Структура и качество оптического изображения

Структура и качество
оптического изображения
Основы оптики
кафедра
прикладной и компьютерной оптики
2
Свойство линейности
Изображение суммы объектов равно сумме изображений
каждого объекта:
Oi   I i

изображающие оптические системы полностью линейны
3
Свойство инвариантности к сдвигу
(условие изопланатизма)
При смещении точки ее изображение только смещается
на пропорциональную величину:
y  V  y

где V – увеличение
O1 y
O
O
O1
y  V  y
Изопланатическая зона – это зона, в пределах которой
соблюдается условие изопланатизма
4
Функция рассеяния точки
Функция рассеяния точки (ФРТ) hx, y – это функция,
описывающая зависимость распределения освещенности
от координат в плоскости изображения, если предмет –
это светящаяся точка в центре изопланатической зоны
y
y
изопланатическая
зона
Vy
y
x
x
V x
x
5
Функция рассеяния точки
Изображение всего предмета будет представлять собой
сумму изображений каждой точки предмета:
I  x , y  
 
  I x, y   hx  Vx, y   Vy   dx  dy
 

где I x, y  – предмет, hx  Vx, y   Vy  – изображение точки предмета
Функция изображения есть свертка функции предмета
с функцией рассеяния точки:
I x, y  I x, y   hx, y
6
Гармонический
периодический объект
Периодическая решетка – это структура с белыми и черными
полосами
Гармоническая периодическая решетка – это структура,
интенсивность которой описывается гармонической функцией:
y
 x  b 


I
x

a

cos
 2


y
x
T


 где a – вещественная амплитуда,
b – сдвиг, Т – период,  – угол ориентации

I
x
a
x
b
T
а) распределение интенсивности
б) сечение распределения интенсивности
7
Гармонический
периодический объект
Интенсивность гармонической решетки в комплексной
форме:
I  x   u  e 2i   x


1
– пространственная частота, u  a  e 2 i  b – комплексная амплитуда
T
Выразим x  x  cos   y  sin  , тогда интенсивность
гармонической решетки будет зависеть от
двух координат (x,y):
I x   u  e2i  x cos  y sin    u  e

где

2i  x x  y  y
 ~
 I x, y 
 x – частота в направлении x,  y – частота в направлении y
8
Изображение
гармонического объекта
Изображение
гармонического объекта
 
I~ x , y  
I~  x, y   h  x   Vx, y   Vy   dxdy
 
 

где I  x, y  – распределение интенсивности на предмете
~
Выразим координаты предмета и изображения в едином
масштабе (V  1) :
I~ x , y  
 

ue

2i  x x  y y

 h  x   x, y   y   dxdy
 
Выполним замену переменных
I~ x, y  
 

u e
 

2i  x  x   v  y  y   w 

x   x   dx   dv x  x   v :
y   y   dy   dw y  y   w
 h  ,    dd
9
Изображение
гармонического объекта
Переобозначим   y ,   x:
I~ x, y  
 
u e


2i  x  x   x  y  y   y 

 h  x, y   dxdy 
 

 

u e

2i  x x   y y 

e

 2i  x x  y y

 h  x, y   dxdy 
 
 ue
 ue

2i  x x   y y 

2i  x x   y y 





 

 h  x, y   e

 2i  x x  y y

 dxdy 
 
 D  x , y 
 где D  x , y – это некоторая функция, зависящая от
пространственных частот
10
Изображение
гармонического объекта
Обозначим u  u  D x , y  , тогда распределение
интенсивности на изображении гармонического объекта:
2i  x x   y y  
I~ x, y   u  e
Изображение гармонической решетки любой оптической системы это
гармоническая решетка с той же частотой. Воздействие оптической системы
выражается в изменении комплексной амплитуды гармонической решетки
11
Оптическая передаточная
функция
Оптическая передаточная функция (ОПФ) D x , y 
характеризует передачу структуры предмета оптической
системой как функция пространственных частот:
u  u  D x , y 
ОПФ связана с ФРТ преобразованием Фурье:
D  x , y  
 

 h  x, y   e

 2i  x x  y y

 dxdy
 
F

или ОПФ  F ФРТ  или ФРТ  ОПФ

где
F – обозначение Фурье преобразования:
 
 2i  x x  y y 
F  f  x, y     f  x, y   e
 dxdy
 
12
Оптическая передаточная
функция
ОПФ – это комплексная функция:
D  x , y   T  x , y  e

i  x , y

модуль ОПФ – модуляционная передаточная функция (МПФ) или частотноконтрастная характеристика (ЧКХ):

