Теорема Гаусса

Электрический диполь

Электрическим диполем называется
система двух одинаковых по
величине, но разноименных точечных
зарядов, расстояние между которыми
значительно меньше расстояния до
тех точек, в которых определяется
поле системы
1
Электрический диполь
А
2
Электрический диполь



Обозначим вектор: Р  q l – электрический
момент диполя (или дипольный момент) –
произведение
положительного заряда диполя на

плечо l.



P

совпадает с направлением l ,
Направление
т.е. от отрицательного заряда к положительному.
Тогда, учитывая что
ql  P
, получим:
P
E 
3
4πε0 r
3
Электрический диполь

Плечо диполя – вектор, направленный от отрицательного
заряда к положительному и численно равный расстоянию
между зарядами.
4
Пример 1. Найдем Е в точке А на прямой, проходящей
через центр диполя и перпендикулярной к оси.
1
E  E 
4 πε0
q
q

2
2
4
πε
r
l
 
0
r2   
2
( l  r )
Из подобия треугольников
E

E
l
1
l2 2
 2
 r  
4

l

r
l
ql
E  E 
.
3
r 4πε0r
5
Пример 2.

E|| 
На оси диполя, в точке В :
2ql
4 πε0 r 3


2P
E || 
.
3
4 πε 0 r
6
Пример 3.
В произвольной точке С
P
2
E
3
cos
φ  1,
3
4πε0r
φ1  φ 2  0,
Е2 
2P
4πε0r 3
π
P
φ1  φ 2  , E1 
;
3
2
4πε0r
7
Теорема Остроградского-Гаусса


Теорема Остроградского-Гаусса, которую мы
докажем и обсудим позже, устанавливает связь
между электрическими зарядами и электрическим
полем. Она представляет собой более общую и
более изящную формулировку закона Кулона.
Основная ценность теоремы ОстроградскогоГаусса состоит в том, что она позволяет
глубже понять природу электростатического поля
и устанавливает более общую связь между
зарядом и полем.
8
Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855)
С именем Гаусса связаны
фундаментальные исследования почти
во всех основных областях математики:
алгебре, дифференциальной и
неевклидовой геометрии, в
математическом анализе, теории
функций комплексного переменного,
теории вероятностей, а также в
астрономии, геодезии и механике. «В
каждой области глубина проникновения
в материал, смелость мысли и
значительность результата были
поражающими.
9
Гаусс Карл Фридрих (1777 –
1855)






Для минимизации влияния ошибок измерения Гаусс
использовал свой метод наименьших квадратов, который
сейчас повсеместно применяется в статистике.
Хотя Гаусс не первый открыл распространённый в природе
нормальный закон распределения, но он настолько
тщательно его исследовал, что график распределения с тех
пор часто называют гауссианой.
В физике Гаусс заложил основы математической теории
электромагнетизма, развил теорию капиллярности, теорию
системы линз.
Введено понятие потенциала электрического поля.
Разработал систему электромагнитных единиц измерения
СГС.
Сконструировал, совместно с Вебером, примитивный
телеграф.
10
Список терминов, связанных с
именем Гаусса


















Алгоритм Гаусса (вычисления даты пасхи)
Гаусс (единица измерения)
Дискриминанты Гаусса
Гауссова кривизна
Интерполяционная формула Гаусса
Лента Гаусса
Малая планета № 1001 (Gaussia)
Метод Гаусса (решения систем линейных уравнений)
Метод Гаусса-Жордана
Метод Гаусса-Зейделя
Нормальное или Гауссово распределение
Прямая Гаусса
Пушка Гаусса
Ряд Гаусса
Теорема Гаусса — Ванцеля
Фильтр Гаусса
Формула Гаусса — Бонне
Постоянная Гаусса
11
Поток вектора

Таким образом, поток вектора есть скаляр,
который в зависимости от величины угла α может
быть как положительным, так и отрицательным.
12
Поток вектора напряженности
dФЕ  ЕdS cos α  EndS .
В однородном поле
ФЕ  ES .
В произвольном электрическом поле
 
