"Квантовая теория рассеяния".

Потенциальное (упругое) рассеяние
Частица массы m в поле рассеивающего потенциала U(r):
 p2

 U (r )  (r )   (r )

 2m

Волновая функция (r) вдали от рассеивателя r  
 (r )  eikr 
f ( ) ikr
e
r
k = (2m)1/2 - волновой вектор,  = 1, f() - амплитуда рассеяния
Поток рассеянных частиц, сечение рассеяния
d dN

,
d jd 
d
2
 f ( ) ,
d
2
vf 2
2
dN  v dS  2 r d
r
   f ( ) d
2
Фазовая теория рассеяния
Рассеяние на изотропном потенциале
Разложение волновой функции по парциальным волнам
 (r )   Alm Rl (r )Ylm ( , )
l ,m
1 d  2 dRl   2 l (l  1)
 R  0,
r

k


2
mU
(
r
)

 
 l
Радиальная
2
2
r dr  dr  
r

часть Rl
1 d  dR  l (l  1)
l
l 1
r  0 : 2 r2 l  
R

0
,
R

r
,
1
/
r
l
l
r dr  dr 
r2
Асимптотическое поведение
2
 i ( kr 
l
)
d (rRl )
e
2
()
()
(  )*
r :

k
rR
,
R

,
R

R
l
l
l
dr 2
r
Rl(  ) (r  0)  1 / r l 1 , Rl  CRl(  )  C * Rl(  ) , C  iei l ,
l
Rl(-) - сходящаяся,
2 sin( kr    l )
(+) расходящаяся,
Rl
2
Rl (r  ) 
,
волна, l - фаза
r
рассеяния.
Rl  i (ei l Rl(  )  e i l Rl(  ) ).
2
Разложение плоской волны
eikr  4  i l jl (kr )Ylm* (k )Ylm (r )
l ,m
l (l  1)
dj (kr )
 2 l
  2
 j (kr )  0,
Сферические функции
r

k


 
 l
2
2
dr  
r 
Бесселя jl, j0(x)=sin(x)/x r dr 
jl(x)=( /2x)Jl+1/2(x)
jl (kr  )  sin( kr  l / 2) / kr ,
1 d
k  z Ylm (k ) 
(2l  1)
 m 0 , eikr   i l 4 (2l  1) jl (kr )Yl 0 (r )
4
l
Разложение (r)
 (r)   Alm Rl (r )Ylm ( , ), Alm   m0
l ,m
 (r  )  
l
i l e i l
4 (2l  1)
2k
i l e i l
4 (2l  1)
2k
2 sin( kr 
r
l
2
 l )
Y0 m ( , )

))  
 ((rr 
ll
 i ( kri (kr2l 22l l )l ) i (i kr( kr2l2)l  l ) 
 e e l

ee
l 
i ( kr   l )  i ( kr   l ) 

iilileel iill  e r r2
e r r 2  
44 ((22ll 11))

,) )
 
Yl l 0(Yl 0,Y(l0)(,
l l
l
222ikik
ik  i ( kri r(kr2)2  l ) i ( kr i2r( )kr  2 l ) 
e e   
  e e
 
 r r

r r
 (r )  eikr  4 
l
(2l  1) eikr i 2 l
f ( ) ikr
ikr

e  1Ylm ( ,  )  e 
e
2k
r
r

e
(2l  1)
 1
Амплитуда рассеяния f ( )  
Pl (cos( ))
2ik
l
Sl  1
i 2 l
S матрица Sl  e
Парциальная амплитуда f l 
2ik
i 2 l
Разложение амплитуды рассеяния
f ( )   (2l  1) f l Pl (cos  )
l
Сечение рассеяния

   f ( ) d  2  f ( ) sin( )d
2
2
0

2 ll '
0 Pl (cos ) Pl ' (cos ) sin( )d  2l  1
    l  4  (2l  1) f l
l
l
2
4
 2
k
 (2l  1) sin 
2
l
l
4
2


4

(
2
l

1
)
f

(
2
l

1
)
sin
l
Парциальное сечение
l
l
2
k
Максимальное парциальное сечение  l max  42 (2l  1)
k
2
Rl (r )   l  
Условие унитарности
 l  e 2i  l(  )  l(  )  Sl l(  )  l(  )
Парциальная волна
l
Расходящаяся волна
 l(  )  Rl(  ) (r )Yl 0 (n)
Сходящаяся волна
 l(  )  Rl(  ) (r )Yl 0 (n)
Суперпозиция парциальных волн
   Al l   Al Sl l(  )  Al l(  )   Bl l(  )  Al l(  )
l
l
l
Матрица рассеяния S
l
B   S  A, Sll '   ll 'e 2i
Унитарность S матрицы
Sll  1, SS   1
Сохранение числа частиц
Bl  Al ,
jl(  )  jl(  )
l
Оптическая теорема
Sl  1  2ikf l , Sl S  1,
*
l
f l  f l  2if l f l , Im{ f l }  k f l
*
*
1
fl 
g l  ik
Im{1 / f l }  k ,
Im{ f (0)}   (2l  1) Im{ f l }   (2l  1)k f l
l
l
k
Im{ f (0)} 
4
2
k

