p d  

Глава 5: Статистика электронов и дырок в полупроводниках
2 задачи
(1) Нахождение числа возможных квантовых состояний электронов (дырок)
(2) Нахождение распределения электронов по этим квантовым состояниям в условиях
термодинамического равновесия
5.1. Плотность состояний в зонах
Состояние электронов (дырок)
в зонах характеризуется


1) квазиимпульсом p  k
2) номером зоны l

( 2 ) 3 , где V – объем кристалла
Объем в зоне на каждое значение p 
V
Отсюда число состояний в элементе объема


dp
1
2dp
2
 
(2) 3 / V V (2) 3
2 - Вырождение по спину
Перейдем к энергиям  от E до E+dE

Если известно E ( p ) нет проблем
Вблизи края зоны
p2
или p  2m( E  Ec )
E  Ec 
2me
dp 

1 2me
dE
2 E
Объем в p -пространстве
N (E) 
1
2 
2
3

dp на единицу объема кристалла
Число состояний N(E)dE
E  Ec  E

dp  p 2dp4
( 2mc ) 3 / 2 E 1 / 2
Аналогично для дырок:
N (E) 
1
2 
2
3
( 2mh ) 3 / 2 E 1 / 2
5.2. Распределение Ферми-Дирака
для электронов
для дырок
1
EF
1  exp(
)
kT
1
fp 1 f 
FE
1  exp(
)
kT
f (E, T ) 
F>0 электронный газ вырожден - Функция распределения Ферми-Дирака
Если F<0 и
f  C exp( 
EF
 1
kT
Распределение Больцмана
E
)
kT
(Максвелла-Больцмана)
Электронный газ не вырожден
5. 3. Концентрация электронов и дырок в зонах

n
N
c
( E  Ec ) / kT  x
( E ) f ( E , T )dE
Ec
F  Ec  F - химический потенциал электронов F *  F / kT

( 2 m ) 3 / 2 ( E  E c )1 / 2
1
dE
(2mkT ) 3 / 2 2
x1/ 2 dx
1/ 2
n

(
kT
)

kT

2
 N cФ1/ 2 ( F * )
2 3
1/ 2
3
x

F

E
2 
( kT )
(2)
 1  exp( x  F )
0
1  exp(
) kT
kT


эффективная
интеграл
плотность состояний N c Ферми-Дирака
Аналогично для дырок  подсчитываем пустые места в валентной зоне
p  N p Ф1/ 2 ( Fp )
*
где
Fp 
*
Ev  F
kT
Невырожденные полупроводники.
F*  0
Ф1/ 2 ( F *) 
2


e
N c (E),
Случай сильного вырождения
Eg
kT
)  ni
2
f(E.T) и dn/dE
F*  0
exp
n  Nc
2

N c (E),
f(E.T) и dn/dE
Ec  F
 1
kT
xm
x
0
F
Схематический вид функций
x dx  exp( F *)
0
np  N c N v exp( 
Схематический вид функций
x
1/ 2
dx 
4
3 
N c xm
(3 2 ) 2 / 3  2 n 2 / 3
2 mn
3/ 2
F E

Nc 

3 
 kT 
4
3/ 2
5. 4. Эффективная масса плотности состояний
Если закон дисперсии отличен от изотропного?!
2
2
2
py

px
pz
E ( p)  Ec 


2m x 2m y 2m z
dp x dp y dp z
2
( 2kT ) 3 / 2
n
2
( m x m y m z )1 / 2 exp( F *)
3 
3
(2) 1  exp( E  F )
(2)
kT
(2kT ) 3 / 2
(mx m y mz )1/ 2 exp( F *)
Если имеется  долин. n    2 
3
(2)
Для невырожденного газа

E
n   N c ( E ) exp(  )dE
kT
0
 2mds kT 
N c  2

2 
 (2) 
3/ 2
т.е. эффективная масса плотности состояний mds   2 / 3 (mxmy mz )1/ 3
В общем случае масса плотности состояний не равна массе электропроводности
Так в Ge
me,ds  0.57m0
me ,  0.12m0
Si
me ,ds  1.08m0
me ,  0.26m0
5.6 Плотность состояний в квантующем магнитном поле.
По правилам статистики число электронов N в объеме V
N     f ( E , T )

 - совокупность квантовых чисел, от которых зависит энергия электрона E,
  - кратность вырождения.
2
и проекция спина на ось 0z (+,-)
В магнитном поле   n, k z  n z
L
L2
   mc
2
Кратность вырождения была найдена нами ранее
т.е.
L2 m c
N 
2
где
E  Ec 

L
f (E , T ) 

2
nz
 f (E , T )
n ,n z
2
kz
2
2m
 gB  c ( n  1 / 2)

L
f ( E  , T ) k z 
f ( E  , T )dk z

2 
nz
E – четная функция

mc
N  L
2  dk z  f ( E  , T )
(2 ) 2  0
n
3

n 
N
 
c,
1 / 2  0  gB
( E ) f ( E , T )dE ,
где плотность состояний
N c,  
2eB m
( 2) 2 c
 (E  E
n 0
c
  c ( n  1 / 2)  gB ) 1 / 2
 осциллирует –
Осцилляции Шубникова – де Гааза (магнитосопротивления )
- де Газа- Ван Альфена (Магнитной восприимчивости)
5.7 Электроны и дырки на локальных уровнях
5.7.1 Однозарядные центры
_____________________ Ec
Невырожденные состояния примеси
Ed либо заполнен одним электроном
либо пустой
-------------------------------- Ed
 заполнено
 пустые
N f  N  f FD ( E F )
N empty  N (1  f FD )
Nf
N empty

f
 E  Ed 
 exp  F

1 f
 kT 
Если состояние вырождено: то нужно ввести кратность вырождения
g 1 - заполненных;
Nf
N empty

E  Ed
g1
exp F
g0
kT
g 0 - пустых
(на центре только 1 электрон !!! всегда)
N f  N empty N
Отсюда находим
Nf
N
 f1  (1 
g0
E  E F 1
exp d
)
g1
kT
Если полупроводник не вырожден, то концентрация электронов в зоне
и
N1
n

