Моделирование формирования оптического изображения

Глава 3. Формирование
изображения как
преобразование сигналов
В теории систем преобразование сигнала
есть описание связи входа с выходом,
представляемое часто просто в виде
«чёрного ящика».
Льюис Фрэнкс
Моделирование формирования оптического изображения
кафедра ПиКО
3.5. Формирование изображений
каскадом преобразователей
Моделирование формирования оптического изображения
кафедра ПиКО
Формирование изображения
каскадом преобразователей
Рассмотрим каскад последовательно расположенных линейных
изопланатических преобразователей


изображение, формируемое одним преобразователем, является предметом
для другого I 2  I1
каждый преобразователь характеризуется ФРТ hk и ОПФ D k
Изображение, формируемое каскадом преобразователей:
I   I k  I k  hk  I k 1  hk  I k 1  hk 1  hk 
 I  h1  h2  ...  hn
(3.51)
или:
I   I  he

где he  h1  h2  ...  hn
(3.52)

– эквивалентная ФРТ каскада
справедливо при условии:
 линейности и изопланатичности всех преобразователей каскада
 независимости характеристик различных преобразователей друг от друга
 все координатные системы должны быть приведены к одному масштабу
Эквивалентная ОПФ
Эквивалентная ОПФ:
n
De  D1  D2  ...  Dn   Dk
(3.53)
k 1
Эквивалентная МПФ:
n
M e  M1  M 2  ...  M n   M k
(3.54)
k 1
Эквивалентная ФПФ:
n
Φe  Φ1  Φ2  ...  Φn  Φk
(3.55)
k 1
При моделировании каскада преобразователей
необходимо определить:


ФРТ и ОПФ отдельных преобразователей
эквивалентные ФРТ и ОПФ
Возможные преобразователи
При моделировании и анализе реальных изображающих
приборов можно представить в виде преобразователей
различные факторы влияющие на формирование изображения:
Влияние различных внешних факторов

атмосферная турбулентность
Условия функционирования изображающей системы

смещение предмета или изображения из-за движения или вибраций
Внутренние факторы, обусловленные свойствами самой
изображающей системы


некоторые виды аберраций (расфокусировка и астигматизм), зависящие от
положения плоскости анализа
явление двоения изображения
Приёмник изображения
Атмосферная турбулентность
Пространство между предметом и о.с. может быть заполнено
атмосферой (протяжённой хаотически неоднородной средой)
Неоднородность показателя преломления атмосферы



возникает из-за пространственной разности температуры и давления
неоднородность показателя преломления имеет случайный характер
для описания используются статистические методы
ФРТ описывается функцией Гаусса:
 для астрономических приборов можно ограничиться простым случаем, когда
имеют дело с чистым воздухом (без пыли и аэрозоли), в котором показатель
преломления меняется
плавно
2
hx 


1
d2
e

x 
d2
(3.56)
где d – размер пятна рассеяния турбулентности (зависит от условий
наблюдения и измеряется в угловых единицах)
среднее значение пятна рассеяния для астрономических наблюдений с
земной поверхности 5 или 2.4  10 5 радиан
ОПФ преобразователя,
описывающего атмосферную
турбулентность
ОПФ атмосферной турбулентности:
D   e

  2 d 2
(3.57)
предельная частота
k
1d
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
2d
1
d
3 
2d
Расфокусировка
A'
r
z
Плоскость
идеального
изображения
Плоскость
анализа
изображения
Если идеальная о.с. сильно расфокусирована, дифракционными
эффектами можно пренебречь и считать пятно рассеяния по форме
подобным зрачку

при круглом зрачке пятно рассеяния – круг с радиусом
r  A  z
ФРТ:
x 

h x  circ 
r
(3.58)
ОПФ:
D   Bessinc2 r 
(3.59)
ОПФ преобразователя,
описывающего расфокусировку
k
1
0.5
0
1
2r
1
r
3
2r
2 
r
0.5
Изображение радиальной миры при
наличии расфокусировки