4
2
Закон сохранения числа частиц
f ( ) ikr
ikr
 (r )  e 
e
r
2
f ( )
Плотность потока частиц j(r )  v  v
r  jint
3
r
2
f ( )
 jdS  0,  vdS  0,  v r 3 rdS  v ,  jint dS  v  0
1
ikr (cos 1) *
ikr (cos 1)

j
d
S

2

v
e
f
(

)

e
f ( ) rd cos  
 int

0
2v *
k
 f (0)  f (0)  v, Im{ f (0)}  
ik
4
Условие унитарности S матрицы в представлении плоских волн
 n (r )  eikrnn ' 
f (n, n' ) ikr
e ,
r
n  n'  1, n  k , n  n'  r
ikr
e
   F (n) n dn  F (n)eikrnn ' dn 
F (n) f (n, n' )dn 

r
e ikr
eikr eikr
2iF (n' )
 2iF (n' )

F (n) f (n, n' )dn 

kr
kr
r
2i  eikr
e ikr 

SF (n' )  F (n' )

,
k  r
r 
1
F (n) f (n, n' )dn,

4
SS   1. f  f   2ikff  ,
ik
*
f (n, n' )  f * (n' , n) 
f
(
n
,
n
'
'
)
f
(n' ' , n' )dn' ' ,

2
k
n  n' , Im{ f (n, n)} 
4
S  1  2ikf ,
fF (n' ) 
Приближение Борна
Условие приближения
mUa 2  1, Ua / v  1 ka  1
 k 2 k '2  dk '
Вероятность рассеяния dW  2 k ' U k    
3
2
2
(
2

)


2
d dW 2


d jd  v

 k 2 k '2  k '2 dk '
m2
2
k' U k  


k' U k ,

3
2
 2m 2m  (2 ) (2 )
2
k ' U k   U (r )ei ( k k ') r dr  U (q), q k 'k ,


sin( qr )
d
sin( qr ) 
2
U (q)  4  U (r )
dr ,
 4m   U ( r )
dr 
q
d
q
0

0
2
Квазиклассическое приближение
Квазиклассический предел
  a,   h / p,
  0, ka  pa /   1,
l   p /   1,  l  1,
  U (  ) / E   /  p  1 / l
Классические
траектории
движения
Классическое
сечение
рассеяния
f ( )   (2l  1) f l Pl (cos  ) 
l
 i  2 l (l  12 ) 4  i  2 l  ( l  12 ) 4  
1
l
 
e
e
,
k l 2 sin  

d l
2
   0, l  k ,    (  ),
dl
d
l
dl
 d
 2

d k sin( ) d sin( ) d
Приближение WKB,
Приближение эйконала
E  U , ka  1
Квазиклассическая волновая функция
1
 2 (l  1 / 2) 2

rRl  sin(  2m E  U (r )  
dr

),
2
 r0
r
4
r

1
 2 (l  1 / 2) 2

 l   2 m E  U ( r )  
dr


2
 r0
r
4

1
 2 (l  1 / 2) 2

 2 (l  1 / 2) 2
  2mE 
dr  . 2m E  U (r0 )  
2
2
 r0
r
4
r0
Квазиклассическая
фаза рассеяния

2
1 mU (r )dr
l
2
l   2 
,
k
 2
2
 r0
r0
l
2
k  2
r
Квазиклассическая фаза рассеяния

2
1 mU (r )dr
l

2
2
2
2
l   2 
, r  z    z   ,
2
 l/k 2 l
k 
k  2
r

m
l
2
2
 l   2  U ( z  (l / k ) )dz ,  
 k0
k
 ()  
2 

1
2
2
U
(
z


)dz ,

2v 




k2 

2m
m
U
dz

kdz


Udz.
2
2 


 k 

Эйконал
Квазиклассическая амплитуда рассеяния
f ( )   (2l  1) f l Pl (cos  )
l
Pl (cos  )  J 0 ( l ) 
1
2
2
i l cos
e
d , l  1,   1

0
1
(e 2i l  1) i l cos
f ( ) 
2l
e
d dl

2
2ik
Замена переменных
l   , l   k , q  k ,  l   (   l / k ), S (  )  e 2i (  ) ,

k
f ( ) 
2i 0
2
 S (  )  1e
0
 iq 
k
 iq 2
dd 

S
(

)

1

e
d 

2i
Борновский предел

i
2 i (  )
 (  )  1, (e
 1)  2i (  )    U ( z 2   2 )dz ,
v 
m
iqr
f ( )  
U
(
r
)
e
dr
2 
2
Сечение рассеяния

