ОТЦ М 2 Тема 6 Перех. проц. начало и в RC 06.05.2012 24

Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 1. Всего 24.
Методы анализа переходных процессов
в линейных цепях с сосредоточенными
параметрами
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 2. Всего 24.
Переходные процессы. Понятие о коммутации
Любое скачкообразное изменение в цепи, приводящее к нарушению
установившегося режима, называется коммутацией. Неустановившиеся процессы
в цепи при переходе от предыдущего установившегося режима к новому
установившемуся режиму называются переходными процессами.
Будем считать, что коммутация осуществляется практически мгновенно.
Момент времени непосредственно перед коммутацией обозначим как t= 0_ , а
момент времени непосредственно после коммутации как t = 0+ или t = 0.
Математика не умеет различать 0_ и 0+.
В момент t = 0+ начинается переходный процесс:
1. Сопротивления индуктивности и ёмкости резко изменяются
2. Эквивалентная схема цепи приобретает совершенно другой вид,
чем до коммутации.
3. Все законы вынужденных режимов становятся несправедливыми.
4. Цепь начинает подчиняться законам переходных режимов.
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 3. Всего 24.
Законы коммутации
При скачке w
p
dw
 ui
dt
p
dw
 ui  
dt
Суммарная энергия, запасённая в цепи, может изменяться только плавно, т.е.
представляет собой непрерывную функцию времени.
Следовательно
 (0 )   (0 )
 q(0 )   q(0 )


Автор Останин Б.П.


Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 4. Всего 24.
Законов коммутации два
Первый закон коммутации. В начальный момент времени после коммутации
ток в индуктивности сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед
коммутацией:
iL (0  )  iL (0  )
а затем плавно изменяется, начиная с этого значения.
Второй закон коммутации. В начальный момент времени после коммутации
напряжение на ёмкости сохраняет такое же значение, как и непосредственно
перед коммутацией:
u C (0  )  u C (0  )
а затем плавно изменяется, начиная с этого значения.
Известные нам законы природы не позволяют скачкообразно
изменяться только энергии, а не напряжениям или токам. Напряжения на
индуктивностях, токи в ёмкостях, а также напряжения и токи резистивных
сопротивлений могут изменяться скачками.
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 5. Всего 24.
Примеры
SA
RИ
Е
u C (0)  0
RС
RИ
С
i C ( 0) 
RС
RС
Е
+ С
UC = E
_
uC ()  E
iC ()  0
Е
E
R И  RC
RИ
SA
RИ
Е
uC (0)  Е
Автор Останин Б.П.
iC (0) 
E
RC
RС
+ С
_
uC ()  0
iC ()  0
Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 6. Всего 24.
Примеры
SA
RИ
RL
Е
L
iL (0)  0
u L (0)  E
RИ
RИ
Е
Е
i L () 
E
RИ  RL
RL
u L ()  0
SA
iL (0) 
E
RИ  RL
RИ
RL
Е
L
u L (0)  RL  iL (0)  RL
E
RИ  RL
iL ()  0
u L ()  0
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 7. Всего 24.
Некорректные коммутации (правильнее говорить о некорректной
постановке задачи коммутации).
SA
RИ
С1
SA
С2
Е
Е
L1
С
SA
R
L2
Е
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 8. Всего 24.
Определение порядка сложности цепи
Устраняем ёмкостные контуры и индуктивные сечения.
R1
L1
C1
Е
C2
C3
L2
R2
L4
L3
C4
R1
R2
C1
L5
Е
C5
L4
C4
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 9. Всего 24.
Классический метод анализа переходных процессов
Из математики известно, что общее решение неоднородного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
равно сумме
dny
d n 1 y
dy
a n n  a n 1 n 1  ...  a1
 a0 y  f (t )
dt
dt
dt
1. Частного решения этого уравнения
2. Общего решения однородного дифференциального уравнения
dny
d n 1 y
dy
a n n  a n 1 n 1  ...  a1
 a0 y  0
dt
dt
dt
Частное решение определяет принуждённый режим работы цепи (режим,
задаваемый действующими в цепи независимыми источниками энергии).
Свободные процессы протекают за счёт разности энергий соответствующих
установившимся режимам работы цепей, до и после коммутации. Характер
свободных процессов не зависит от вида внешнего воздействия, а определяется
только топологией цепи и параметрами пассивных элементов и линейно
управляемых источников.
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 10. Всего 24.
Итак
y  y ПР  yСВ
lim y СВ  0
- свободный процесс затухает, тогда
t 
y ПР  lim y
t 
Последовательность анализа переходных процессов классическим методом
1. Анализ цепи до коммутации.
2. Определение независимых начальных условий.
3. Составление дифференциального уравнения цепи.
4. Определение принуждённой составляющей реакции цепи.
5. Определение свободной составляющей реакции цепи.
6. Суммирование принуждённой и свободной составляющих.
7. Определение постоянных интегрирования.
8. Определение реакции цепи.
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 11. Всего 24.
Переходный процесс в цепи RC
i
SA
R uR
e
При t  0
С
uC
e  u R  uC  R  i  uC
iC  i  C
RC
duC
dt
du C
 uC  e
dt
RC
duC
 uC  0
dt
RCp  1  0
1
p1  
RC
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 12. Всего 24.
Свободная составляющая
uC СВ  Ae p1t  Ae
  RC