N n  g 0 N exp(  Ec  Ed )
c
g1
kT
где E c  E d 
энергия связи электрона на примеси
n  N c exp
E F  Ec
kT
----Учет возбужденных состояний
____________________ Ec
------------------------------ Ek
-----------------------------____________________ Ed
вероятность того, что
электрон находится на уровне k
- кратность вырождения
k
k- уровня
f k1
f k1
f empty

k
 E  Ek 
exp  F

g0
kT


Полная вероятность, что электрон находится на одном из уровней
f1
f
k 1...
1
k
Отношение концентрации центров с электроном к концентрации пустых центров равно
отсюда
N1
f1
1
 ( 0) 
0
N
f
g0
g1  1 


k  2, 3...
k
exp
E F  Ek g1
E  Ed

exp F
kT
g0
kT
 k exp( 
Ek  Ed
)
kT
5.7.2 Многозарядные центры
а) Пустой уровень E1
б) Уровень E1 - заполнен
Появляется уровень E2
в) Уровень E2 заполнен
Появляется E 3
E F  E1
E 2  E F  E1
E 3  E F  E1
и т. д.
Подчеркнем отличие от нескольких однородных центров, когда.
все уровни существуют всегда !!!
Распределение Ферми в простом виде к многозарядным центрам неприменимо – нужен более общий подход
Распределение Гиббса для системы с переменным числом частиц
Внутри среды с объемом V0,
полным числом частиц N0 и энергией E0=const
выделим тело с объемом V, находящееся
в термодинамическом равновесии и
с возможностью перехода частиц из V0 в среду V и обратно
Допустим, что в тело V перешло j частиц
Новое число частиц в V – N+j
( j)
Частицы заняли энергии E m
т.е. новая энергия тела стала E   E  Em( j )
Вероятность перехода j частиц
в состояние m
( j)

S
,
(5.1)
f m( j )  A exp m
k
где А – нормировочный множитель
- изменение энтропии среды
При этом изменение свободной энергии в условиях термодинамического равновесия (Т=const)
S m( j )
Fm( j )   E m( j )  TS m( j )
 F 
При V=const производная  
т.е.
S
( j)
m
j  E m( j )

T
 j V ,T

 свободная энергия на одну частицу
j  E m( j )
 A exp
kT
f
и из (5.1)
 распределение Гиббса для системы
с переменным числом частиц
Применим эту формулу к многозарядному центру
M
M
Условие нормировки
j  Em( j )
( j)
( j)
m
 f
j 0 m
m
 1   exp
j 0 m
где M  максимальное число электронов
kT
Если не важно, в каком основном или возбужденном состоянии находится электрон, то
j  E ( j )
f j exp
kT
 M
j  E ( j )
f j exp

kT
j 0
f ( j )   f m( j )
m
fj  j 
где

m 1, 2...
 jm exp
E ( j )  Em( j )
kT
E(j) энергия центра с j электронами в основном состоянии
jm кратность вырождения соответствующих уровней
  называется химическим потенциалом.
часто отсчитывается от края зоны проводимости
Если есть электрическое поле, то
электрохимический потенциал
    e 

дополнительная потенциальная энергия электрона в поле.
Очевидно, что Формула Гиббса применима к обычному однородному примесному центру
j  либо 0 либо 1.
E ( j)  Ed
g 0  g1  1
( E d )
1
kT
f 

   Ed 
E 
1  exp 
 1  exp  d

 kT 
 kT 
exp
т.е.
  EF
5.8 Определение положения уровня Ферми
Если известна концентрация, то все просто
E F  E c  kT ln
Nc
N
 EV  kT ln V
n
n
Если известна концентрация ND и NA
Из классической электродинамики известно, что заряд рассасывается за
(максвелловское время релаксации)
время    
4
В полупроводниках с характерными величинами =10; ~ 1 oм-1см-1
   10 12 сек
т.е. можно считать полупроводник электронейтральным и
уровень Ферми нужно находить из условия
n h  N D (1  f )  (n e  N A (1  f ))  0
В собственном полупроводнике
ND  N A  0
 E  Ec 
 E  EF 
N c  exp  F
  N V exp  V

kT
kT




или
E  EV 1
N
E  EV 3
m
EF  c
 kT ln c  c
 kT ln c
2
2
NV
2
4
mh
т.е.
В легированном полупроводнике n-типа
NA=0
nh<<ne
ND
 E  Ec 
 N cФ 1  F

EF  Ec
g1
2
kT 
1
exp
g0
kT

Невырожденный полупроводник
exp
(5.2)
E F  Ec
kT
g
E  Ec
n2
 0 N c exp D
 n1*
N D  n g1
kT
g
E  Ec
n  ( 0 N D N c )1 / 2 exp D
g1
kT
Для невырожденных полупроводников из (5.2) следует, что
где
 n 

1
4N D

EF  Ec  kT ln 
1
 1

2
n

 2 N c 
n 
g0
E  Ed
N c exp(  c
)
g1
kT
При низких температурах эта формула сводится к
g N 
1
1
EF  Ec  ( Ec  ED )  kT ln  0 D 
2
2
 g1 N c 
При T~0 уровень Ферми располагается посередине между Ec и ED
С ростом температуры он уходит на середину запрещенной зоны
EF
Гл. 6
Явления в контактах (Монополярная проводимость)
6.1 Потенциальные барьеры
Разные химпотенциалы в разных веществах - потенциальные барьеры
Вблизи контакта электронейтральность нарушается – искривление зон
В случае металлов толщина барьеров меньше длины волны де-Бройля
благодаря большой концентрации электронов
Поэтому электроны свободно проходят через барьер в результате туннельного эффекта
В полупроводниках картина противоположная и роль контатных эффектов необычайно велика
6.2 Плотность тока; Соотношение Эйнштейна
n=n(x); ток состоит из дрейфа электронов в электрическом поле
+ диффузия ( n ).




je  jдр  jдиф  en e E  eDe n
(6.1)
Для дырок:


jh  enh h E  eDh nh
В изотропной среде или в кубических кристаллах в отсутствие магнитного поля
   
D  D 
e
Для невырожденного полупроводника n  n 0 exp
kT
en
en 
n 
  
E
(6.2)
kT
kT
Чтобы понятие диффузии имело смысл, изменение n на длине свободного пробега должно быть мало
eEl
n l  n ;
 1
kT
E
Uk
L экр
Uk
Lэкр - радиус экранирования заряда
- контактная разница потенциалов
eU k l
 1
Lэкр
kT
 n и D n  зависят друг от друга
так как они определяются одной величиной 

en
если j n  0 ; то из 6.1 и 6.2 следует, что en e E  eDe (  E )  0
kT
Для невырожденного полупроводника
e
De
В общем случае:

e
kT
 e, 
(6.3)
e d ln n( kT )
 De,
kT d ( E F  e )
(6.4)
6.3 Условие равновесия контактирующих тел
электрохимический потенциал = const
dn
1 dn
*
введем 
e
E
*

n





F
 

*
*
kT
kT
kT

e De d (ln n )
j e   n( e 
 )
kT  e d *
d
kT d
Рассмотрим общий случай, т.е. используем формулу (6.4)) для De
Находим je  ee nn (   e )  0
электрохимический потенциал
  e  const
*
Контакт
металл  n велико, (   e )
мал
Металл-полупров.
барьер  0
полупров.n мало,
(   e ) велик
вся в полупроводнике.
 EF
Высота барьера, равная eU k  E F
полупров
металл
6.4 Граница полупроводник-вакуум; Равновесие:
Электроны «испаряются» из полупроводника в вакуум
n электронов/сек; столько же должно возвращаться
Электронный газ в вакууме не вырожден: скорость по Максвеллу
js 
1
n вакуум v T e , где v  8kT
T
4
m0
nвакуум  N c ,вакуум exp(  Ф