4
Im{ f (0)}  2 Re{1  S (  )}d 2   4 sin 2 ( (  ))d 2 
k
Рассеяние медленных частиц
ka << 1
Волновая функция вне действия потенциала r >> a
Rl (r  )  2 sin( kr 
l
 l ) / r 
2
l
l
2 sin( kr  ) cos( l ) / r  2 cos( kr  ) sin(  l ) / r
2
2
Rl (r  a )  2 jl (kr ) cos( l )  2 yl (kr ) sin(  l )
Волновая функция в области действия потенциала r < a
1 d  2 dRl   l (l  1)
R  0
r


2
mU
(
r
)

  2
 l
2
r dr  dr   r

Сшивание волновых функций a<r<1/k
l 
R'l
j ' (kr ) cos( l )  y 'l (kr ) sin(  l )
k l
Rl
jl (kr ) cos( l )  2 yl (kr ) sin(  l )
kj 'l (kr )  l jl (kr )
tg ( l )  
,
ky 'l (kr )  l yl (kr )
jl ( x  1)  x l , yl ( x  1)  1 / x l 1 ,
tg ( l )  (ka )
2 l 1
,
f ( )  f 0   ,
  4 2
e 2 i l  1  l
fl 
  (ka ) 2l ,
2ik
k
Резонансное рассеяние медленных частиц
резонанс в s - волне, l = 0
k cos( ka )   sin( ka )
tg ( 0 ) 
,
k sin( ka )   cos( ka )
1
1
f0 

,
g 0  ik kctg ( 0 )  ik
k sin( ka )   cos( ka )

g0 
k
,
k cos( ka )   sin( ka )
1  a
 cos(a)

,   2mU
sin(a )
  1 / g 0  a  1 /   a  tg (a) / 
Условие резонанса,
  0, g 0  0,  0 

2
 k
  1 /   a
 (r  a )  e r ,   
2
2m
    1 /  ,  g 0 (k  0)    
1
f0 
,
  ik
4
2
1
 2 2
,
 k
m (E   )
1
1
f0 

g 0 (k )  ik    r0 k 2 / 2  ik
резонанс с l  0
1
1
fl 

,
1
g l (k )  ik g (0)  g ' ' k 2  ik
l
l
2
b
2l
2l
f l  k , g l (k )  1 / k , g l (k )  l (  E ),
E
1
1
/2
fl 

,   2kE l / b  k 2l 1 ,
b
k E    i / 2
(
E


)

ik
El
E    i / 2
S
,
E    i / 2
 (2l  1)
2
l 
k2
(E   )2  2 / 4
Аналитические свойства S матрицы
 kl  al (k )  kl(  ) (r )  bl (k )  kl(  ) (r ),

()
kl
(r  )  e
 i ( kr 
l
2
)
,  kl (0)  0,
bl (k )  kl(  ) (r )
Sl (k ) 
 (  ) |r  0
al (k )  kl (r )
k  -k
 kl  C kl
 ( kl)  (1)l  kl(  ) ,
Sl (k )  1 / Sl (k )
t  -t

(  )*
kl

 kl*  C kl
()
kl
,
k
 k * , Sl* (k )
k , Sl (k )
 k , 1 / Sl ( k )
k * , 1 / Sl* (k )
Sl (k ) *  1 / Sl (k ),
Sl* (k * )  1 / Sl (k )
Sl (k * )  Sl* (k ),
Вещественная ось
Sl (k ) Sl (k )*  1, Im{ l (k )}  0,
g l  ik
Sl (k )  1  2ikf l (k ), f l (k )  1 /( g l  ik ), Sl (k ) 
,
g l  ik
g l ( k )  g l (k ), g l  g l (k 2 )
Мнимая ось Sl * (k * )  Sl (k ), Re{ l (i | k |)}  0
Особенности S матрицы
Полюса S матрицы, связанные состояния E=E0<0
k  k0  i  2mE0 , 
()
k0 l
( r  )  e
 ( k0 r  i
l
2
)
,
 k l   k( l ) ,  k( l ) (0)  0, Sl ( k  k0 )  , Sl ( k0 )  0
0
0
0
Пример: Sl ( k )  gl  ik , l  0, g      0,
g l  ik
резонанс в
s - волне,
   ik
2
Sl ( k ) 
, k 0  i , E 0  
,
ka << 1
   ik
2m
Положение полюсов k0=k’+ik”:
k” >0, k’=0; k” <0, k’1=- k’2
ik 'r  k ''r
Sl1 ( k0  k 'ik " )  0,  k0l   k(0l ) r


e
,

E0  ( k 'ik " ) 2 / 2m, Im{E0 }  0, k ' k "  0
Условие непрерывности
2

i
*
*

dS

dV


j
d
S











t
2m
R

i  * d
d *
2

dr





 