T  x , y   D  x , y 
аргумент (фаза) ОПФ – фазовая передаточная функция (ФПФ) или
частотно-фазовая характеристика (ЧФК):

  x , y   arg D  x , y 
13
Частотно-контрастная
характеристика
Частотно-контрастная характеристика показывает
передачу вещественной амплитуды гармонического
объекта:
ЧКХ 

где
a
a
a – амплитуда на предмете, a – амплитуда на изображении
14
Контраст
гармонического объекта
Контраст для периодических (гармонических) изображений:
I
  I min

I max
k 
0  k  1
  I min

I max

I max

I min
Абсолютный контраст:
I
 0
k   1 I min
Нулевой контраст:
I
  I max

k  0
I min
x
x
Изображение нельзя зарегистрировать, если:
k   k
 где  k  – порог контраста, зависящий от приемника изображения
(например, для глаза k   0.05 )
x
15
Постоянная и переменная
составляющие изображения
Контраст для изображения гармонического объекта:
a
a0
где a 0 , a  – постоянная и
k 

I
a
переменная составляющие
изображения гармонического объекта
a 0
Если a0  a0 , то частотно-контрастная характеристика:
ЧКХ 

k
k
где k  – контраст изображения, k – контраст предмета
x
16
Частотно-контрастная
характеристика
Частотно-контрастная характеристика показывает зависимость
контраста изображения гармонической решетки от частоты
решетки, если считать, что на предмете контраст единичный


 лин

для ближнего типа пространственная частота  измеряется в 
мм 

 лин

для дальнего типа пространственная частота  измеряется в 
рад

k
1
идеальная о.с.
реальная о.с.
0
x
17
Передача структуры изображения
Передача структуры изображения описывается ФРТ или
ОПФ, которые связаны через преобразования Фурье
Отобразить двумерную функцию ОПФ можно в виде:

 
графиков сечений T  x  или T  y


изометрического изображения “поверхности” T  x , y

карты уровней T  x , y



18
Дифракция и аберрации
Существует два фактора, которые влияют на структуру и
качество изображения в оптической системе: дифракция и
аберрации:


если аберрации малы и преобладает дифракция, то такие системы
называются дифракционно-ограниченными
если аберрации велики, и дифракция теряется на фоне аберраций, то
такие системы называются геометрически-ограниченными
19
Схема формирования
оптического изображения
y
y
плоскость
предметов
x
x
вых. зр.
U  x, y 
U  x, y
A0
A0
Sw
А.Д.
S p плоскость
изображений
S w
Действие реальной оптической системы:




преобразование расходящегося пучка лучей в сходящийся
ограничение размеров проходящего пучка лучей или волнового фронта
ослабление энергии проходящего поля
нарушение гомоцентричности пучка или сферичности волнового фронта,
то есть изменение фазы проходящего поля
20
Схема формирования
оптического изображения
При небольших аберрациях поле на волновом фронте:
U в.ф. Px , Py   1
Набег фазы от выходной сферы до волнового фронта:
  e
2i
l  n 

где  l  – расстояние между волновым фронтом и выходной сферой вдоль
луча

Поле на выходной сфере можно представить в виде:
2iW Px , Py 

e
, внутри зрачка
U Px , Py   
 f Px , P 

0, вне зрачка



где W Px, Py 
l   n

– волновая аберрация
f Px, P  – зрачковая функция
21
Зрачковая функция
Зрачковая функция показывает влияние оптической
системы на прохождение электромагнитного поля от точки
предмета до выходного зрачка:
 12  ,    e 2iW  x ,  y  , внутри 
x
y
0
f  x ,  y   
0, вне  0

 x ,  y  – канонические зрачковые координаты
  x ,  y  – функция пропускания по зрачку
где
 0 – область зрачка в канонических координатах
22
Формирование к.а. поля
в плоскости изображения
Применим принцип Гюйгенса в форме интеграла
Гюйгенса-Френеля: n r 
U  x , y    U x p , y p 
e
S p
2i

r
dS p
Используем зрачковую функцию:
U  x, y    f  x ,  y 
e
2i
r n 
r

U Px , Py 
d x d y
x p , y p 
y
r
rp  const
выходная
сфера
U  x, y 
x, y 
x
z
плоскость
изображения
23
Формирование к.а. поля
в плоскости изображения
Поскольку r  rp  r и r   rp , то:
e
2i
r n 

e
2i
r p n 

Множитель e
e
2 i
2i
r p n 

r n 

 const , тогда:
U  x, y    f  x ,  y 
e
2i
r n 
r

d x d y
24
Формирование к.а. поля
в плоскости изображения
r  можно выразить через x, y  и xp , y p :
x x p  y y p
OA  r   
rp


