Преподавание курса «Методы внутренних точек» Зоркальцев В.И., д.т.н., проф., ИГУ, кафедра мат.экономики Филатов А.Ю., к.ф.-м.н., доцент ИГУ, кафедра мат.экономики Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 05-01-00587а) Высшая математика Математический анализ Методы оптимизации Линейное программирование Методы внутренних точек Исторический экскурс 1939 – линейное программирование (Канторович). 1947 – симплекс-метод (Данциг). 1967 – метод внутренних точек (Дикин). 1984 – полиномиальный МВТ (Кармаркар). 1990-е - 2007 – эффективные программные реализации. CPlex (http://maximal-usa.com), BPMPD (http://sztaki.hu), MOSEK (http://mosek.com), HOPDM (http://www.maths.ed.ac.uk/~gondzio/software/hopdm.html) Множество допустимых решений Множество оптимальных решений Траектория симплекс-метода Множество допустимых решений Множество оптимальных решений Траектория методов внутренних точек Аффинно-масштабирующие алгоритмы внутренних точек Пара взаимно-двойственных задач ЛП: b u max, U u R c T x min, X x R n : Ax b, x 0 xX T m uU (1) (2) rk b Axk (3) : g u c A T u 0 Стартовое приближение: x1 0 Итеративный переход: xk 1 xk k xk Направление корректировки: n x 2 1 j cTx min , 2 k 2 j 1 x xR n j Шаг корректировки: k k k min x x j j k j:x j 0 Ax r k , Алгоритмы центрального пути (обладают полиномиальными оценками) Логарифмическая барьерная функция: n c x ln x j min, T Ax b (4) j 1 Параметризация в комбинированных алгоритмах: n c T x x j k j 1 x j n x 2j 1 k 2 j 1 x j 2 min , xR n Ax r k (5) Преимущества алгоритмов внутренних точек • Удобная адаптация к задачам в нестандартной постановке. • На каждой итерации идет улучшение всех переменных. • Решение – относительно внутренняя точка множества оптимальных решений. • Наличие у ряда алгоритмов полиномиальных оценок максимального объема вычислений. Примерная программа курса «Методы внутренних точек» (34 ч.) 1. Теоретические основы линейной оптимизации • Пара взаимно-двойственных задач линейного программирования. • Основные факты теории двойственности. 2. Аффинно-масштабирующие алгоритмы для решения задач линейного программирования • Истоки алгоритмов внутренних точек. • Прямые аффинно-масштабирующие алгоритмы. • Способы задания весовых коэффициентов. • Ввод в допустимую область. • Двойственные аффинно-масштабирующие алгоритмы. Примерная программа курса «Методы внутренних точек» (34 ч.) 3. Полиномиальные алгоритмы для решения задач линейного программирования • Исторический экскурс в полиномиальные алгоритмы. • Идейная основа и общая схема алгоритмов центрального пути. • Простейший вариант алгоритма центрального пути. • Процедуры, ускоряющие вычислительный процесс. • Двойственные алгоритмы центрального пути. • Проблема инициализации алгоритмов. Два способа ее решения путем перехода к расширенным задачам специального вида. • Алгоритмы скошенного пути. • Комбинированные алгоритмы. Примерная программа курса «Методы внутренних точек» (34 ч.) 4. Решение систем линейных неравенств • Метод Фурье-Черникова. • Метод сведения к задаче линейного программирования с одной дополнительной переменной. • Случай интервальных ограничений на переменные. • Быстрая идентификация несовместности системы. 5. Обращение симметричной положительно определенной матрицы • Метод Гаусса. • Метод Халецкого. • Метод сопряженных направлений. • Техника частичного обновления. Примерная программа курса «Методы внутренних точек» (34 ч.) 6. Примеры практического приложения алгоритмов внутренних точек • Задача поиска допустимых режимов электроэнергетических систем. • Задача идентификации состояния электроэнергетических систем. • Задача оценки дефицита мощности электроэнергетической системы Информация о данном курсе в интернете • http://polnolunie.baikal.ru/me/mat_prog.htm • http://math.isu.ru/filatov • E-mail: [email protected] Спасибо за внимание! http://math.isu.ru/filatov, http://polnolunie.baikal.ru/me, http://fial_.livejournal.com, [email protected]