t 0
2m  dr
dr  r  R
 k l   k( l) r
 e

0
0
ik 'r  k ''r 
i
( k '2  k "2 2 ik 'k ") t
2m
,
 k l   k( l) r
 e

0
ik 'r  k ''r 
0
i
( k '2  k "2 2 ik 'k ") t
2m
,
 2 2k ' k " 2
 
 ,
t
m
R
2k ' k "
k '  2 k "R
2
 dr   e
,

m 0
m
k "  0; k "  0, k '  0.
Полюса на нефизическом листе k”<0, резонансы k”<<k’
( k  k0* )(k  k0 ) 2 i ( 0 ) ( k )
Sl ( k ) 
e
,
*
( k  k0 )(k  k0 )
( k  k0 )(k  k0* )  ( k  ik " ) 2  k '2  k 2  k '2 2ikk " ,
i
E  E0 
k k"
k '2
2 i ( 0 ) ( k )
2
E0 
,
,   E0 , Sl ( k ) 
e
i
2m
m
E  E0 
2
Свойства вычетов
Полюс на физическом листе k0=i
Связанное состояние с энергией
Sl ( k ) 
E0  
2
2m
 l (r  )  Al e r ,
и волновой функцией
Cl
k  i

  l dr  1
2
0
Cl  (1) l 1 i Al
2
Волновая функция задачи рассеяния с импульсом k= i + 
 r ir (1) l  r ir 
 kl (r  )  Al  e

e
,
Cl



 k i ,l   l ,   l dr  1
0
2
Условие непрерывности
2

i
*
*

dS

dV


j
d
S











t
2m
R

i  * d
d *
2
 dr 
  


t 0
2m  dr
dr  r  R
 2 2k ' k " 2 2 2
 
 
 ,
t
m
m
i  * d
d *
  

2m  dr
dr  r  R
2
m
R
2
l

Al 2R 
2  (1)
2



i
A

e
l

m 
Cl
2

2i (1) l 1 2
0  dr  m Cl Al .
2
Теорема Левинсона
 l ()   l (0)  N b
Sl
 2i ( k ),  ( k )   ( k ),
Sl



Sl
Sl dk  2i  (k )dk  4i 0  (k )dk  4i ()   (0) 
()
*
()
Функция Йоста Dl(k) Dl ( k )   kl (0), Dl ( k )   kl (0),
Dl ( k )  (1) l Dl* ( k ).

 kl(  ) (0) Dl* ( k )
Dl* Dl  Dl* Dl
Dl* ( k )  Dl( k ) Dl( k ) 
Sl  (  )

, Sl 



,
2
 kl (0) Dl ( k )
Dl
Dl ( k )  Dl ( k ) Dl ( k ) 



Sl
Dl( k )
Dl( k )
1
dk


2
dk


4

iN
,
D
(
k

k
)

B
(
k

k
),

.
b
l
0
0
Sl
 Dl (k )
Dl ( k ) ( k  k0 )
Квазистационарные состояния
Волновая функция
 k l   k( l ) ,  k( l) (0)  0.
Энергия состояния
E  E0  i / 2,   E0 .
0
0
0
Временная зависимость волновой функции
 (t )  e
iEt
e

iE0t  t
2
,
2
(t )  e t , N (t )  N 0e t .
Пространственная зависимость волновой функции
 2m
ikr
 (r )  e , k  2m( E0  i / 2)  2mE0  i
,
4 E0
 (r )  Ae
ik 'r  k " r
2
,
 2m

k '  2mE0 , k "  
 ,
4 E0
2v
2

r
v
 ( r  )  A e 2 k " r  A e .
Условие непрерывности
2

i
*
*

dS

dV


j
d
S











t
2m
R

i  * d
d *
2
 dr 
  


t 0
2m  dr
dr  r  R
 k l   k( l ) r
 Ae

0
ik 'r  k ''r 
i
( k '2  k "2 2 ik 'k ") t
2m
0
R
,
 2 2k ' k " 2 2k ' k "
k '  2 k "R
2
 
 ,
 dr   A e
,

t
m
m 0
m
2
A  2 k " N (t ),
2
 (t , r )  N 0 e t r / v .
Квазистационарное состояние в задаче рассеяния
Полюса на нефизическом листе k”<0, резонансы k”<<k’
( k  k0* )(k  k0 ) 2i ( 0 ) ( k )
Sl ( k ) 
e
,
*
( k  k0 )( k  k0 )
( k  k0 )(k  k0* )  ( k  ik " ) 2  k '2  k 2  k '2 2ikk " ,
i
k k"
k '2
2 i ( 0 ) ( k )
2
E0 
,
,   E0 , Sl ( k ) 
e
,
i
2m
m
E  E0 
2



 l ( k )   ( 0 ) ( k )  arctg 
.
 2( E  E 0 ) 
E  E0 
l 
 (2l  1)
2
2
Sl  1 
k




(0)

 e i sin  ( 0 ) 
 (2l  1) 
2
2 (0)