2m0 kT 3 2
2(
)
(2) 2
или
kT
Ф
j s  AT exp(  )
kT
2
)
где
4m 0 ek 2
A
( 2) 3
 для всех веществ !!!
Ф называется термоэлектронной работой выхода из полупроводника или металла
В металлах
Ф  работа по удалению электрона с поверхности Ферми.
В полупроводниках:
На уровне EF нет электронов
Удаление электронов перераспределение
электронов зонах по энергиям
В металлах Ф=const
В полупроводниках
(1) Ф зависит от легирующей примеси !!!
(2) От примесей на поверхности, которые ведут к искривлению зон
т.е. определение Ф для полупроводника - деликатная задача !!!
6.5 Контактная разность потенциалов
Измерение работы выхода –
- нагрев до высокой температуры - что проблематично для многих кристаллов
- измерение контактной разности потенциалов – между несоприкасающимися
кристаллами в электронном равновесии (равновесие с помощью соединения металлическим проводником)
Контакт металл- металл
1) нет контакта между незаряженными металлами –
поле между ними Е=0. электрический потенциал const
термоэлектронная работа выхода равна F1=E0-F1, F2=E0-F2
2) соединяем - F1=F2
поле Е не равно нулю – появятся заряды на поверхности. электрический потенциал const
по определению – контактная разность потенциалов
– разность потенциалов между точками 1 и 2 вне металлов,
но находящимися в непосредственной близости от их поверхностей.
euk=e(12)=F2-F1=F1F2
Контакт металл-полупроводник
до контакта
после соединения
Электрическое поле частично проникает в полупроводник
Полная разность потенциалов u k  (Ф1  Ф2 ) / e распределяется между зазором и слоем
объемного заряда в полупроводнике
6.6 Распределение электронов и потенциала в слое объемного заряда
Одномерный случай вдоль x
Невырожденный полупроводник n-типа для определенности
3 уравнения:
(1) j  en e E   e kT dn  соотношение Эйнштейна использовано
dE 4

(2)
dx

(3)    j
t
x
  e( N D  N A  n)
d
Стационарное решение:
 уравнение Пуассона
 уравнение непрерывности
N i , n  f ( x, t )
т.е.
j  const
Пусть E D  E F
N D  N D
и E A  E F  kT
N A  N A
В этом случае
d
dn
j  en e
  e kT
dx
dx
d 2 4e

(n  n 0 )

dx 2
(6.5)
(6.6)
n0 - равновесная концентрация в глубине полупроводника
Положим, что контакт при x=0 и (x=0)=0
n(x=0)=nk
При x  
-- =uk+u n=n0
Здесь u внешняя разность потенциалов
eu k
)
В отсутствие тока nk связано с n0 соотношением n k n 0 exp( 
kT
Если j  0 то плотность тока через контакт можно выразить через nk и n(x=0)
тепловой поток электронов из полупроводника в металл ~n(x=0)
обратно
~nk (так же, как и в отсутствие тока)
1
j  evT [n(0)  nk ]
т.е.
4
1
и можно считать, что n(0)  n k
j  evT nk
Даже для относительно больших токов
4
Можно оценить границы применимости:
для nk=1013 cм-3 и vT=102 см/с  ¼ evTnk~10 A / см 2
e
n
(
x
)

n
exp(
)
При j=0 из (6.5 ) имеем
k
kT
Подставляем в (6.6) и получаем уравнение
e a
e(   k )
d 2 4e
e
4e

n
(exp

exp
)

n
(exp
 1)
k
0
2

kT
kT

kT
dx
Из которого можно найти распределение потенциала в полупроводнике (x)
(6.7)
6.7 Длина экранирования
Если искривление зон мало, т.е. e k  kT , разлагаем exp в ряд находим из (6.7)
d 2   u k

2
dx
L2D
где
L2D 
kT
- длина экранирования Дебая
4e 2 n 0
(6.8)
x
)]
LD
LD~1/n  для n=1015 cм-3 при комнатной температуре LD=10-5 см
Уменьшаем n - величина LD – растет, пока не станет существенным вклад от зарядов на остаточных примесях
Решение   u k [1  exp( 
6.8 Обогащенный контактный слой
euk<0; | euk >>kT|;
Рассмотрим отдельно области вблизи контакта (1) и в объеме полупроводника, где зоны уже не искривлены (2)
eu k
e
)  exp
kT
kT
d 2 4e
e
И из уравнения (6.7)

n
exp
k
dx 2

kT
область (1)
В силу условия euk<<e
exp(
Умножаем обе части уравнения на d/dx и интегрируем по 
8kT
e
( d / dx ) 2 
nk exp
C

kT
Постоянная интегрирования из граничных условий = uk ; d/dx=0
8n k kT
eu
т.е.
C
exp k

kT
 величиной с можно пренебречь, т.е
d
 8n k kT 
 

dx
 

1/ 2
exp
e
2kT
(6.8)
т.к. обогащенный слой,. который мы рассматриваем –
- электронный <0 и ||  растет с x. т.е. решение со знаком .
Интегрируя (6.8) от 0 до  получаем
1/ 2
x
где
 e  2kTkn(1  ) ,
a
т.е. a  2 LD , где в LD стоит nk
 ekT
a  
2
 2n k e



Потенциал изменяется по логарифмическому закону
Область (2) вдали от контакта = uk
n  n k exp
e
 a 
n  n k exp
 nk 

kT
a  x
eu k
n 0
kT
2
Таким образом, электропроводность слоистых структур металл-диэлектрик-металл может быть велика,
даже если электропроводность диэлектрика мала.
6.9 Истощенный контактный слой
Предельный случай сильного обеднения – запорный контакт
Контакт металл-полупроводник
К контакту приложено внешнее напряжение u, создающее обедненный слой.
В первом приближении считаем, что в слое толщиной d зарядов свободных нет,
только заряженные центры
т.е. euk >0 (запорный слой)
exp
e  eu k
 1
kT
и уравнение (6.7) имеет вид
4en 0
d 2

 const
2

dx
Принимая во внимание граничные условия
x=0:
=0
x=d:
=u+ euk
d/dx=0
интегрируем d2/dx2=0 два раза и получаем
4en 0
d