ФЕ   ЕndS   EdS.
S
S
13
Поток вектора напряженности от
единичного заряда
14
Поток вектора напряженности от
единичного заряда

Подсчитаем поток вектора через произвольную
замкнутую поверхность S, окружающую
точечный заряд q . Окружим заряд q сферой S1.
Центр сферы совпадает с центром заряда. Радиус
сферы S1 равен R1.
В каждой точке поверхности S1 проекция Е на
направление внешней нормали одинакова и равна
1
q
En 
.
2
4 πε 0 R1
15
Поток вектора напряженности от
единичного заряда

Тогда поток через S1
q
q
2
ФE   En dS 
4
π
R

.
1
2
ε
4
πε
R
0
0
1
S1
Подсчитаем поток через сферу S2, имеющую радиус R2:
q
q
q
2
ФЕ  
dS 
4πR2  .
2
2
ε0
4πε0 R2
S2 4 πε 0 R2
16
Поток вектора напряженности от
единичного заряда
Из непрерывности линий напряженности
следует, что поток и через любую произвольную
поверхность S будет равен этой же величине:

q
ФЕ   Еn dS 
ε0
S
теорема Гаусса для одного заряда
17
Теорема Гаусса для нескольких
зарядов.

Для любого числа произвольно расположенных
зарядов, находящихся внутри поверхности:
ФЕ 
 Еn
S


q

dS 
ε0
– теорема Гаусса для нескольких зарядов.
Поток вектора напряженности электрического
поля через замкнутую поверхность в вакууме
равен алгебраической сумме всех зарядов,
расположенных внутри поверхности, деленной
на ε0.
18
Полный поток проходящий через S3,
не охватывающую заряд q, равен нулю:
Ф3  0
19
Теорема Гаусса


Таким образом, для точечного заряда q, полный поток через
любую замкнутую поверхность S будет равен:
если заряд расположен внутри замкнутой поверхности;
ФЕ

q

ε0
– если заряд расположен вне замкнутой поверхности;
ФЕ  0
этот результат не зависит от формы поверхности, и знак
потока совпадает со знаком заряда.

20

Электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой
объемной плотностью различной в разных местах пространства:
ρ  dq / dV

Здесь dV – физически бесконечно малый объем, под которым
следует понимать такой объем, который с одной стороны достаточно
мал, чтобы в пределах его плотность заряда считать одинаковой, а с
другой – достаточно велик, чтобы не могла проявиться дискретность
заряда, т.е. то, что любой заряд кратен целому числу элементар-ных
зарядов электрона или протона .
21

Суммарный заряд объема dV будет равен:
 qi   ρdV .
V


Тогда из теоремы Гаусса можно получить:
  1
ФE   ЕdS   ρdV
ε0 V
S
1
ФE   ρdV
ε0 V

– это ещё одна форма записи теоремы
Остроградского-Гаусса, если заряд
неравномерно распределен по объему.
22
Дифференциальная форма теоремы
Остроградского-Гаусса

Пусть заряд распределен в пространстве V,
с объемной плотностью  ρ . Тогда
  q
 EdS  ε 0
   ρ  ΔV
 EdS  ε 0
1   ρ
EdS 

ΔV
ε0
23


Теперь устремим ΔV  0, стягивая его к
интересующей нас точке. Очевидно, что
 ρ  при этом будет стремиться к ρ в
данной точке, т.е.
ρ
ρ
 .
ε0
ε0

Величину, являющуюся
пределом
 
отношения  ЕdS к V, при ΔV 
, 0
называют дивергенцией
поля Е и

обозначается
div. E
24





Дивергенция поля Е
1 . 
EdS

ΔV  0 ΔV

divE  lim
Аналогично определяется дивергенция
любого другого векторного поля.
Из этого определения следует, что
дивергенция является скалярной
функцией координат.
В декартовой системе координат
 Ex E y Ez
div E 


.
x
y
z
25




Итак,
 ρ
div E  .
ε0
(2.4.3)
Это теорема ОстроградскогоГаусса в дифференциальной
форме.
Написание многих формул упрощается,
если ввести векторный