4
Re

4
sin
 


2
2
i 
k
 E  E 2  


E

E



0
0


2


4
Зависимость волновой функции рассеяния от энергии
налетающий частицы в области резонанса
 kl  2m(U (r )  E )  kl  0 |  k 'l
 k'l  2m(U (r )  E ' )  k 'l  0 |  kl
  k 'l  kl   kl  k 'l   2mE kl  k 'l

 k 'l  kl   kl  k 'l 1   kl


1
 kl 


dr

lim






kl
kl 
0 kl
2m
E
2k 
k
 k  

l
 kl ( R)  2 sin( kR    l )
2
R
d l  1
l
2



dr

2
R


sin
2
(
kR



)

l 
0 kl

dk  2k
2

R
2
R


dr

2
 kl
 R 
2

0
d l  1
l


sin
2
(
kR



)

l ,
dk  2k
2




k  

(0)
 l ( k )   ( k )  arctg 
   ( k )  arctg 
,
 k  k 
 2( E  E 0 ) 
R
R
v
2
v
2
 kl dr  ,
,

2
0  kl dr 


0
2
( E  E0 ) 
v
T
4
2
 kl 

 1.
R ( R / v )
Время соударения
(0)
R
  kl dr  T ( E ) I  , I   v T ( E ) 
2

2

0
( E  E0 ) 2 
4
d l  1
2 
l

T ( E )   R 

sin
2
(
kR



)

l 
v 
dk  2k
2

Координатная и энергетическая зависимость волновой
функции задачи рассеяния в области резонанса
 kl (r ) 
v

( E  E0 ) 
4
2
2
 0 (r ),
R

2
0
dr  1
0
Резонанс в неупругом рассеянии
2
w  2   f V i  ( E f  Ei ) df ,
i  k (r ) 0 (ra ),
k (r )  
l
i l e i l
4 (2l  1)
kl (r ),
2k
 f  k ' (r ) nm (ra )  e  nm (ra )
ik 'r
E

V
E’
m
n
kl (r ) 
v
0 (r ),

( E  E0 ) 
4
i l e i l
v
i  4 (2l  1)
0 (r ) 0 (ra ),
2

2k
2
( E  E0 ) 
4
2
 (2l  1)
v
w
2   f V 0  ( E f  Ei ) df ,
2
2

k
2
( E  E0 ) 
4
2
2
2
r  2   f V 0  ( E f  Ei ) df ,
w (2l  1)
r  
v
k2
r
r
, r e
2


2
( E  E0 ) 
4
Многоканальное рассеяние
X i  Yi  X j  Y j
Волновая функция многоканальной задачи
    i k(il ) (ri )   i k(il ) (ri )  i ,  i   X i Yi ,
i
i ( ki ri 

()
ki l
1 e
(ri  R) 
vi
ri
l
2
)
Ylm (ni ),
k i  2  i ( E   i )  i , vi 
ki
i
, i 
mX i mYi
mX i  mYi
Если E > i - i канал рассеяния открыт, Im{ki}=0.
Если E < i - i канал рассеяния закрыт, Re{ki}=0, i=0.
   S  
Размерность S - матрицы mm,
m - число открытых каналов.
Сечения рассеяния, разложение по парциальным волнам

vi
l  (l )
()
()
(l ) ( )

4 (2l  1)i  Sii  kil  i   kil  i   S ji  kil  j  

2iki l
j i


e
ik iri

vi
l
(l )
()
(l ) ()
i 
4 (2l  1)i  ( Sii  1) kil  i   S ji  kil  j .

2iki l
j i


Волновая функция на бесконечности
iki ri
e
 (r  )  e ikiri  i 
ri
( Sii( l )  1)
l (2l  1) Pl (cosi ) 2ik i 
i
(l )
S
e
ji
(l )
(l )
(
2
l

1
)
P
(cos

)

,
S



2
i
k
k
f


l
i
j
ji
ij
i j ji
r
2
i
k
k
j i
l
j
i j
ik j rj
f ji( l )
( S (jil )   ij )

2i ki k j
- амплитуда рассеяния
Дифференциальные сечение рассеяния
d ji v j
2
d e d ii
2

 f ii ( ) ,

f ji ( ) ,
d i d i
d i v i
f ji ( )   (2l  1) Pl (cos ) f ji( l )
l
Полные сечение рассеяния
 ii   
(l )
ii
l
 ji   
 ji   
(l )
ji
l

k
2
i
 (2l  1) S
(l )
ii
1
2
l
vj

(l ) 2
(l ) 2
 4  (2l  1) f ji  2  (2l  1) S ji
vi l
ki l


k
2
i
Сечение упругого
рассеяния
 e   ii ,

l
(l )
ji
l
 4  (2l  1) f
(l ) 2
ii
 (2l  1) S
(l )
ji
  ij
2
l
Сечение неупругого
рассеяния
 r   ji ,
j i
Полное сечение
t  e r
Условие унитарности
    i i(,l )   i i(,l )  i - парциальная волна с моментом l
i
I
  i , I
2
()
()
i
2
   j    S (jil ) i   S (jkl )* S (jil ) i k*
2
j
j
i
i, j
Закон сохранения числа частиц: I (  )  I (  )
( l ) ( l )*
( l ) ( l )
S
S


,
S
S 1
 ji jk ik
j
S
(l ) 2
ji
S
(l ) 2
ji
 1,
S
(l ) 2
ii
 1  S
 1 S
(l ) 2
ii
, 
(l )
e
j i

