Лекция 12: Расчет сооружений дискретным методом

Лекция 12
РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ
ДИСКРЕТНЫМ МЕТОДОМ
1. Континуальный и дискретный подходы в механике
В механике существуют два разных взгляда на объект
исследования: континуальный и дискретный подходы.
Континуальный подход (по-латыни continuum – непрерывный,
сплошной) основан на рассмотрении сооружения как непрерывной
системы, состоящей из бесконечного числа элементов.
Такой подход позволяет определять напряженно-деформированное
состояние (НДС) системы во всех ее точках. Однако для этого
необходимо составлять и решать системы дифференциальных
уравнений в частных производных.
Например, в теории упругости составляется система уравнений,
состоящая из уравнений равновесия, совместности деформаций и
физических уравнений.
Дискретный подход (по-латыни discretus – прерывистый,
состоящий из отдельных частей) основан на изучении НДС
сооружения только в отдельных точках.
Количество и место этих точек устанавливается расчетчиком.
При дискретном подходе рассматриваются элементы расчетной
схемы конечного размера (например, отдельные стержни) и изучаются
условия равновесия, внутренние усилия, деформации и перемещения
лишь отдельных точек системы.
Такой подход приводит к уравнениям – аналогам уравнений
континуального подхода. Но эти уравнения бывают алгебраическими,
и поэтому более простыми для решения.
В последние годы дискретные методы расчета сооружений начали
широко применяться. Их преимущество состоит в матричном
представлении статических, геометрических и физических свойств
сооружения, проведении расчета различных по форме и сложности
сооружений по единым методикам и алгоритмам на компьютере.
Общая схема
расчета сооружений дискретным методом
2. Дискретная модель стержневой системы
Выбор дискретной расчетной модели стержневой системы
начинается с разбиения расчетной схемы на элементы − на стержни
постоянного сечения. В плоской стержневой системе эти элементы
могут соединяться в шарнирном или жестком узлах:
u2
u2
u1
u1
u3
шарнирный узел
жесткий узел
Здесь u1, u2, u3 – независимые перемещения узла (u1, u2 –
линейные перемещения, u3 – угловое перемещение). У шарнирного
узла число независимых перемещений равно двум, а у жесткого –
трем. Они называются степенями свободы узла.
Общее число степеней свободы дискретной модели определяется
суммой чисел степеней свободы отдельных узлов. Если обозначить
его через n, а все перемещения узлов пронумеровать рядом
натуральных чисел от 1 до n и объединить в единый вектор, получим
u   u1 u2
un.
Он называется вектором перемещений дискретной модели.
Если в расчетной схеме имеются стержни переменного сечения, их
следует представить в виде нескольких стержней постоянного
сечения, а в места скачков сечения необходимо вводить узлы.
В системах с криволинейными стержнями (в арках, кольцах и др.)
криволинейные элементы следует заменить ломаной фигурой –
многоугольником.
В дискретном методе нагрузка может быть приложена только в узлах.
Однако в расчетной схеме нагрузка может быть и распределенной, и
приложенной в виде сосредоточенных сил в точках, не совпадающих с
узлами. Такие нагрузки следует переносить в соседние узлы как
узловые силы Pi, действующие в направлении степеней свободы
дискретной модели ui. В результате этого формируется вектор
внешней нагрузки
P   P1
P2
Pn .
Внутренние усилия и деформации, которые требуется определить,
также собираются в отдельные вектора
S   S1 S2
Δ   Δ1 Δ2
Sm  ,
Δm,
где S – вектор усилий, Δ – вектор деформаций, m – число усилий.
Внешнюю нагрузку в узлы можно переносить по-разному.
В качестве примера рассмотрим три варианта переноса
распределенной нагрузки q, действующей на балку, в узел расчетной
модели, введенной в середине этой балки:
а) Статически эквивалентный перенос
Поделим балку на два участка, а распределенную в них нагрузку
учтем как давления ql/4 на концы участков балки. Объединив две
силы в середине балки, получим статически эквивалентную нагрузку,
приложенную в середине балки:
l
l
l
P  q  q  q  0,5ql .
4
4
2
б) Перенос с сохранением энергии
Решение этой задачи подробно рассматривать не будем. Отметим
только,
что
для
этого
необходимо
приравнять
энергии
рассматриваемой балки и балки с сосредоточенной силой. В этом
случае получается «точный» результат:
P
2ql

 0,637 ql .
в) Перенос по таблице метода перемещений
Для этого следует исключить перемещения узла введением
дополнительных связей и по таблице метода перемещений определить
возникающие реакции во введенных связях. Если эти реакции сложить
и приложить в обратном направлении, получим величину
эквивалентной нагрузки:
P
5
5
5
ql  ql  ql  0,625 ql .
16
16
8
Теперь сравним три варианта расчета:
• вариант б дает точный результат, но он сложен для реализации;
• вариант а наиболее прост, но дает неточный результат;
• поэтому в дальнейшем будем пользоваться вариантом в.
В качестве примера рассмотрим раму и ее расчетную модель.
Для переноса нагрузок P и q в двух элементах рамы в узлы
расчетной модели воспользуемся таблицей метода перемещений:
3. Уравнения дискретного метода.
Уравнение равновесия
Система уравнений, составляемая в дискретном методе,
называется полной системой уравнений строительной
механики. В нее входят три уравнения – уравнение равновесия
(статики), геометрическое уравнение и физическое уравнение.
Составление уравнения равновесия основано на следующем
рассуждении. Если сооружение находится в равновесии, то ее
дискретная модель также находится в равновесии. Следовательно, и
отдельные элементы и узлы дискретной модели тоже находятся в
равновесии.
В качестве примера рассмотрим ферму:
Выделим
два
элемента
(стержня) фермы и введем три
узла.
Тогда,
получим
дискретную модель фермы:
Тогда, вырезая узел 1, можно составить два уравнения равновесия
узла как суммы проекций всех сил на направления перемещений
узла u1 и u2:
1
2
u


N
cos


N
cos  P1  0 ,
1
u2   N1sin  N 2sin  P2  0 .
Представим эти уравнения в матричной форме:
 cos
  sin

cos   N 1   P1  0 
  .
 2  


 sin   N    P2  0 
Обозначим входящие сюда матрицы и вектора как:
 cos
A
  sin
cos  − матрица
 sin  равновесия
 P1  − вектор
P
 нагрузки

P
 2
 N 1  − вектор
S    усилий
 N 2 
0 
0    − нуль-вектор
0 
Тогда получим матричное уравнение
AS P  0
− уравнение равновесия
По матрице A можно установить некоторые особенности
расчетной модели.
Возможны три случая.
1. n = m (A – квадратная матрица размерности nxn). Если
определитель матрицы A не равняется нулю (detA0), расчетная
модель сооружения статически определима и геометрически
неизменяема.
В
этом
случае
усилия
определяются
непосредственно из уравнения:
S   A 1 P .
Рассмотренная нами ферма является именно такой (n=m=2).
2. n m. В этом случае система статически неопределима, а число
m–n определяет степень ее статической неопределимости. Если ранг
матрицы A равняется n, то такая система геометрически
неизменяема.
3. n m. Такая система геометрически изменяема.