дифференциальный оператор  (Набла)
 




i

j

k
,

x
y
z где i, j, k – орты
осей (единичные векторы).
26
Сам по себе оператор смысла не имеет. Он
приобретает смысл в сочетании с векторной или
скалярной функцией, на которую символично
умножается:

 
E x E y E z
  Е   x Ex   y E y   z Ez 


x
y
z

дифференциальная форма
теоремы Остроградского-Гаусса.
 ρ
E 
ε0
27



В тех точках поля, где
div E – 0
(положительные заряды) источники
поля,
где div E  0 – стоки
(отрицательные заряды).
Линии выходят из источников и
заканчиваются в стоках.
28
Вычисление электрических
полей с помощью теоремы
Остроградского-Гаусса
29
Поле бесконечной однородно
заряженной плоскости
dq
σ
,
dS
30
Поверхностная плотность заряда на
произвольной плоскости площадью S
определяется по формуле:
dq
σ
,
d
S
dq – заряд, сосредоточенный на площади
dS;
dS – физически бесконечно малый участок
поверхности.
31


Представим себе цилиндр с образующими,
перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS,
расположенными симметрично относительно
плоскости
Тогда
E '  E ' '  E.
32

Суммарный поток через замкнутую поверхность
(цилиндр) будет равна:
ФЕ  2ΔSE.


Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно,
из теоремы Остроградского-Гаусса получим:
q
1
ФЕ   2ΔSE  σΔS
ε0
ε0
откуда видно, что напряженность поля плоскости S
равна:

σ
E
.
2ε 0
33
Поле двух равномерно
заряженных плоскостей

Пусть две бесконечные плоскости заряжены
разноименными зарядами с одинаковой по величине
плотностью σ
34

Результирующее поле, как было сказано выше,
находится как суперпозиция полей, создаваемых
каждой из плоскостей. Тогда внутри плоскостей
E  E  E отсюда E  σ / ε 0

Вне плоскостей напряженность поля
E  0.

Полученный результат справедлив и для плоскостей
конечных размеров, если расстояние между
плоскостями гораздо меньше линейных размеров
плоскостей (плоский конденсатор).
35
•Распределение напряженности
электростатического поля между пластинами
конденсатора показано на рисунке:
36



Между пластинами конденсатора
действует сила взаимного
притяжения (на единицу площади
пластин):
2
т.е.
σ
F SσE
Fед  
S
S
Fед 
2ε 0 ε
Механические силы, действующие
между заряженными телами, называют
пондермоторными.
37




Сила притяжения между пластинами конденсатора:
2
σ S
F 
,
2ε 0
где S – площадь обкладок конденсатора.
q
Т.к.
σ
S
 Eε 0
ε0 E S
q
F

2ε 0εS
2
2

2
Это формула для расчета пондермоторной силы
38
Поле заряженного бесконечного
цилиндра (нити)

Пусть поле создается бесконечной цилиндрической
поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной
линейной плотностью
dq
λ 
dl


где dq – заряд, сосредоточенный на отрезке
цилиндра
39
Представим вокруг цилиндра (нити)
коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр
в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания
цилиндров перпендикулярно оси).
Для оснований цилиндров
En  0,
для боковой поверхности
En  E (r ), т.е. зависит от
расстояния r.
Следовательно, поток вектора
через рассматриваемую
поверхность, равен
ФE  E (r ) S  E (r )2πrl.
40
При r  R, на поверхности будет заряд
По теореме Остроградского-Гаусса
Тогда
q  λl.
λl
E (r )2πrl 
ε0
λ
Е (r ) 
при r  R
2πε0 r
r  R, E (r )  0 , т.к.
Если
внутри замкнутой поверхности зарядов
нет.
41
Графически распределение напряженности
электростатического поля цилиндра
42


0  внут ри цилиндра, нет зарядов
 
q
на поверхност и цилиндра
или
E
2 0 Rl
 2 0 R
 
q
вне цилиндра
или

2 0 rl
 2 0 r
43