 1,  l   l  i l,
j i
j
(l )
r
(l ) 2
ji


(2l  1)(1  S
2
ki
(l ) 2
ii


k
2
i
), 
(2l  1) S
(l )
t


(l )
ii
2
1 ,
(l )
(
2
l

1
)(
1

2
Re
S
ii ),
2
ki
Sii( l )  1,  e( l )   r( l )  0,
Sii( l )  1,  e( l )  0,  r( l )  0,
S
(l )
ii
 0, 

(l )
r

(l )
0
(l )
e



k
2
i
(l )
r

(2l  1) S
(l )
0

(l ) 2
ii

k
2
i
(2l  1),
,
1  Sii( l )  Sii( l )  1  Sii( l )  1,
 0( l )   0( l )   r( l )   e( l )   0( l )   0( l )   r( l ) .
Оптическая теорема
S
(l ) 2
ij
 1,
j
( l )*
(l )
(


2
i
k
k
f
)(


2
i
k
k
f
 ij
i j ji
ji
i j ji )  1,
j
Im{ f ii( l ) }   k j f
j
(l ) 2
ji
ki  t( l )

,
4 (2l  1)
Im{ f e (0)}  Im{ (2l  1) f ji( l ) } 
l
Im{ f e (0)} 
ki
t
4
ki
t ,
4
Обратимость времени, теорема взаимности
t  -t
Ψ  Ψ*
 k( l )*   k( l ) , Sl (k ) *  1/ Sl (k ), Sl* (k * )  1/ Sl (k )
i
i
Условие унитарности Sl ( k )   1/ Sl ( k )
Симметричность S - матрицы S~l (k )  Sl (k ), Sij( l )  S (jil )
Теорема взаимности
f (p j , p i ) 
4
2i k j ki
(l )
*
*
l m *
S
Y
(
p
)
Y
(
p
),
Y
(
n
)

(

1
)
Yl m (n),
 ji lm i lm j lm
lm
f (p j , p i )  f (p i ,p j ).
Принцип детального равновесия
d ji
d ij
 2
2
p j d j pi d i
Аналитические свойства
Точки ветвления E   i , k1  2m1 (  i  1 )
Полюса на физическом листе E < 1, , Re{ki}=0, Im{ki}>0
Связанные состояния E = E0< 1, Ψ   (+)
 k0 i ri
e
0   Ai i(  )  i r
Ai
Ylm (ni ) i ,

R
ri
i
i
k 0 i  2  i ( E0   i ) .
()
(l ) ()
Волновая функция задачи рассеяния i   kil i   S ji  k jl  j
ki ki 0  0 , S
i ( ki  ki 0 ) 
bi
1
(l )
ji
C ji

, C ji  v j Aj bi ,
k1  k10
0
vj
ki  ki 0   i ,  i   j
vi
j
Условие непрерывности
2

i
*
*

dV


j
d
S









i
k jl
k jl
k jl
k j l dS



t
j 2 j


R

i  * d
d * 
1
2
i dV  
  k jl  k jl   k jl  k jl  , i  i

t 0
dr
dr
bi
rR
j 2 j 
l

2kiki 2 2 i i

(

1
)
 1  iri i iri 
2
2
 j rj i j rj

i 
i 
i ,  k jl   A j e
  ij
e
t
i
i
bi vi


*




A
A
i  * d
d * 
l 1 i
i
i



  kil  kil   k jl  kil   i (1)
*

2 i 
dr
dr
i  ( vi bi )
vi bi 
r R
vi
2 1 i  Ai
Ai* 
l 1 *


i dr  i (1)

, bi  i (1) Ai
,
*



i 0
i  ( vi bi )
vi bi 
v1
v j vi
(l )
l 1 *
C ji  i (1) Ai A j
v1
2 i i
R
2
l
Формула Брейта - Вигнера
Резонансное рассеяние на квазидискретном уровне
E=E0-i/2 ,   E0.
i (1) l 1 v j vi Ai A j
l 1
i
(

1
)
v j vi Ai A j
(l )
S ji ( k1  k10 ) 

,

v1 k1  k10 
E  E0  i
2
i ( i  j )
2 i i
ie
 j i
(e  1)
2
(l )
f ji   ij

, i  vi Ai - поток

2iki

2i ki k j  E  E0  i 
частиц сорта i
2

Условие унитарности Im{ f }   k j f
(l )
ii
j
(l ) 2
ji
,    i
i
i=vi|Ai|2 - парциальная ширина,  = i i - полная ширина.
i  j
 (2l  1)
(l )
(l ) 2
(l )
 e  4 2l  1 f ii ,  rj 
2
ki2

( E  E0 ) 2   
2
Рассеяние через образование промежуточного
квазистационарного состояния, прямое рассеяние





  e i e sin  
e2
 (2l  1) 
2
e
i
e 

4
Re

  4 sin  e ,
2
2
i 
ki
 E  E 2  


E

E



0
0


2


4
r 
 (2l  1)
k
2
i
e r
E  E0 2  
2
, r    e , e  i ,  e   i
4
Сечение образования промежуточного квазистационарного состояния
в пренебрежении каналом прямого потенциального рассеяния
t 
 (2l  1)
ki2
e 
e
ri
,  e   t ,  ri   t .
2



