Моделирование электрических машин MathCAD, MatLAB/Simulink

Моделирование
электрических машин
MathCAD, MatLAB/Simulink
Общие положения
Электрические машины как постоянного
тока, так и переменного тока – это
электромеханические преобразователи
энергии
(ЭМП),
принцип
действия
которых базируется на электромагнитном
взаимодействии, электрического тока и
магнитного поля (закон электромагнитной
индукции и закон Ампера) и втором
законе Ньютона (законе равновесия
моментов и сил).
Конструктивное исполнение ЭМП
Общим характерным конструктивным
признаком
электромеханических
преобразователей
энергии
является
наличие подвижной (в большинстве
случаев вращающейся) и неподвижной
частей, в пазах которых располагаются
обмотки.
Геометрическая (конструктивная) модель
магнитопровода ЭМП имеет следующий
вид:
A
C


B
Математическое описание
процессов ЭМП
При описание процессов в ЭМП
оперируют с переменными состояния,
представленными
в
векторноматричной форме, в виде векторовстолбцов
мгновенных
значений
напряжений источников питания, токов
и потокосцеплений обмоток подвижной
и неподвижной частей.
 usA 


U s  usB  Ea
 
usC 
ura 


U r  urb  Ea
 
urc 
 isA 


I s  isB  Ea
 
isC 
ira 


I r  irb  Ea
 
irc 
 sA 


 s   sB  Ea


 sC 
 ra 


 r   rb  Ea
 
 rc 
1 0 0 


Ea  0 a 0


2
0 0 a 
2
a, a
где
- единичные вектора,
учитывающие пространственное смещение
обмоток.
Для трехфазной (естественной) системы
координат
а
1
3
a   j
2
2
1
3
a   j
2
2
2
Параметры ЭМП
Параметрами ЭМП являются активные
сопротивления,
эквивалентные
индуктивности, индуктивности рассеяния и
индуктивности взаимоиндукции
обмоток
подвижной и неподвижной частей.
Параметры
электромеханических
преобразователей энергии
могут быть
найдены в справочной литературе или
определяются по методикам расчета.
Взаимные индуктивности между фазами
обмоток подвижных и неподвижных
частей ЭМП являются периодическими
функциями
от
угла
поворота
(пространственного смещения) частей
относительно друг друга.
Поэтому
полная
система
дифференциальных
уравнений,
описывающая
процессы
в
электромеханических преобразователях
энергии, нелинейная.
Координатные системы
При математическом описании процессов в
ЭМП и разработке их структурных схем
осуществляют
замену
действительных
переменных новыми переменными при
условии
сохранения
адекватности
математического
описания
физическому
объекту.
Для этого переходят от естественной системы
координат к эквивалентной прямоугольной
системе координат и все вектора токов,
напряжений и потокосцеплений записывают в
новой системе координат.
В настоящее время на практике наиболее
часто
используется
математическое
описание и структурные схемы ( в
частности для асинхронного двигателя) в
следующих системах координат:
неподвижная
система
координат,
связанная со статором ,k  0 а именно:
,  ,
вращающаяся синхронно с магнитным
полем ,k  c а именно:
x, y,
вращающаяся система координат d,q,
скорость вращения которой k  r
При этом составляющие проекций
векторов напряжений источников питания
на
оси  ,  записывают
в
виде
тригонометрических функций:
U  U m  cos(t ), U   U m  sin(t ),
Для других координатных осей проекции
этих векторов на оси равны 1
Разработка моделей в MathCAD
и MatLAB
На первом этапе при разработке моделей
необходимо математическое описание
процессов в исследуемом объекте (
данном
случае
в
асинхронном
короткозамкнутом электродвигателе).
В векторной форме система уравнений,
описывающая процессы в двигателе
имеет следующий вид:
Система уравнений равновесия
напряжений
d s

us  Rsis 
 jk s

dt

d r
ur  Rr ir 
 j k    r 
dt

 s  Ls is  Lmir


 r  Lmis  Lr ir

Электромагнитный момент и
уравнения равновесия моментов
Уравнения равновесия напряжений дополняют
выражением момента, представленного как
векторное произведение потокосцепления и
тока
M  k (  i )
и уравнением равновесия моментов
d
J   M  M c
dt
Второй этап в разработке
модели
Представление полученных уравнений
виде
проекций
векторов
на
оси
выбранной для исследования системы
координатных осей.
Преобразование уравнений к виду
удобному для решения, к форме
уравнений Коши.
После этого этапа моделирование в
программах MathCAD и MatLAB имеют
свои особенности.
Решение уравнений в MathCAD
Решение
уравнений
в
MathCAD
реализуется с помощью численных
методов Эйлера, Рунге-Кутта и т. д.с
разработкой
пользовательских
программ и
с использованием
встроенных функций Odesolve, Rkadapt,
rkfixed и т. д.
Пример программы в MathCAD
d
U sx  i sx Rs 
sx  c sy ;
dt
d
U sy  i sy Rs 
sy  c sx ;
dt
d
0  irx Rr 
rx  (c  ) ry ;
dt
d
0  iry Rr 
ry  (c  ) rx ;
dt
3
M  p n ( sx i sy  sy i sx );
2
d
J
  M  M c.
dt
Начальные условия
 sx 0   0 

  
 sy 0   0 
    0
 rx 0  :  , t 0 : 0, dt : 0.01, j : 0...1000
 ry 0   0 
    0
 0   
 M   0
 0   
t j  dt






sx j  dtU sx   s sx j  K r  s rx j  c sy 


j


 t j 1  


 
    





dt

K






sy
s
sy
r
s
ry
c
sx
 sx j 1  
j
j
j
j



 

sy
j 1   rx  dt   r rx  K s  r sx  (c   j ) ry  

j
j
j
j

 rx j 1  : 