для крайнего луча
y
r
n sin  A  A
 p
для остальных лучей
nx p
  x A
rp
ny p
  y A
rp
выходная
сфера
Тогда к.а. поля в плоскости изображения:
U x, y    f  x ,  y 
А
rp
e
 2i
x  x  y  y

r
A
d x d y
r 
О
z
плоскость
изображения
25
Канонические координаты на
предмете и изображении
Канонические координаты на предмете и изображении:
x   x
Ax
y   y
Ay


 x   x
 y   y 
Ax

Ay

Комплексная амплитуда поля в плоскости изображения в
канонических координатах:
U x , y    f  x ,  y  e

2i  x  x  y  y

d x d y
26
Комплексная амплитуда и ФРТ
в канонических координатах
Комплексная амплитуда в изображении точки в
канонических координатах:
U  x , y   F 1  f  x ,  y 

комплексная амплитуда поля в изображении точки есть обратное Фурьепреобразование от зрачковой функции в канонических координатах
Функция рассеяния точки в канонических координатах:
h  x , y   F 1  f  x ,  y 
2
27
ОПФ в канонических
координатах
Оптическая передаточная функция в канонических
координатах:


Dx , y   F h x , y 

где
 x ,  y – канонические пространственные частоты:
 x   x
 y   y


Ax

Ay
  x
  y

Ax

Ay
  x
  y
лин мм

канонические частоты безразмерные:
мм sin
28
Связь зрачковой функции с ОПФ
в канонических координатах
Связь зрачковой функции с ОПФ в канонических
координатах:
2
1

D x ,  y   F F  f  x ,  y  


ОПФ как автокорреляция зрачковой функции:
D  x ,  y  

1
0

f  x ,  y   f *  x   x ,  y   y   d x d y
где  0 – площадь зрачка в канонических координатах
29
Пример из тестов
Какая функция показывает зависимость контраста изображения
периодического гармонического объекта от его пространственной
частоты?
Как связаны оптическая передаточная функция и зрачковая функция?




ОПФ является квадратом зрачковой функции
ОПФ является автокорреляцией зрачковой функции
ОПФ является модулем обратного Фурье-преобразования от зрачковой функции
никак не связаны
Какое явление нельзя описать при помощи зрачковой функции?






преобразование оптической системой расходящегося пучка лучей в сходящийся
ограничение оптической системой размеров проходящего пучка лучей
ослабление оптической системой энергии проходящего поля
нарушение оптической системой гомоцентричности пучка
изменение оптической системой поляризации проходящего излучения
передачу оптической системой пространственных частот
30
Зрачковая функция
при отсутствии аберраций
Зрачковая функция при отсутствии аберраций:
 12  ,  , внутри 
x
y
0
f 0  x ,  y   

0, вне  0
 где  0 – область зрачка в канонических координатах
Если пропускание равномерно по зрачку:




2
2

1, при  x   y  1
f 0  x ,  y   
2
2
0
,
при




x
y 1

или:
f0  x ,  y   Circ x ,  y 
31
Функция рассеяния точки
при отсутствии аберраций
Функция рассеяния точки при отсутствии аберраций:
h0  x ,  y   F 1 Circ x ,  y 

где  
порядка
2
 J 1 2 
2
 


Bes
sin
c

  
2
 x2   y2 , J1 2  – функция Бесселя первого рода, первого
32
Функция рассеяния точки
при отсутствии аберраций
h0  
y
1.0
x
1.22

Ay

-1.62 -1.12 -0.61
0
0.61 1.12 1.62
 центральный максимум – 83.8% энергии (высота 1.0)
 первое кольцо – 7.2% энергии (высота 0.0175)
 второе кольцо – 2.8% энергии (высота 0.0045)
 третье кольцо – 1.4% энергии (высота 0.0026)
 четвертое кольцо – 0.9% энергии
33
Диск Эри
Центральный максимум ФРТ называется диском Эри
Диаметр диска Эри в реальных координатах на
изображении:
1.22 
D
A0