2
 E  E0  
4
Резонансы формы
Пример: Неупругое резонансное рассеяние с возбуждением мишени
2
w  2   f V i  ( E f  Ei ) df ,
E

i   k (r )0 (ra ),  f   k ' (r ) nm (ra ).
i l e i l
i  4 (2l  1)
2k
w
 (2l  1)
k
2
V
v
( E  E0 ) 2 
v
2
n
2   f V 0  ( E f  Ei ) df ,
2
r  2   f V 0  ( E f  Ei ) df , r  e  ,
w (2l  1)
r  
v
k2
r
m
 0 (r ) 0 (ra ),
2

( E  E0 ) 
4
2

4
2
E’
r
, r e
2


2
( E  E0 ) 
4
Резонансы Фешбаха
Пример: Резонансное рассеяние с образованием автоионизационного
состояния.
E
Ea
V
E
m
Ea
V
E
m
+
Ea
V
Автоионизационная
e  a  2
ширина
Неупругая ширина r  2


2
E
 0 V  a  nm  ( E  Ea  Enm ) dE ,
2
a
 f V  a  nm  ( E f  Ea  Enm ) df ,
Сечение резонансного рассеяния  e 
 att
m
n
n
n
Сечение захвата
E
 (2l  1)
a2
.

 E  E0  
4
a r
 (2l  1)

,   a  r .
2
2
k
E  E0 2  
4
k
2
i
2
2
Оптическая модель рассеяния
Большое число плотно расположенных резонансов
Усредненные сечения, l=0  t 

opt
e


k
2
i
2
Sii  1 , 
opt
a
 t 
Усреднение S матрицы,  << D.

k
2
i
opt
e
(1  2 Re Sii ),


k
2
i
2
(1  Sii ).



 2 i
ie
1  e e 2i e ,
(l )
(l )
e
Sii  1 
e
,
S




ii

D 

 E  E0  i 

2
 2e
opt
Принцип детального равновесия:
a  2
.
ki D
 ji pi2  ij p 2j
4p

 aopt   0  2 , 2 2  2 2   ij v j  j  I ij ,   m(2 ) 3 , w  v,
ki
2
2
e
2

2

opt
2 e
 a  2 wd   2
1
ki
ki D
D
Пороговые явления
E  i, Ti= E - i  0
Пример: i=1,2; E  , T2  0, k2R << 1
Волновая функция задачи рассеяния частицы 1
(l ) ()
1   k(1l ) 1  S11( l ) k(1l ) 1  S21
 k2l  2
Условие сшивания при r=R
 k( l) (r2  R) 
2
S 
(l )
21

(l )
21

1 e
v2
r2
(r2  R)  
()
k2l

2
1
k
l
i ( k2r2  )
2
(int)
2 ,l
 (2l  1) S
, S
(l ) 2
21
Ylm (ni ),  k(2l ) (r2  R) 
(l )
21
k
1
k
l 1/ 2
2
1
 ()
 k 2l 1/ 2 ,
 k2l (r2  R)
2 l 1
2
, 
l
 21  v2 ,  12  1/ v2 - закон 1/v
(l )
12
k12 ( l )
 2  21  k 22 l 1 ,
k2
, k2 R  1,
Закон 1/v и теория возмущений
2
 21 
v1

k2 V k1
2
k2 V k1
v1
2
 12 
v2

2
2
 k 22
k12  dk 23




3
2 1  (2 )
 22
4k 2  2
 v 2  2 E    /  2 ,
3
(2 )
k1 V k2
2
 k 22
k12  dk13


 1 / v2

3
2 1  (2 )
 22
 t   22   12
Волновая функция ψ(+) в классически недоступной области r < ρ = l/k
l

1 i ( kr  2 )
1
()
()
 kl (r   ) 
e
,  kl (r   ) 
e r
v
v (r )


1
er
v (r )
( l 1/ 2 ) 2
2 m(
 E )dr
2 mr 2

1 
 
v (r )  r 
l
1
2

1
k l 1/ 2
k ( r ) dr

Пороговое поведение сечения рождения заряженных частиц.
1. Притяжение, qxqy < 0, отсутствие потенциального барьера
l2 < |qxqy|mR
qx q y
l
i
(
kr

ln( 2 kr ) )
1
v
2
 kl(  ) (r  R) 
e
 1/ v ,  kl(  ) (r  R)  const
v
2
1
k
(l )
(l )
S 21( l )  (  )
 const ,  21
 const ,  12( l )  12  21
 v22
 k2l (r2  R)
k2
2. Отталкивание, qxqy > 0, отсутствие потенциального барьера
l2 < |qxqy|mR
Волновая функция ψ(+) в классически недоступной области qxqy/r > (E - 2)
l
qx q y
ln( 2 kr ) )
1
()
v
2
 kl (r  r0  qx q y / E ) 
e
 1/ v ,
v
r0
qx q y
r0
2
m
(
 E )dr