    
 

  


dt

K



(



)

ry j
r ry j
s r sy j
c
j
rx j
 ry j 1  

 
 
 
 pn 
 
Kr 
j

1


  j  dt
1.5 p n
rx j sy  sx j ry   M c  


j
j
 M j 1 

J

L

s

 


 




Kr 

1.5 p n
 rx j sy j  sx j rx j  



Ls 



0.975
0.8
0.6
Mj
wj
0.4
0.2
0
 3.665 10 3
0.2
0
0
20
40
60
80
tj
100
120
140
145
Имитационная модель в MatLAB
При моделировании электромеханического
преобразователя необходимо создать:
•модель источника электроэнергии;
•модель ЭМП (двигателя);
•модель механизма, который приводится в
действие двигателем;
•модель системы управления координатами
двигателя.
Модель электрической сети
Модель трехфазной электрической сети
(источника электроэнергии) можно
собрать следующим образом (используя
группу SimPowerSystems/Electrical
Sources, компонент AC Voltage Source):
•В
созданной
модели
необходимо
назначить для каждого компонента
напряжение 310 Вольт (амплитудное
значение фазного напряжения) и частоту
50 Гц. Сдвиг по фазам – 0, 240, 120
градусов
для
каждого
компонента
соответственно.
•Для того, чтобы модель с примененными
компонентами заработала, необходимо (в
обязательном
порядке!)
установить
компонент измерения напряжения Voltage
Measurement
из
группы
SimPowerSystems/ Measurements
Модель двигателя
В качестве модели двигателя воспользуемся
компонентом Asynchronous Machine SI Units,
находящийся
в
подгруппе
SimPowerSystems/Machines.
В
свойствах
компонента
необходимо
установить тип ротора как короткозамкнутый
(Rotor type - Squirrel Cage).
Параметры схемы замещения, предлагаемые
для редактирования, в рамках данной
задачи моделирования изменению не
подлежат.
•Модель
двигателя
выдает
вектор
значений рассчитанных координат. Для
визуализации
конкретных
координат
модели двигателя необходимо применить
блок Machines Measurement Demux из
подгруппы SimPowerSystems/Machines.
• В свойствах компонента необходимо
выбрать подключение к асинхронному
двигателю, а также установить «галочки»
напротив
тех
координат,
которые
подлежат визуализации: ток статора,
электромагнитный
момент,
скорость
ротора.
К компоненту Machines Measurement Demux
становится
возможным
подключать
стандартные компоненты визуализации,
например Scope. Полная модель двигателя
и электрической сети, а также результаты
моделирования
процесса
включения
двигателя, представлены на рис.1.
Перед началом моделирования необходимо
задать время моделирования 0,35 секунд, а
также установить метод расчета ode23tb
через
меню
окна
редактирования
Simulation\Configuration Parameters, строка
Solver.
Рис.1
Структурная модель АД
При разработке структурной модели
асинхронного
короткозамкнутого
двигатель исходную систему уравнений
представляют в форме уравнений Коши
относительно
необходимых
для
исследования переменных и системы
координат.
2
i
disx Lm Rr  r  ( Rr L  R L )isx  L u
Lm Rr sy

 ωr isy 
;
dt
Lr L
Lr  r
2
m
disy
dt

2
s r
2
r sx
Lm Lrr  r  ( Rr L2m  Rs L2r )isy  L2r usy
Lr L
d  r Rr Lm
Rr

isx   r ;
dt
Lr
Lr
3 Lm
M  p  r isy ;
2 Lr
J d r
 M  Mc,
z p dt
Rr Lm isxisy
- ωr isx 
;
Lr  r
где проекции вектора напряжения при
необходимо записать в виде
usx  U s sin  ;
usy  U s sin  ,
  ct  t – угол отставания
где
вектора потокосцепления ротора от
поля статора,
U s – амплитуда напряжения обмотки
статора.
Данную модель можно реализовать,
приведя систему уравнений к
операторной форме записи в осях
Тогда можно представить структурную
схему асинхронного двигателя во
вращающейся системе координат,
ориентированной по результирующему
вектору потокосцепления ротора в
следующем виде рис. 2
d,q
Rr Lm
usd  Rэ  (Tэ p  1)  isd  2  rd  k Lsisq ;
Lr
Lm
usq  Rэ  (Tэ p  1)  isq  k Lsisd 
z p rd ;
Lr
0  (T2 p  1) rd  Lmisd ;
Lm Rr isq
k  z p 
;
Lr  rd
3 Lm
M
z p  rd isq ;
2 Lr
1
  ( M  M c ).
Jp