t
RC
 Ae
   Ом  Ф  Ом q
 Ом
В
Суммарное решение
uС  uC ПР  Ae


t

АС
С
В
t

t
t

duС ПР
duС ПР
du
1 
1
iС  C C  C
 С Ae   C
C
Ae 
dt
dt

dt
CR
iС  C
Автор Останин Б.П.
duС ПР
dt
t
1 
 Ae 
R
Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 13. Всего 24.
Три случая
1. Включение цепи RC на постоянное напряжение (постоянную ЭДС).
2. КЗ цепи RC.
3. Включение цепи RC на гармоническое напряжение (гармоническую ЭДС)
Включение цепи RC на постоянное напряжение (постоянную ЭДС)
i
SA
R uR
Е
u C ПР  Е
0  Е  Ae 0  Е  A
uC
uC  uC ПР  uC СВ  Е  Ae
0ЕA
t
du C Е 
iC  C
 e
dt
R
Автор Останин Б.П.
С
A  Е

t

u C (0)  0
u C  Е  Еe
t

t


t
 Е (1  e  )
t

Е 
u R  R  i  R e  Ee 
R
Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 14. Всего 24.
Осталось начертить графики
uC
iC
E
E/R
0
t
0
uR
uC, uR
E
E
t
uC
uR
E
0
0
t
t1
t2
t3
t
t1  0,5
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 15. Всего 24.
Если конденсатор к моменту коммутации (началу переходного процесса) уже был
заряжен
i
i
SA
SA
R
R
Е
Е
+ С
_
uC (0)  U C
_ С
+
UC
u C ПР  Е
uC СВ  Ae
uC  uC ПР  uC СВ  Е  Ae
UC  Е  A


UC
t

t

u C  Е  (U C  Е )e
A  UC  Е

t

du
Е  U C 
iC  C C 
e
dt
R
t
u R  ( E  U C )e
Автор Останин Б.П.

t

Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 16. Всего 24.
uC
UС
uC
E
UС
0
E
t
0
iC
t
iC
(E-UС)/R
0
0
t
uC
iC
E
(E+UC)/R
0
-UС
Автор Останин Б.П.
t
t
0
t
Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 17. Всего 24.
Короткое замыкание цепи RC
i
SA
R uR
+ С
_
uC
Е0
uC (0)  U C
uC  U C e

t

du C  U C 
iC  C

e
dt
R
t
Энергия, рассеиваемая в цепи


2t
U C2  
CU C2
W   R  i dt 
e dt 

R 0
2
0
2
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 18. Всего 24.
Для закрепления материала
Определите, до какого напряжения зарядится конденсатор после
окончания переходного процесса. ЭДС постоянная.
SA
R2
Е
Дано:
R1
С
Е = 20 В,
R1 = R2 = 10 Ом.
Ответ: UC() = 10 В.
U C  R2
Автор Останин Б.П.
E
R1  R2
Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 19. Всего 24.
Для закрепления материала
Электрическая цепь, показанная на рисунке, находится в
установившемся режиме. Укажите изменения, которые произойдут в цепи при
замыкании ключа SA.
SA
R2
R1
С
Е
Ответ: никаких.
Электрическая цепь, показанная на рисунке, находится в
установившемся режиме. Укажите изменения, которые произойдут в цепи при
замыкании ключа SA.
SA
R2
R1
Е
С
Ответ: никаких.
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 20. Всего 24.
Включение цепи RC на гармоническое напряжение
Начальные условия нулевые
u  U m sin(  t  U ) u C  u C ПР  u C СВ
uC ПР  uC У
Z  Z  R 2  (
iC ПР  iC У 
u  U m sin(  t   U )

Z
I Cm ПР 
Автор Останин Б.П.
1 2
1
)   arctg
C
RC
Um
R2  (
Um
1 2
R2  (
)
C
1 2
)
C
sin(  t   U   )  I Cm ПР sin( t   I )
 I U 
Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 21. Всего 24.

1

uC ПР  X C  iC ПР  X C ( )  iC ПР 
I Cm ПР sin(  t  U    ) 
2
С
2

 U Cm ПР sin(  t  U    )
2
u C ПР  U Cm ПР sin( t   U   

2
)
u C  u C ПР  u C СВ  U Cm ПР sin(  t   U   

2
)  Ae

t

Постоянная А определяется из начальных условий при t = 0+.
А  U Cm ПР sin(  U   

2
)
Окончательно
u C  u C ПР  u C СВ  U Cm ПР sin(  t   U   
Автор Останин Б.П.

2
)  U Cm ПР sin(  U   

2
)e

t

Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 22. Всего 24.
u C  u C ПР  u C СВ  U Cm ПР sin(  t   U   

2
)  U Cm ПР sin(  U   

2
)e

t

uC ПР
uC
uC = uC ПР+ uC СВ


0
t
uC СВ
Из формулы и графика видно, что при U =  +  и большой постоянной
времени  в цепи могут возникать перенапряжения, достигающие на ёмкости
величины uC m  2uC mПР.
При
U 
Автор Останин Б.П.

2
  в цепи сразу устанавливается установившийся режим.
Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 23. Всего 24.
Ток в цепи
duC
1
 
iC  C
 I Cm ПР sin(  t  U   )  I Cm ПР
sin(  U    )e
dt
RC
2
t
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Перех. Проц. Начало и в RС. Слайд 24. Всего 24.
Дополнение. Постоянную времени  можно определить из опыта как подкасательную к
переходной функции, например из опыта включения цепи RC на постоянное напряжение, как
показано ниже.
iC
IC 
E
R
0
uC




t
E
0
Автор Останин Б.П.
t
Конец слайда