(d  x )
dx

2en 0
  uk  u 
(d  x ) 2


где
  (u k  u ) 

d  
2

en
0


1/ 2
- толщина запорного слоя
Контакт двух полупроводников (p) и (n) типа-
p-n переход
Толщины слоев dn и dp
зависят от концентрации
доноров и акцепторов
Резкий p-n переход
n0  N D  N A
x  dn
x  d p
p 0  N A*  N D*
Объемный заряд равен
p - область
n-область
Положим, что =0 на границе
x=-dp: =up, d/dx=0
x=dn: =un, d/dx=0
 P  uP 
2ep 0
(x  d p )2

2en 0
 n  un 
(x  dn )2

2e
un  u p  u  uk 
( n 0 d n2  p o d p2 )

u- внешнее напряжение источника
 ep 0 ........( d p  x  0)
 0.................... x  d p
 
en 0 ........(0  x  d n )
0.................... x  d n
 
6.10 Токи, ограниченные пространственным зарядом
Токи через границу металл-полупроводник во внешнем электрическом поле
Картина различна для контактов с обогащенным и обедненным слоями в полупроводниках
(1) случай обогащенного слоя
Край Ec - без тока  -e увеличивается по
логарифмическому закону в области объемного
заряда и равен const вне этой области
ток диффузии = току дрейфа
Если прикладывается + к полупроводнику
Энергия электронов в объеме понижается.
В точках максимума ( x’) напряженность электрического поля =0
т.е. ток дрейфа равен нулю и весь ток определяется диффузией в точке x’э
поле растет, точка x’ приближается к контакту – в область с большей концентрацией электронов
– растет ток
Очень большое напряжение  везде есть дрейф.
Такой контакт называется антизапорным или омическим.
Металлический контакт – выступает в качестве катода – т.е. в роли эмиттера электронов
(2) блокирующий контакт; Выпрямление в контакте
Влияние барьера зависит от соотношения между шириной барьера LD и длиной волны электрона :
LD <<  туннелирование
LD >   только через барьер
n0=1015 cм-3; 300 K
 LD~10-5 см - классический барьер
( (300K) 
~10-6 см).
n0=1018 -1019 cм-3
 нужно учитывать туннельный ток
Классический слабо легированный барьер
j1  ток электронов
из полупроводника в металл
j2  ток электронов
из металла в полупроводник
Расчет тока
(1) длина свободного пробега l >>LD
(2) длина свободного пробега l <<LD
2 случая:
Ge

300 K; l~10-5 см ~LD при n~ 1015 cм-3;
n> 1015 cм-3 
диодная теория
15
-3
n <10 cм 
диффузионная теория
Диодная теория ( число соударений в запорном слое мало, l >>LD)
В полупроводнике преодолеть барьер могут электроны с энергией
1
mv x2  e(u k  u ) из больцмановского хвоста
2
Ранее мы нашли, что плотность тока термоэмиссионной эмиссии из металла равна
Ф
j s  AT 2 exp(  )
kT
В нашем случае работа выхода Ф  e(u k  u )  E c  E F
2
Т.е. j1  4emk3 T 2 exp(  Ф ) электроны из полупроводника
kT
( 2)
nn
 2mkT 

n 0  2
2 
 ( 2 ) 
Концентрация электронов в глубине
Средняя тепловая скорость
Отсюда
j1 
vT  (
3/ 2
exp(
EF  Ec
)
kT
8kT 1 / 2
)
m
1
 e( u k  u ) 
en 0 v T exp  

4
kT


j 2  j1 (u  0) 
1
 eu 
en 0 v T exp   k 
4
 kT 
j1  j2  js [exp( u)  1],
где
1
j s  en 0 v T exp( u k ),
4
=e/kT
В реальности есть сопротивление объема, т.е. u=v-ir
диффузионная теория ( число соударений в запорном слое велико, l <<LD)
В диффузионной теории нужно исходить из уравнений:
d
dn
j  en
 kT
dx
d
d 2
4e

(n  n 0 )
2
kT
dx
При этом после вычислений опять же получаются формула
j  js [exp( u)  1]
Только
j s  en 0  ddx
x 0
exp( u k )
В диффузионной теории ток меньше, чем в диодной!
Глава 7. Неравновесные электроны и дырки
7.1 Неравновесные носители тока
В условиях термодинамического равновесия
V12=v21  для всех переходов
( Принцип детального равновесия )
Это означает, что частоты переходов
из зоны проводимости в валентную зону и обратно равны.
Внешнее дополнительное воздействие нарушает
термодинамическое равновесие
   21 и
 12   12 ;  21

 12   21
В равновесии: ne  nh
0
0
При внешнем воздействии появляются nl , n h
nе  ne0  nel
n h  n h0  n h
7.2 Время жизни неравновесных носителей
dn e
 g e  Re
dt
dn h
 g h  Rh
dt
(7.1)
ge,h 
генерация за счет внешнего воздействия
(кроме тепла!)
Ri=ri-gi,T - темп рекомбинации свободных электронов (i=e) и дырок (h)
где ri - полный темп ухода из зоны i, gi,T  генерация за счет тепла
Можно ввести среднее время жизни одного избыточного носителя
Ri=ni/i; и (7.1) записать в виде dni/i =gi-ni/i
В стационаре ni/i=0
В случае отсутствия тока находим установившееся стационарное значение
ni=gii
В общем случае i зависит от n, T и т.д.
Если i не зависит от концентрации
ni=gii - Cexp (-t/ i )
Если при t=0 было термодинамическое равновесие, т.е. ni(0)=0, то
ni=gii (1- exp (-t/ i ) )
(7.2)
Если при t=0 выключена генерация, т.е. ni(0)=(ni)1
ni(0)=(ni) exp (-t/ i )
т.е. 1/ i - вероятность рекомбинации
(7.3)
7.3 Уравнение непрерывности
Включим в рассмотрение электрический ток
В объеме V:
jey j ez 
dn e
1  j
1 
   divj e
   ex 

dt
e  x
y
z 
e
nh
1 
  div jh
t  e
где je,h  токи электронов и дырок

je   e E  eDe ne


jh   h E  eDh n h
(7.4)
где  i  en i
Полные темпы изменения концентраций электронов и дырок
ne
1  n 
 g e  divje  e 
t
e
e 
nh
1  nh 

 g h  divjh 
t
e
 h 
(7.5)
(7.5) – это уравнения непрерывности для электронов и дырок
При нарушении термодинамического равновесия изменяются
и концентрации связанных электронов и дырок
Возникает объемный заряд
  e( n h  n e  N D  N D )

4
Электрическое поле в (7.4) определяется уравнением Пуассона divE 

и граничными условиями.
Заметим, что с учетом очевидного тождества
уравнения (7.5) дают обычное выражение для заряда 

1 
  div j
e
n
n
( g h  h )  ( g e  e )    ( N D  N A )
h
e
t
t
В общем случае нужно решать всю задачу.
Однако в целом ряде случаев использование уравнения Пуассона может оказаться излишним
Возникновение заряда приводит к появлению токов диффузии и дрейфа,
которые стремятся уничтожить изменение объемного заряда
Если диффузионно-дрейфовое равновесие устанавливается быстрее,
чем термодинамическое - объемный заряд успевает обратиться в нуль
за время M (максвелловское время релаксации), которое много меньше e,h.
В этом случае можно положить на частотах <<1/ M ~0;

