Функция рассеяния точки Функция рассеяния точки

Моделирование формирования
изображения при некогерентном
освещении
Численные методы в оптике
кафедра ПиКО
Задание
Создать программу, моделирующую формирование
изображения при некогерентном освещении

Предмет:
 периодическая решетка (симметричен относительно центра координат)

Оптическая система:
 зрачок круглый
 аберрации отсутствуют
 пропускание равномерно по зрачку

Результаты (анализировать в MathCAD)
 изображение (сечение и полутононовое изображение)
 ФРТ (сечение и полутононовое изображение)
 ЧКХ (сечение)
Некогерентное освещение
Вычисление фурье-образа распределения интенсивности
на предмете:




2
~
I  x ,  y  F  T  x , y 


Вычисление фурье-образа функции рассеяния точки:



~
h  x ,  y  F  F 1 f  x ,  y


2

Вычисление фурье-образа распределения интенсивности
на изображении:

 
 
~
~
~
I   x ,  y  I  x ,  y  h  x ,  y

Вычисление распределения интенсивности на
изображении:



~
I   x , y  F 1 I   x ,  y

Функция рассеяния точки
Функция рассеяния точки (ФРТ) hx, y – это функция,
описывающая зависимость распределения освещенности
от координат в плоскости изображения, если предмет –
это светящаяся точка в центре изопланатической зоны
Комплексная амплитуда в изображении точки в
канонических координатах:
U  x , y   F 1  f  x ,  y 

комплексная амплитуда поля в изображении точки есть обратное Фурьепреобразование от зрачковой функции в канонических координатах
Функция рассеяния точки в канонических координатах:
h  x , y   F
1
 f  x ,  y 
2
Функция рассеяния точки
при отсутствии аберраций
Функция рассеяния точки при отсутствии аберраций:
h0  x ,  y   F 1 Circ x ,  y 

где  
порядка
2
 J 1 2 
2
 


Bes
sin
c

  
2
 x2   y2 , J1 2  – функция Бесселя первого рода, первого
h0  
y
 центральный максимум – 83.8%
1.0

x
1.22


Ay


-1.62 -1.12 -0.61
0
0.61 1.12 1.62

энергии (высота 1.0)
первое кольцо – 7.2% энергии
(высота 0.0175)
второе кольцо – 2.8% энергии
(высота 0.0045)
третье кольцо – 1.4% энергии
(высота 0.0026)
четвертое кольцо – 0.9%
энергии
Влияние аберраций на ФРТ
h  
y
симметричные
аберрации
1.0
x
y
кома
x

1.22
y


Влияние малых аберраций – часть энергии из
центрального максимума переходит в кольца
Влияние больших аберраций – сходство ФРТ с
безаберрационной полностью теряется
астигматизм
x
Гармонический
периодический объект
Периодическая решетка – это структура с белыми и черными
полосами
Гармоническая периодическая решетка – это структура,
интенсивность которой описывается гармонической функцией:
y
 x  b 


I
x

a

cos
 2


y
x
T


 где a – вещественная амплитуда,
b – сдвиг, Т – период,  – угол ориентации

I
x
a
x
b
T
а) распределение интенсивности
б) сечение распределения интенсивности
Гармонический
периодический объект
Интенсивность гармонической решетки в комплексной форме:
2i x  y

x
y
I x, y   u  e
1
 
– пространственная частота, u  a  ei o
T
– комплексная амплитуда
Распределение интенсивности на изображении гармонического
объекта:


I   x , y  u  e

2i s x x  s y x 
u  u  D x , y  – комплексная амплитуда изображения гармонического объекта
Изображение гармонической решетки любой оптической системы это
гармоническая решетка с той же частотой.
Воздействие оптической системы выражается в изменении
комплексной амплитуды гармонической решетки
Оптическая передаточная
функция
Оптическая передаточная функция (ОПФ) D x , y 
характеризует передачу структуры предмета оптической
системой как функция пространственных частот
D  x , y   T  x , y  e


i  x , y

модуль ОПФ – модуляционная передаточная функция (МПФ) или
частотно-контрастная характеристика (ЧКХ):
T  x , y   D  x , y 

аргумент (фаза) ОПФ – фазовая передаточная функция (ФПФ) или
частотно-фазовая характеристика (ЧФК):
  x , y   arg D  x , y 
ОПФ вычисляется как преобразование Фурье от ФРТ:

 
D  x , y  F h  x , y

Частотно-контрастная
характеристика
Частотно-контрастная характеристика показывает передачу
вещественной амплитуды гармонического объекта:
a
ЧКХ 
a

где
a – амплитуда на предмете, a – амплитуда на изображении
Частотно-контрастная характеристика показывает зависимость
контраста изображения гармонической решетки от частоты
решетки, если считать, что на предмете контраст единичный
k
1
0
x
ОПФ в канонических
координатах
Оптическая передаточная функция в канонических
координатах:


Dx , y   F h x , y 

где  x ,  y – канонические пространственные частоты:
 x   x
 y   y

Ax

Ay
  x
  y

Ax

Ay
  x
  y
Предельная
пространственная частота
Максимальная каноническая пространственная частота:
 max  2
Предельные реальные пространственные частоты:
 lim x 
2 Ax

 lim y 
2 Ay

ОПФ
1
ЧКХ – чётная функция
0
При отсутствии аберраций ОПФ всегда ограничена предельными
частотами, обусловленными дифракцией света

2
Нормированная ФРТ
Нормированная ФРТ:



1
h  x , y 
 F 1 f  x ,  y
H



исключены масштабные преобразования за счет использования
канонических координат, т.е. обобщённые увеличения равны 1
исключены энергетические преобразования за счет нормировки.
Энергия, содержащаяся в импульсной реакции структурного
преобразователя, должна равняться единице:
   1 2


H      x ,  y d x d y 


  



2

2
Для о.с. с круглым зрачком и равномерным пропусканием:
2
 
  

2
2
2


H     Circ  d x d y  SCirc     r
2


  

Нормированная ОПФ
ОПФ нормируется таким образом, чтобы D(0,0)=1


D x ,  y 

Dнорм

 F h  x , y

где нормировочный множитель
Dнорм 

1
 
 
 
12
 x ,  y d x d y
Для о.с. с круглым зрачком и равномерным пропусканием:
Dнорм  SCirc  
Нормировка преобразования
Фурье
Если    , при выполнении преобразования Фурье
необходимо выполнять нормировку:


f1  x , y 
 

 F f2  x ,  y

