношения в прямоугольном
треугольнике
Задача. Даны два отрезка, длины которых равны a и b
(рис.). Постройте третий отрезок, длина которого равна
Решение. Рассмотрим треугольник ADC (ADC = 90), в
котором отрезок DB является высотой (рис.). Имеем:
DB = AB  BC
Отсюда если AB = a, BC = b, то DB =
ab
ab
Проведенный анализ показывает,
как провести построение.
D
A
B
C
 Алгебраический метод
На произвольной прямой отметим точку A и отложим
последовательно отрезки AB и BC так, что AB = a, BC = b.
Построим окружность с диаметром AC. Через точку B
проведём прямую, перпендикулярную прямой AC (рис.).
Пусть D — одна из точек пересечения прямой и
окружности.
Докажем, что отрезок DB — искомый. Действительно,
ADC = 90 как вписанный угол, опирающийся на диаметр
D
AC. Тогда по теореме 15.1
DB2  AB  BC,
т.е. DB =
ab
A
B
C
 Алгебраический метод
692. Стороны прямоугольника равны a и b. Постройте
квадрат, площадь которого равна площади данного
прямоугольника.
691. Постройте квадрат, площадь которого равна сумме
площадей двух данных квадратов.
791. Постройте равновеликий данной трапеции:
1) параллелограмм, отличный от прямоугольника;
2) прямоугольник.
792. Постройте треугольник, равновеликий данной
трапеции
Правильный многоугольник
223. Нарисован правильный шестиугольник, длина
стороны которого равна 1. Пользуясь только
линейкой, постройте отрезок длиной 7