При этом
divj  0

Из уравнения Пуассона подставив  имеем:
  E
div ( j 
)0
4 t
Второе слагаемое – ток смещения Максвелла
т.е. линии полного тока – конвекционного j и тока смещения Максвелла - непрерывны
Таким образом, рассматриваемый случай div j=0 означает, что токи смещения малы.
Из написанных уравнений два важных следствия
(1) Если N D , N A  n i , то из условия ~0 
ne = nh
(2) Если генерация только зона-зона, тогда
n h n e
n
n

 h  e 0
t
t
h
e
 h  e 
И следовательно
7.5 Фотопроводимость
Фотовозбуждение неравновесных электронов и дырок
Собственная генерация пар
  E g
примесная генерация пар
  E g
I(x)  световой поток на единицу поверхности
g  коэффициент поглощения
dI=I(x)gdx  число поглощенных фотонов в слое dx
I(x)g  число поглощенных фотонов в единице объема
g   ( )g ( ) I ( x )
где () - квантовый выход
электрон (дырка) имеют энергию при t=0  E0
время релаксации по энергии E<<e - время жизни
  e(  e n e   h n h )
При однородной генерации divj=0 (собственная фотопроводимость)
d

 e(  e   h ) g 
dt
 фп
Стационарный случай
( ) s  e(  e   h ) фп

Если фп=const
После выключения при t  T


  ( ) s exp   t  
фп 

7.6 Квазиуровни Ферми
В равновесии
EF  EF  EF
e
h
Фотовозбуждение
n e  n 0  n  N e exp
t 
]


 фп 
  ( ) s [1  exp  
E Fe  E e
EkT
V  E Fh
n h  n h0  n h  N V exp
kT
E Fe  E Fh
2
n e n h  n i exp
kT
Ток при неоднородном возбуждении
: 
j  nEF

je  n e  e E Fe
jh  n h  h E Fhe
Глава 8. Проблемы обоснования зонной теории
8.1 Вопросы зонной теории
Мы рассматриваем одноэлектронное приближение
Электрон в периодическом поле
2 2

   U  E
2m 0

 
где U ( r )  U ( r  a n )
Но ядра тоже движутся.
Движение ядер и фононы.
(1) Можно ли движение электронов рассматривать отдельно от движения ядер?
(2) Можно ли пренебречь взаимодействием электронов с фононами 
рассматривая задачу об энергетическом спектре электронов
(3) Электронов много  когда можно пренебречь их взаимодействием?
8.2 Адиабатическое приближение
Оправдывает раздельное рассмотрение движения электронов и тяжелых частиц (ядер)
Физическая причина: различие масс.
Электроны движутся быстро и характер их движения определяется мгновенным расположением ядер.
Ядра движутся медленно и поэтому «замечают» лишь среднее расположение электронов.
Квантовомеханическое оформление этих соображений:
Электроны i,j…
их радиус-вектор ri, масса m0
Ядра…a,b…………их радиус-вектор Ra, ….масса Ma
r={r1….)
R={R1…}
Энергия взаимодействия
Уравнение Шредингера
   ( r, R )
 
U 1  U 1 ( ri  r j )
 
U 2  U 2 ( ri  Ra )


U 3  U 3 ( Ra  Rb )
H  W


 
 

2
1
1
2
H  
i  
 2a  U 1 ( ri  r j )  U 2 ( ri  Ra )  U 3 ( Ra  Rb )
2 i j
2 a b
i 2m 0
a 2M a
i ,a
2
Ищем волновую функцию в виде
( r, R)   ( r, R) ( R)
Желательно, чтобы в (r,R) переменные R можно было считать параметрами,
т.е. чтобы по R не было дифференцирования
 2
  
1
2
H  



U
(
r

r
)


U
(
r
i i 2 

1 i
j
2 i  Ra )  
2
m
i j
i ,a
0


  
 2
1 2
1
 
U 3 ( Ra  Rb )   
  a  2 
a b
 2m0 a M a

8.1
 i

 2
2





,

i







a  M a
a 
a   W
2
M
a
a



В третьей строке производные от  по координатам ядер
они существенно меньше, чем в первой строке,
т.е. в первом приближении можно положить, что
2

2m0
и

a
 i2  
i
1
 
 
U
(
r

r
)


U
(
r
 1 i j 
2 i  Ra )   E ( R ) 
2 i j
i ,a


2
1
 2  U 3 ( Ra  Rb )  E ( R )  W
2M a
2 a b
8.2
8.3
(8.2)  уравнение Шредингера для системы электронов, взаимодействующих друг с другом
и с ядрами «прибитыми»в данный момент времени.
Умножим (8.2) на * и проинтегрируем по всем ri и учтем, что   * dr1 ...dri  1
Получаем

 2
E ( R )    

 2m0
*

i
2
i
1


U ( r  r )  U
2
i j
1
i
j
i ,c
2
 

( ri  Rc )  dr
 

8.4
E(R) есть квантовомеханическое среднее значение полной энергии электронов
при заданной конфигурации ядер.
Далее уравнение (8.3)  это уравнение Шредингера для ядер с потенциальной энергией
V ( R) 
1
U 3 ( R a  Rb )  E ( R )
2 a b
т.е. разделили ядра и электроны.
Такое разделение и есть Адиабатическое приближение
 ( r, R )
- описывает поведение системы электронов при бесконечно медленном
изменении координат ядер R.
Оператор неадиабатичности (третья строка в уравнении (8.1))
 2

2
a   M  a,   2M  2 
a
a


Поправку к адиабатическому приближению
через теорию возмущения 
(Если возбужденное состояние имеет большую энергию по отношению к основному).
Расчет показывает, что поправки пропорциональны (m0/M)1/4.
8.3 Приближение малых колебаний
(амплитуда колебаний мала по сравнению с постоянной решетки)
Потенциальная энергия ядер зависит от состояния электронов,
Следовательно, и положение ядер и их колебания относительно
равновесных положений зависят от состояния электронов (r)
Этот эффект при рассмотрении рассеяния электронов в теории подвижности
электронов невелик:
испускание или поглощение нескольких фононов слабо влияет на интегральный эффект
При захвате или испускании электрона одним центром –
ситуация может отличаться кардинально – D-центры в III-V полупроводниках и т.д.
Влияние неидеальности решетки из-за колебаний решетки
Взаимодействие с акустическими и оптическим колебаниями в неполярных кристаллах
в приближении малых колебаний  поправки обычно невелики.
Исключение составляют полярные кристаллы.
Колебания атомов  ионов  изменение дипольных моментов  поляризационные колебания
Дипольные моменты – поле спадает медленно –
- ячеек, с которыми взаимодействует электрон - много
Поэтому представление о движении электронов в идеальной решетке становится неоправданным.
В этом случае  движение электронов – вызывает поляризацию ионов в среде
 которая, в свою очередь,  взаимодействует с электронами и понижает энергию электронов
 автолокализация электронов
Электрон движется вместе с созданной им поляризацией  “полярон”.
Если поляризация среды мала, то этим эффектом можно пренебречь.
Si, Ge ….ковалентные полупроводники
В III-V – поправки малы
В II-VI и особенно I-VII – поправки весьма существенны.
8.4 Сведение многоэлектронной задачи к одноэлектронной. Метод самосогласованного поля
 2 2
  1
 