где A0 – апертура осевого пучка.
Изображение точки для ближнего типа не может быть меньше
длины волны
34
Влияние неравномерности
пропускания по зрачку на ФРТ
h  
  
1.0
1
1.0
2
2
1
3
3


-1.12
функция пропускания по зрачку
-0.61
0
0.61
1.12
функция рассеяния точки
Аподизация – специально создаваемая неравномерность пропускания по
зрачку, влияет на передачу структуры изображения сложного объекта
35
Безаберационная ОПФ
Для безаберрационной оптической системы
автокорреляция зрачковой функции:
 x ,  y 
1
D  x ,  y  
d x d y 

 0   , 
0
x

y
где   x ,  y  – область интегрирования



  x , y

y

0  x  x ,  y  y
y
0

0  x ,  y
x

x

области зрачков, смещенные относительно друг друга на (x, y)
36
Предельная
пространственная частота
Максимальная каноническая пространственная частота:
 max  2
Предельные реальные пространственные частоты:
 lim x 
2 Ax

 lim y 
2 Ay

ОПФ
1
идеальная о.с.
безаберрационная о.с.
0
Для реальной оптической системы при отсутствии аберраций ОПФ не
соответствует ОПФ идеальной системы, и всегда ограничена
предельными частотами, обусловленными дифракцией света

2
37
Пример из тестов
Какой математической функцией можно описать зрачковую функцию,
если аберрации в оптической системе отсутствуют, а пропускание
равномерно по зрачку?
Какой математической функцией можно описать функцию рассеяния
точки в отсутствии аберраций?






Circ
Rect
Sin2
Cos
Sinc2
Bessinc2
Чему равна максимальная пространственная частота
безаберрационной оптической системы, если задняя апертура 0.3, а
длина волны 0.6 мкм? Ответ дать в лин/мм.
 2A/ = 20.3/0.6 = 1 лин/мкм = 1000 лин/мм
38
Предельная разрешающая
способность по Релею
Предельная разрешающая способность – это минимальное
расстояние  R между двумя точками, при котором их
изображение отличимо от изображения одной точки

для оптических систем при отсутствии аберраций  R  0.61 к.ед.
20%

R
39
Разрешающая способность
по Фуко
Разрешающая способность R – это максимальная
пространственная частота периодического тест-объекта,
состоящего из черно-белых штрихов (миры Фуко), в
изображении которого еще различимы штрихи

предельная разрешающая способность R0 определяется размерами
зрачка, длиной волны и аберрациями
k
1
0.2
0
R
R0  2

40
Пример из тестов
Чему равна предельная разрешающая способность, если диаметр
диска Эри равен 0.2 мкм?

 = D/2 = 0.2/2 = 0.1
Какую длину волны необходимо использовать, чтобы добиться
предельной разрешающей способности 0.3 мкм, если оптическая
система находится в воздухе, а ее задняя апертура A’=0.6? Ответ дать
в мкм.


 = 0.61 к.ед. = 0.61/A
 = 0.61 /А = 0.610.3/0.6 = 0.3 мкм
Какими способами можно увеличить разрешающую способность
оптической системы?





увеличить апертуру
уменьшить апертуру
уменьшить длину волны
увеличить длину волны
поместить предмет ближе к оптической системе
41
Влияние аберраций на ФРТ
h  
1.0

1.22


Влияние малых аберраций – часть энергии из центрального максимума
переходит в кольца
Влияние больших аберраций – сходство ФРТ с безаберрационной полностью
теряется
42
Картины Эри для аберраций
различных типов
y
y
x
симметричные
аберрации
y
x
кома
x
астигматизм
43
Число Штреля
Число Штреля (критерий Штреля) показывает влияние
аберраций на ФРТ:
h 0
St 
h0 0

0  St  1
где h 0  – значение ФРТ в ее максимуме при отсутствии аберраций,
h0 0  – значение ФРТ в ее максимуме при наличии аберраций
h  
St  1 – оптическая система безаберрационная
St  0.8 – система практически безаберрационная
1.0
h  0
h0  0

44
Критерий Релея для малых
аберраций
Если величина волновой аберрации не превосходит  4, то
число Штреля больше 0.8
Релеевский допуск на остаточные аберрации:
Wmax  