обращение контраста или «ложное»
разрешение – явление при котором на месте
темных полос отображаются светлые и наоборот
происходит, если в некоторых областях частот
контраст отрицательный
Астигматизм
Пятно рассеяния


в сагиттальном или меридиональном фокусе – линия длиной d  Δz  2 A
посредине между фокусами – аналогично расфокусировке
ФРТ с плоскости сагиттального фокуса :
1
 x 


h x , y    rect     y 
d
d
ОПФ в плоскости сагиттального фокуса:
D  x , y  sinc d x  1( y )


(3.60)
(3.61)
ОПФ преобразователя,
описывающего астигматизм
ОПФ в плоскости сагиттального фокуса
 горизонтальное сечение (––––) D  x , y   sinc d x 

вертикальное сечение
k


(– – –) D  x , y  1( y )
1
0.5
0
1
d
2
d
3
d
4 
d
0.5

вертикально ориентированные предметы будут передаваться без
потери контраста
Смещение изображения
Пусть изображающая система представляет собой каскад
состоящий из о.с. и некоторого приёмника изображения


регистрация изображения происходит в течение промежутка времени,
который называется выдержкой
каждый элемент приёмника воспринимает величину, которая называется
экспозицией:
T
I r  x, y    I  x, y , t dt
0

(3.62)
где Т – выдержка или время экспозиции
Если предмет или приёмник движется относительно о.с., за
время выдержки изображение смещается

каждая точка изображения смещается по траектории:
x  d x t 

y  d y t 
где d t  – закон, определяющий траекторию движения
(3.63)
ФРТ и ОПФ преобразователя,
описывающего смещение изображения
ФРТ преобразователя, описывающего смещение:
T
(3.64)
h x, y     x  d x t , y   d y t dt
0


пятно рассеяния – тонкая линия, повторяющая траекторию
движения
интенсивность линии обратно пропорциональна скорости движения
ОПФ преобразователя:
1 2i  x d x t  y d y t 
D  x , y   e
dt
T0


T
частные случаи смещения изображения:


смаз
вибрация
(3.65)
Смаз
Смаз – равномерное прямолинейное смещение

появляется, если объект движется равномерно и прямолинейно
 (например, при аэрофотографии с малых высот)
Если смещение происходит вдоль направления х:
d y t   0 d x t   t

где

– скорость перемещения
Пятно рассеяния:


отрезок прямой линии равномерной интенсивности
длина равна величине сдвига за время выдержки d
ФРТ:
1
x 

h x, y    rect     y 
d
d
ОПФ:
D  x , y  sinc d x 




 t

сечение ОПФ в направлении движения =0 на частоте 1 d
затем происходит обращение контраста
функция не финитна, а убывает, осциллируя между нулями
(3.66)
(3.67)
Вибрация
При вибрации совершается возвратнопоступательное движение по гармоническому закону
Пусть изображение движется гармонически по
плоскости анализа в одном направлении, например в
направлении х
Траектория движения в направлении х:
d x t  

a
 cost 
2
где a 2 – амплитуда колебаний, а
 – циклическая частота.
(3.68)
ОПФ (находим из (3.65)):


D  x , y 
T 2i  a cost 
x
2
e
dt
1
T 0
(3.69)
ОПФ преобразователя,
описывающего вибрацию
Если период вибрации << времени выдержки, то:

будем наблюдать такое же изображение, как если бы за время
выдержки происходил один период вибрации
 можно интегрировать не по времени выдержки, а по периоду
2
1

D  x , y 
ei x a cos d
2 0


где


  t


D  x , y  J o a x 
k 1
(3.71)

0.5
0
1
a
0.5
2
a
3
a
(3.70)
4  x
a

в направлении вибрации
ОПФ резко падает и
становится равной нулю
на частоте 0.77 a
затем происходит
обращение контраста
ФРТ преобразователя,
описывающего вибрацию в
направлении x
ФРТ:
h x, y  