H e   
 i  U 0 ( ri )   U 1 ( ri  r j )
i  2m 0
 2 i j
 
U 0   U 2 ( ri  R a )
a
U
Нужно
i j
1
 
( ri  r j )  заменить эффективным полем, так чтобы
 2 2

 

H e   H i    
i  U 0 (ri )  U (ri ) 
2m0
i
i 

тогда

 H ( r )   E ( R) 
i
i
i
 

N
 ( r1 ...rN )   ( r j )
j 1
N





H
(
r
)

(
r
)

(
r
)

E
 i i i  j  (rj ) (ri )
N
j i
i
j i



Решение H i ( ri ) ( ri )  Ei ( ri )
где
 Ei  E
(8.5)
Уравнение (8.5)  это уже одноэлектронное уравнение Шредингера


Теперь нужно определить U 0 ( ri ) и U ( ri )

1
U ( r )  2 U
i
i
i j
1
 
( ri  r j )

такое равенство невозможно !!!
Можно попробовать, чтобы это равенство удовлетворялось в среднем.

  ( r )
2


j
U ( ri )  e 2     dr 
ri  r j
j i
При этом U’ не задано априори !!!
Последовательные приближения U   (  ) ,    U 
  U 
и т.д.
Снова из U   (,  )
Такое поле  называют самосогласованным.

  (r ) функции Блоха
Если взять в качестве
 



(
r
1 ...rN )
То получим
U’ периодичную функцию !!!
N
i
i
i
i
j




 ( r1 ...rN ) dr1 ...drN     ( ri ) dri
2
2
i 1
i
т.е. в приближении самосогласованного поля попадание электрона в элементы dr1 ...drN 
независимые события
Причина - не учтена корреляция электронов из-за
а) Принцип Паули
б) Отталкивание электронов

  ( N ! ) Det (  ( r j ))
i
Соответственно, изменения в формуле (8.5) для U’
Отталкивание  поправки
В целом,
e2
e 2 13
1
E кул 
 rij  
n


Кинетическая энергия 
Вырожденный газ - из-за принципа Паули
2
E kin
2
2
2
 k
 n 3


2m
2m
U кул
E kin

1
1
n 3
Таким образом, парадоксальный результат ---- чем больше плотность, тем идеальнее газ электронов!
Невырожденный газ
E kin  kT ;
U кул
E kin
Чем меньше плотность, тем идеальнее газ
1
n 3

kT
8.4 Электроны и дырки как элементарные возбуждения многоэлектронной системы в полупроводниках
Сильно взаимодействующая система 
Слабо возбужденные состояния такой системы
можно представить как идеальный или слабо неидеальный газ квазичастиц –
элементарных возбуждений
(1) Эти квазичастицы будут либо Бозе либо Ферми
(2) будут иметь импульс (квазиимпульс)
(3) могут иметь заряд, спин, и т.д.
Заряженные частицы должны возникать парами (закон сохранения заряда)
Электроны и дырки в полупроводнике  суть элементарные возбуждения  квазичастицы.
Пока не рассматривается взаимодействие между квазичастицами
зонная теория и многоэлектронная теория  неразличимы (кроме слов).
Одноэлектронная теория
Элементарные возбуждения
Зона проводимости пуста
валентная зона заполнена
нет электронов
нет дырок
 основное
состояние
Энергетический зазор между
зоной проводимости и валентной
зоной
минимальная энергия создания
1 электрона и 1 дырки
ширина
запрещенной
зоны
Зона проводимости частично
заполнена
Валентная зона частично пуста
возбуждено какое-то количество
eиh
возбужденное
состояние
полупроводника
Переход электрона из валентной
зоны в зону проводимости
генерация e-h пары
Поглощение
света
8.5. Выход за пределы одноэлектронного приближения
8.5.1 Экситон
Эксперимент  свет поглощается - фототока нет
Связанное состояние электрона и дырки
p e2
Ee 
 Eg ;
2m e
p h2
Eh 
2m h
Пусть электрон и дырка движутся на расстоянии друг от друга r>> a
a - параметра решетки
т.е. метод эффективной массы можно использовать
2
2
e2
2
2
(8.6)

 
       E   E
2m e
re
2m h
 re  rh
rh
g

выход за пределы одноэлектронного приближения
 
где    ( re , rh )    ( )
E E
В уравнении  при   g

Уравнение (8.6) аналогично уравнению для атома водорода
  
r  re  rh ;
R
me re  mh rh
me  mh
2 2
2 2
e2
 R 
 r    ( E  E g )
2m
2
  r
 ipR  
 
  ( r )
   ( r , R)  exp 



2 2
m  me  mh ;  
me mh
m


 
e2
p2
  (E  Eg 
)   
r
2m
для  уравнение
2
1) 0  непрерывный спектр  аналог зонного решения
2) <0
e 4 , где n=1, 2, …
 2 2 2
2  n
e2
0 
2a B
  const  exp   r a 
B

где
a B  
2
e 2

боровский радиус экситона
 наиболее вероятное расстояние между e и h.
GaAs  aB~100 A
 Экситоны Ванье-Мотта
Si
 aB~30 A
Возможны экситоны Френкеля, когда aexc~ amol
Экситоны Френкеля - в молекулярных кристаллах и в кристаллах инертных газов
с малой диэлектрической постоянной и большой эффективной массой
Использовать приближение эффективной массы и диэлектрическую постоянную кристалла
в расчетах в этом случае нельзя
8.5.2 Границы применимости экситонного приближения
До тех пор, пока концентрация экситонов мала
 газ экситонов можно считать невзаимодействующим
Что же возможно при повышении концентрации?:
1) Очевидное  развал экситонов на электроны и дырки
 e-h плазма с постоянной плотностью.
2) Электронно-дырочная жидкость с плотностью n1, окруженная экситонами с плотностью n2
3) Экситонные молекулы
4) Бозе-конденсат экситонов
Глава 9. ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
9.1 Межзонное поглощение света
Ec
E
Законы сохранения
Ee  Eh  
переходы
pПрямые
e  ph  k  0
Ev
k
 