4

справедливо не для всех типов аберраций
не дает точного значения числа Штреля при
конкретных значениях волновой аберрации
(например, Wmax   , Wmax   )
3
6
W
4
45
Вывод формулы Марешаля
Функция рассеяния точки:
h  x , y   F 1  f  x ,  y  
2


f  x ,  y e

2i  x  x  y  y

d x d y

Значение ФРТ в ее центральном максимуме:
h0  h  x  0, y  0 

  f  x ,  y  d x d y
2

С учетом выражения для
зрачковой функции:
2
h0 
 e
0

2iW  x ,  y

d x d y
2
46
Вывод формулы Марешаля
В случае малых аберраций W  14, следовательно:
3
4
W , W , ...  1
Тогда при разложении функции в ряд, можно оставить
только три члена, а остальные отбросить  e x  1  x  1 x 2  :
e
2iW
1
2
 1  2iW  2iW   1  2iW  2 2W 2
2


2
Тогда приближенное выражение
для ФРТ:
2
h 0 
 1  2iW  2 W  d d
2
2
x
y

0

2
2


d

d


2

i
W

,

d

d


2

W
x
y
x
y
x
y


  x ,  y  d x d y
0
0
0
2
47
Вывод формулы Марешаля
Обозначение среднего значения волновой аберрации по
зрачку:
1
W
W  x ,  y  d x d y

0 
0
Обозначение среднего квадрата волновой аберрации:
W 
2
1
2
 x ,  y  d x d y
W

0 
0
Тогда значение ФРТ в ее центральном максимуме:
h0
iW  2 W
 02 1  2
2
22
48
Вывод формулы Марешаля
Модуль комплексного числа z  a  ib :
2
z  a 2  b2
Следовательно:
 
h 0   1  2 W 2  4 4 W 2

2
0
2

   
 4 W    02 1  4 2 W 2  W


2
2
2
Значение ФРТ в максимуме при отсутствии аберраций:
h0 0   02
49
Формула Марешаля
Формула Марешаля:
St 
W
2

h0
2
 1  4 2 W 2  W 
h0 0
 W 
2


– дисперсия волновой аберрации по зрачку
(разность среднего квадрата и квадрата среднего значения):

DW  W  W

2

   W
 W 2  2W W  W
2
2
 
 2W W  W
2
 
W 2  W
2
Формула Марешаля показывает, что важна не сама волновая
аберрация, а ее изменение (деформация волнового фронта) по зрачку
50
Допуск Марешаля
для малых аберраций
Средний квадрат деформации волнового фронта (СКВ):
DW  Wскв
Формула Марешаля:
2
St  1  4 2 DW  1  4 2Wскв
 1  2Wскв 
Если St  0.8  1  4 2 DW , то DW 
2
1
200
Допуск Марешаля на СКВ:
Wскв 
1
14
Допуск на остаточные аберрации справедлив для любых типов
аберраций малой величины
51
Влияние аберраций на ОПФ
При наличии аберраций ОПФ оптической системы
становится меньше, чем ОПФ безаберрационной системы
k
1
безаберрационная о.с.
0

2
52
Дифракционно-ограниченные
оптические системы
Дифракционно-ограниченные оптические системы:



рабочий интервал частот, превышает половину от предельной   1
качество изображения определяется явлениями дифракции и
непосредственно зависит от отношения апертуры к длине волны A

степень коррекции аберраций оценивается по критерию Марешаля
k
1
дифр. ограниченная о.с.
безаберрационная о.с.
0.2
0

1
2
53
Геометрически-ограниченные
оптические системы
Геометрически-ограниченные оптические системы:



рабочий интервал частот не превосходит   0.5
качество изображения определяется картиной поперечных аберраций и
непосредственно не зависит от длины волны и апертуры
степень коррекции аберраций оценивается поперечными аберрациями
k
1
дифр. ограниченная о.с.
безаберрационная о.с.
геом.
ограниченная о.с.
0.2
0

0.5
1
2
54
Пример из тестов
В чем заключается влияние больших аберраций на ФРТ?




структура ФРТ полностью разрушается
интенсивность центрального максимума уменьшится, а колец увеличится
центральный максимум расширится, а интенсивность колец уменьшится
центральный максимум расширится, а интенсивность не изменится
В каких случаях можно использовать формулу Марешаля?




если аберрации невелики, и присутствует только сферическая аберрация
если аберрации невелики
если волновая аберрация превышает  / 4
если средний квадрат деформации волнового фронта превышает  / 14
Как можно оценить качество геометрически-ограниченной системы?





по критерию Марешаля
по числу Штреля
по поперечным аберрациям
по точеной диаграмме
по параксиальным характеристикам