1

a
2
 2 x 
1 

a


2
(3.72)
пятно рассеяния – отрезок прямой длиной a, и неравномерным
распределением интенсивности
I
4
a
2
a

a
2
0
a
2
x
Двоение
Может возникать при ошибке углов призмы с крышей
Пятно рассеяния – две светящиеся точки на
расстоянии d
ФРТ:
1 
d
d 

hx, y      x      x   
2 
2
2 

(3.73)
ОПФ:
d
d
 2i x 
1  2i x 2
2   cos  d 
D  x , y  e
e
x

2




(3.74)
ОПФ преобразователя,
описывающего двоение
k 1
0.5
0
1
d
0.5
2
d
3 x
d
1


ОПФ становится равной нулю на частоте 0.5/d
затем происходит полное обращение контраста
Матричный приёмник
изображения
Особенности матричного приемника изображения


преобразуют непрерывный сигнал в дискретный
не являются изопланатическими
 (при смещении предмета изображение может изменить свою структуру)
поэтому


нельзя однозначно описать такой приемник при помощи ФРТ или ОПФ и
включить их в эквивалентные характеристики всего каскада
преобразователей
процесс регистрации изображения на матричном приёмнике следует
рассматривать отдельно, учитывая целый ряд характеристик приёмника
Во многих случаях можно ограничиться
геометрическими параметрами:


размеры ячеек
шаг
Δx  Δy


d x  d y 
dx
dy
y
x
Моделирование матричного
приемника
Процесс регистрации:


сканирование объекта прямоугольной ячейкой
сканирующая ячейка работает только в определённые моменты времени с
некоторой периодичностью, когда координаты кратны Δx и Δy
Преобразует непрерывный сигнал в дискретный и
интегрирует его в пределах своих площадок:
(3.75)
I1  x, y   I o  x, y   hm  x, y 


I o  x, y  – входной сигнал,
hm  x, y  – импульсная реакция
где
прямоугольной ячейки
Т.к. ячейки расположены с некоторым шагом:
 x y 
hm x, y  rect d x , d y  sinc , 
 Δx Δy 


(3.76)
Моделирование матричного
приемника
ОПФ этапа сканирования:





Dm  x , y  sinc d x x ,d y y  rect Δx x , Δy y

(3.77)
Дискретизация
 x y  
I 2 x, y  I1 x, y  comb , 
 Δx Δy 

(3.78)
домножение сигнала на функцию гребёнки отмасштабированную
так, чтобы максимумы были расположены с периодами Δx и Δy:
Моделирование матричного
приемника
Выходной сигнал ограничиваем домножением на
 x
y 

rect
,
 N  Δx M  Δy 

где M, N – количество элементов матричного приёмника
Интерполяция изображения – свёртка сигнала с
интерполяционной функцией:


 x y 
 , 
sinc
для получения непрерывного сигнала
 Δx Δy 
для получения квантованного сигнала
 x y  
rect , 
 Δx Δy 
Выводы
С точки зрения теории сигналов:


работа о.с. заключается в преобразовании входного сигнала
(предмета) в выходной сигнал (изображение).
изображение представляет собой свёртку предмета с функцией
импульсного отклика о.с.
 справедливо, если для преобразователя выполняются условия
линейности и изопланатичности

для оценки качества изображающей системы можно использовать:
 функцию рассеяния точки
 функцию рассеяния линии
 функцию концентрации энергии
 пограничную кривую
Выводы
В частотном описание преобразования сигналов



предмет представляется в виде совокупности элементарных гармонических
предметов разной частоты и амплитуды
гармонический предмет является собственной функцией изображающего
оператора
преобразование сигналов сводится к фильтрации
 о.с. – фильтр низких частот

ОПФ описывает связь между частотными представлениями предмета и
изображения
При формировании изображения каскадом последовательно
расположенных линейных изопланатических преобразователей:


изображение – свёртка предмета с эквивалентным импульсным откликом
каскада преобразователей.
спектр изображения – произведение спектра предмета и эквивалентной
ОПФ