A
(r , t)
Электромагнитное поле может быть описано векторным потенциалом


H  rotA

+ Условие Лоренца divA  0

Гамильтониан электрона с зарядом e в периодическом поле кристалла V
+электромагнитное поле
H

1  e   2
( p  A( r , t ))  V ( r )
2m
c
 e  2 2
e   e2 2
[ p  A]  p  2 Ap  2 A
c
c
c


мало
 
( pA  Ap  idivA)

0
e 
ie  
Т.е. возмущение света
H
Ap  
A
mc
mc

 

где
A( r , t )  Ae exp i ( k r  t )


1 A
E
c t
E

1 A

 2 A0 sin( k r  t )
c t
c
Матричный элемент энергии возмущения H 
связанный с поглощением фотона для перехода из валентной зоны в зону проводимости


 c, k 2 H  v, k1   d 3 r ck H  vk
где
2
i


1


 i ,k  exp(   i ( k )t ) exp( ik r )  u ik ( r )


i
( c ( k 2 )   v ( k 1 )   )t

ie 
1
e 
*  

Pvc  
A0  d 3ruck ( r )e uvk ( r )  A0
( e pcv )
mc V V
mc

Pvc exp
Коэффициент поглощения


 2
e2
3
d
k
(
e
p
)

(

(
k
)


(
k
)   )
cv
c
v
 m 2 cnv 
 
   
  
e p cv (k )  e p cv (k 0 )   e p cv (k ) k k (k  k 0 )
0
k
 0  разрешенные _ переходы

e pcv (k0 )}
 0  запрещенные _ переходы

1
разрешенные переходы
запрещенные переходы

 ~ (   g )
 ~ (   p )
3
1
Eg
2

2
Eg
9.2 ЭКСИТОННЫЙ ВКЛАД В ПОГЛОЩЕНИЕ
9.2.1 Одноэлектронное приближение
ПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ

E
Eg
E
E=hck

Eex
Eex
K=ke+kh
Для экситонов

Eg
E
поглощение совпадает с энергией Eex при k~0
НЕПРЯМЫЕ ПЕРЕХОДЫ
Переход из состояния i
в состояние j
1 + 2
либо
3
+
4




фотон фонон
фонон фотон
q  k 2  k1
k 0
2
W ~ 
if
m
фот
M фон
M mi
fm
2
( ь   i   ) 2
 ( f   i     q ) - т.е. второе приближение теории квантовых переходов
Законы сохранения энергии и импульса выполняются только для начального и конечного состояния
M
фот
mi
 
~ e p cv (k )
2
M фон
~ Cq ( N q  1  1 )
fm
2
2
Nq  число фононов, + испускание; - поглощение
 ~ e p cv
2
 3
d kd k
где  
i
1
3
d
Вблизи края Eg
3
( m   i   ) 2
k~

 ( f   i     q )
 v d v
   d 3 k ~ 
 c d c
j
 ~ (  E g  )2  ( N q  1 2  1 2)

Eg -h
Эксперимент
9.2.2 Экситонное поглощение
РАЗРЕШЕННЫЕ ПЕРЕХОДЫ
p cv  const
E=hck
E

Eex
 ~  d 3k (   exc  )

 d
~   exc  

K=ke+kh
9.2.3 Экситонная рекомбинация
РАЗРЕШЕННЫЕ ПЕРЕХОДЫ
I ( ) ~  ()  f (   exc )
E=hck
E

Eex
экситоны – бозоны,
но при малых плотностях
статистика Больцмана
(   exc )
kT
 ( ) ~    exc  
f ~ exp 
K=ke+kh
I
exp(-E/kT)
E1/2
Eexc-h
E
Низкие температуры
только испускание фононов
Узкая линия с шириной 1,8 kТ
9.3 ЭКСИТОННЫЕ МОЛЕКУЛЫ
9.3.1 Излучение ЭМ
По аналогии с H2 
экситоны должны образовывать экситонные молекулы
Основное состояние  спиновый синглет для 2-х
электронов и спиновой синглет для 2-х дырок в экситоне
E M  2E ex   M
где M - энергия связи молекулы
Оптический переход 
EM (2k0 )  M  Eex (k0  k )  (k0  k )
Eex (k0 )  ex  (k0 )
M  ex   m   2 ( k ) 2 / 2 M ex
Излучение экситонов и биэкситонов
в одноосно сжатом Si вдоль оси [100]
Линия излучения должна лежать со стороны меньших
энергий от экситона
В условиях равновесия M =2ex 
nM
 4 2 

 n 
 M ex kT 
2
ex
3
2
M

exp M ,
 ex
kT
где nM,ex  концентрации молекул и экситонов;
M,ex их кратности вырождения
M  энергия связи молекулы
т.е. с увеличением плотности nM ~nex2
9.3.2 Разрушение молекул магнитным полем:
Молекулы в основном состоянии находятся в состоянии спинового синглета
В магнитном поле энергия спинового синглета в первом приближении (без учета диамагнетизма)
не зависит от поля
Экситон  включает электрон и дырку с неспаренными спина
E ex  E ex ( B  0)  (s z g e  B B )  ( j z g h  B B )
B4>B3>B2>B1=0
В Si, Ge спин электрона sz=1/2 спин дырки jz=3/2
при ( ge  3 gh )B B   M
происходит развал молекулы на экситоны
2Eex
EM
Bcr
B
9.4 Электронно-дырочные капли
Исследования излучения недеформированных Si и Ge показали, что поведение их спектров излучения
с ростом накачки не соответствует описанному для экситонных молекул
В спектре вместо излучения молекул –
широкая линия, отстоящая от линии
излучения экситона на ~10 мэВ,
что сравнимо с энергией связи экситона
и полностью отсутствует излучение молекул.
В чем же отличие недеформированного Si и Ge
от одноосно сжатых кристаллов,
в которых наблюдаются экситонные молекулы?
 большая кратность вырождения зоны
число долин (вырожд.) вырожд. Валентной зоны
Si
6 (12)
4
т.е. только Ge[111]
Ge
4
(8)
4
является аналогом
Si[100]
2 (4)
2
для водорода !!!
Ge[111]
1
(2)
2
Энергия e-h состояний зависит
от кулоновской энергии взаимодействия электронов и дырок Eкул ~1<r>~n1/3
и кинетической энергии вследствие локализации электронов и дырок
Причина
E кин ~ N e1  n
2
3
~ (  N e,на _ одну _ долину ) n
1
2
3