 k ( r ) dr
r
1
1
1
()
r
r
 kl (r  r0 ) 
e

e

e
v (r )
v (r )
v (r )
i ( kr 
S
(l )
21
1
 ()
e
 k2l (r2  R)

qx q y
v2
, 
(l )
21
e

2qx q y
v2
, 
(l )
12
2
1
2
2
qx q y
2E / m
e
k (l )
  21  v22 e
k

qx q y
v
,
2qx q y
v2
Поведение упругого сечения вблизи порога E  2
1. E  2
S
(l )
21
(l )
11
S
k
e
l 1/ 2
2
2 i l( 0 )
,
(l )
11
S
 1 S
(l ) 2
21
1
 1  Ak22 l 1 ,
2
A  0,
1  1 Ak 2 l 1 , Im{ ( 0 ) }  0.


2
l
 2

2. E  2
1 2 l 1 

(l )
(0)
2 ( l 1)
S e
1

Ak
,
S

1
,
Im{

}

O
(
k
),


2
11
l
2
 2

 l( 0 ) ( k 2 )   l( 0 ) (0)  ak 22  ...   l( 0 ) (0)   l ,
(l )
11
2 i l( 0 )
1

S  e 1  Ak2 , S11( l )  e 2i l ,
 2

A 2  2 ( E   ) 2 i 0
Ak2 2i 0
f11 ( , E )  f11 ( ,  ) 
e
 f11 ( ,  ) 
e
4ik1
4ik1
(0)
11
2 i 0
Дифференциальное сечение рассеяния
2
2
A 2 2 ( E  )
d e
 f11 ( , E )  f11 ( , ) 
Im{ f11 ( , )e 2i 0 },E  2,
d
2k1
2
2
A 22 (   E )
d e
 f11 ( , E )  f11 ( , ) 
Re{ f11 ( , )e 2i 0 },E  2
d
2k1
sin(20-) E  2
A 22 E  
2
2
d e
 f e ( , E )  f e ( ,  ) 
f e ( ,  ) 
d
2k1
cos(20-) E  2
{
f e ( ,  )  f e ( ,  ) e i
Полное сечение рассеяния
 e ( E )   e ()  2A 22 E   
sin2(0) E  2,
{
cos(20)/2 E  2.
Взаимодействие в конечном состоянии при реакциях
Резонанс при рождении медленных частиц
2
 21 
v1
 k 22
k12  dk 23
 k2 V k1   22    21  (2 )3 
ik2r2
2 4k 
2
1
e
i
k
r
2 2
2 2
k2 V k1
,


e

,
k2
3
v1
(2 )
  ik 2 r
2
k2
E
2
 21  2

,  
2
k2  
E
22
Список вопросов по курсу Квантовая Теория Рассеяния.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Классический и квантовый подходы к задаче рассеяния. Оценка полного сечения рассеяния для потенциалов
спадающих быстрее, чем кулоновский.
Разложение волновой функции движения частицы в поле рассеивающего центра по парциальным волнам.
Фазовая теория рассеяния. Разложение амплитуды рассеяния по парциальным волнам.
Сечение рассеяния. Полное, дифференциальное и парциальные сечения рассеяния.
Условие унитарности для рассеяния. Оптическая теорема.
Рассеяние быстрых частиц. Фазы и амплитуды рассеяния в приближении ВКБ.
Дифференциальное и полное сечение рассеяние быстрых частиц в приближении эйконала. Примеры.
Рассеяние медленных частиц. Поведение фаз, амплитуд и сечений рассеяния при малых энергиях.
Резонансное рассеяние медленных частиц на короткодействующем потенциале. Длина рассеяния и
эффективный радиус взаимодействия. Рассеяние на реальном и виртуальном резонансном уровне. Примеры.
Резонансное рассеяние медленных частиц с отличным от нуля орбитальным моментом. Зависимость ширины
резонанса от орбитального момента и энергии квазидискретного уровня. Примеры.
Резерфордовское рассеяние.
Аналитические свойства матрицы рассеяния.
Полюса матрицы рассеяния.
Свойства вычетов матрицы рассеяния.
Теорема Левинсона..
Квазистационарные состояния.
Волновая функция задачи рассеяния вблизи квазистационарного состояния.
Вероятности физических процессов, протекающих через образование квазистационарного состояния.
Примеры.
Многоканальное рассеяние. S-матрица, амплитуды и сечения рассеяния.
Аналитические свойства матрицы многоканального рассеяния.
Оптическая теорема и унитарность матрицы рассеяния.
Теорема взаимности. Принцип детального равновесия.
Полюса и другие особенности многоканальной матрицы рассеяния.
Свойства вычетов многоканальной матрицы рассеяния.
Формула Брейта-Вигнера.
Пороговые особенности сечений упругих и неупругих каналов рассеяния.
Поведение сечений вблизи порога в случае рождения заряженных частиц.
Взаимодействие в конечном состоянии при реакциях.