число долин
Чем больше долин, тем меньше средняя кинетическая энергия,
тем более связанные состояния могут образоваться.
1
В Si - 6 долин  минимум полной энергии находится при(na B3 ) 3  1
E
Eex=Eg-Ry
Eg
Eкин n=1
n=6
n=1
Etot
n=6
n1/3
EЭДЖ
Равновесная
плотность ЭДЖ
n1/3>aB-1
Eкул
Экситоны разваливаются и образуется
металлическая e-h жидкость с энергией связи ~ 10 мэВ,
что в 10 раз больше энергии связи
экситонных молекул (~1 мэВ)
.
В результате в системе экситонов происходит расслоение на разреженный газ экситонов и
плотную электронно-дырочную жидкость в согласии с условием exc=ЭДЖ
Экспериментальное наблюдение излучения металлической e-h жидкости в
недеформированном и одноосно сжатом вдоль разных направлений Si
Вырождение
зоны
валенпровотной
димости
зоны
12
4
12
2
8
2
4
2
P||<111>
P||<110>
P||<100>
Ширина линии излучения ЭДЖ равна
сумме энергий Ферми электронов и дырок EFe+EFh)
Расстояние между фиолетовым краем
линии излучения ЭДЖ и красным краем линии
излучения экситона – энергия связи ЭДЖ
С уменьшением вырождения валентной
зоны и зоны проводимости величина энергии связи
и энергии Ферми (и, следовательно, плотность
жидкости) монотонно уменьшаются
(Энергия связи уменьшается в 4 раза, а плотность в
3 раза при уменьшении числа долин с 6 до 2 и
отщеплении зоны легких дырок в валентной зоне
9.5 Бозе-Эйнштейштейновская конденсация экситонов в импульсном пространстве
в непрямых полупроводниках
Экситоны – бозоны,
при малых плотностях X<X , |X-X|>>kT
статистика Больцмана
Спектр излучения
   exc
)
kT
Узкая линия с шириной 1,8 kТ
I (  ) ~
   exc   exp( 
В одноосно сжаты кристаалах Ge c с одной долиной в загне проводимости и
невырожденной валентной зоной в магнитном поле оказываются нестабильными и
экситонные молекулы и электронно –дырочная жидкостью. Поэтому с ростом плотности
экситонов химпотенциал может увеличиваться
вплоть до энергии экситонного уровня
T=
2.15 K
1.75 K
При |X-X|<kT Статистика Бозе- Эйнштейна
   exc
f ~ 1 /(exp( 
kT
)  1)
Спектр излучения
I (  ) ~
   exc   /(exp( 
   exc  
)  1)
kT
C ростом плотности возбуждения наблюдается сужение линии
В пределе X=X спектр, который достигается при nX=
В спектре излучения ожидается излучения -функция на энергии экситона, отвечающая излучению
конденсата, со слабым фиолетовым хвостом, отвечающим излучению надконденсатных частиц.
В эксперименте предел не был достигнут из-за разогрева экситонного газа с ростом
плотности возбуждения
9. 6 Экситонные поляритоны
Energy, E
Законы дисперсии прямых экситонов и фотонов пересекаются
Если симметрия одинаковая, то термы должны расталкиваться. Величина расталкивания
определяется константой экситон-фотонного взаимодействия -  , или частотой Раби.
В результате образуются смешанные экситон-фотонные состояния, получившие
название – экситонные поляритоны с двумя ветвями нижней (low polariton LP) и верхней
(upper polariton, UP) Условие образования поляритонов ck
частота Раби должна превышать обратное время рассеяния

экситонов по импульсу, X,p-1.
UP
Eex
pol(k)=kX(k)+kph(k)
Дисперсия поляритонных мод описывается уравнением
LP
(ck /  ) 2   b  4 /(1   2 / ex (k )2 )
где 4(0) – сила осциллятора для экситонного перехода
k=0  =0 и ex(0)(1+ 4/) 1/2
0
k
Одной энергии в кристалле 2 волны с разными к и с разными
скоростями распространения –
Следует ожидать
при импульсном возбуждении – 2 импульса, выходящих из
кристалла с задержкой друг относительно друга
при стационарном возбуждении – интерференции для
интерференции
Оба эффекта были наблюдены экспериментально
Energy, E
Квазидвумерный свет
d~
ck
Плоский микрорезонатор –
Квантование света в направлении,
перпендикулярном зеркалам
Свет распространяется только в плоскости
Минимальная энергия света Eph(0)~1/d
Кардинальное изменение закона дисперсии света :
Почти параболический закон дисперсии
E ph (k ) 
2
E ph
(0)  (ck ) 2 / 
с очень малой эффективной массой (~10-5 m0)
0
k
Квазидвумерные экситонные поляритоны
excitation
Z
detection
Брегговские
зеркала
X
Y
Ecav
В режиме сильного взаимодействия,
реализующегося при энергии экситон-фотонного
взаимодействия , превышающей затухание
экситонной ex-1 и фотонной ph-1 мод
Экситон-фотонное взаимодействие приводит
к образованию двух поляритонных мод
с законами дисперсии
EU , L (k )  [ (k )   (k )  4 E (k ) E (k ) ] / 2
2
4
2
X
2
ph
где
2
 2 (k )  E X2 (k )  E ph
(k )   2
 – рассогласование экситонной и фотонной мод
=EC(k=0) – EX(k=0)
Energy, E
Квантовые
ямы
UP
Upper
polariton
branch
Photon

exciton
LP
Lower
polariton
branch

0 wavevector, k
Energy, E
LP
Lower
polariton
branch
9.5 Экситонные поляритоны в микрорезонаторах
(1) Сильная зависимость
эффективной массы от квазиимпульса
(2)Время жизни зависит от вклада фотона в поляритоне,
т.е. уменьшается с k.
(3) размер поляритона с большим фотонным вкладом ~ мкм
(4) В отличие от объемных экситонных поляритонов
0 wavevector, k
E ( k поляритонов
0)  0
т.е. возможность накопления
на дне зоны.
При этом  т.к. поляритоны  бозоны эффективность рассеяния на дно зоны растет с
увеличением
заполнения моды k=0 при достижении заполнения этой моды (k=0)>1.
То есть появляется возможность
 конденсации при очень низкой плотности, т.к. масса очень мала
 реализации нового типа лазера  «бозера» в системе без инверсии
(беспороговый
лазер)
Ограничения
сверху по мощности  плотность должна быть много меньше aB-2 , чтобы сохранялись
экситонные состояния
 по экситонному рассеянию рассеянию: 1/X

энергия экситон-фотонного взаимодействия
1/ растет с температурой
 Пока эксперименты
GaAs 
T< 20K, CdTe 
T<80 K, GaN

300 K
Квазидвумерные экситонные поляритоны
Малая плотность возбуждения –
Поляритоны медленно релаксируют по
дисперсионной ветке за счет рассеяния на фононах
и высвечиваются, не успев добежать до дна зоны
Большая плотность возбуждения –
Поляритоны быстро релаксируют на дно
зоны за счет поляритон-поляритонного
рассеяния
и конденсируются в k=0
Рапределение их по энергии E<<kT