Лекции 7 ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В КОСМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЕ

Лекции 7
ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
И ВОЛНЫ В
КОСМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЕ
Тензор диэлектрической проницаемости
однородной магнитоактивной плазмы
f e
f
1
 f
 t  V r  m (E  c [V , B  B 0 ]) V  0


1 B

div E  4e
rotE   c t

1 E 4

div B  0
rotB  c t  c j

j   e  Vf dV
  e   e  f dV



f (r, V, t )  f (V)  f1 (r, V, t ),
f1  f 0
e
f 0
f 0
[V, B 0 ]
  B
 0,
m c
V

Ео =0, Vo=0
fα0 = fα0 (VII, V┴)
Е, V, В, fα1 можно представить в виде
разложения по плоским волнам: exp{i(ωtkr)}
В силу линейности уравнений
ji   ij , k E j

(i,j = 1, 2 ,3)
Тензор σijα(ω,k) называется тензором проводимости.
D - электрическая индукция
D
E
 4j 
,
t
t
D  E  4ij / 
Для монохроматической волны малой амплитуды
Di = εij(ω,k)Ej
εij(ω,k) – тензор диэлектрической проницаемости плазмы
 ij   ij  


4ij

,
δij – единичный тензор
Показатель преломления - N = ck/ω
 2  ki k j


 ij (k ,  ) E j   N  2   ij    ij  E j  0.

  k

(*)
Уравнение (*) определяет собственные векторы,
описывающие собственные колебания плазмы. Условие
разрешимости однородной системы линейных
алгебраических уравнений (*) для Ej представляет собой
дисперсионное уравнение для электромагнитных волн в
анизотропной среде
  det |  ij (k ,  ) | 0.
(**)
Если решается задача о распространении волн определённой
частоты, то (**) определяет k(ω). Если решается задача о
собственных колебаниях плазменной системы, то k
считается заданным и (**) определяет ω(k).
ω = Reω + iImω, Re ω = ωr - частота колебаний,
Imω = γ - декремент затухания (нарастания) волны.
При ω>>γ вывод о наличии поглощающих свойств среды
можно сделать без решения дисперсионного уравнения,
используя общий вид тензора εij.
 ij   ij  i ij ,


i ij  0,5  ij   ij* ,
 ij  0,5 ij   ij* 
Энергия почти периодической волны, поглощаемой в
единицу времени средой
1  "
(Re j Re E) 
 ij ( , k ) Ei E *j ,
2 4
поглощающие (или излучающие) свойства среды
определяются видом антиэрмитовой части тензора
диэлектрической проницаемости
В слабо поглощающей среде
ImΛ << ReΛ
 ij   ij
Приближённое решение уравнения можно искать в виде
ω = ωr + iγ, где ωr - вещественные корни уравнения
ReΛ(ωr,k) = 0
Im (r , k )
 (k )  
 Re (r , k ) / 
ωr → ω
Im ( , k )
Im k ( )  
 Re ( , k ) / k
Для монохроматической волны
B
c

[k , E],
1
1
V
[V, B]   E(k , V )  (k , E)
c


f 1
e
i

(  kV) f 1 
  B
m  Ba
  kV    kIIVII  kV cos ,
k = (k┴,0,kII)
f 1 
e
m  B
exp{
  kV  V (kE)  f 0
.

E1 

 
  V
 
i
 B
[( k IIVII   )  k V sin  ]} 
  kV  V (kE)  f 0
i
  E1 

exp{

[( k II VII   ) ' k V sin  ' ]}d ' ,


c
 
  V
 B
 

fα1(φ + 2π) = fα1(φ)
Замена переменной φ = φ – τ
f 1 

c 
0
e
m  B
i
e
k V
 B
sin

ikV
  kV  V (kE)  f 0  B
e

E1 

 
  V
 
 sin(  ) 
i
 B
( k II VII  )
Множитель перед экспонентой в подынтегральном
выражении содержит сумму
... cos(φ - τ) + ... sin(φ - τ) и является периодической
функцией φ , поэтому для того, чтобы fα1, было
периодической по φ, достаточно, чтобы пределы
интегрирования не зависели от с, т.е.
c → ∞.
d
f 1 
e
m B

e
i
 B
k II V II    k V sin 


  kV  V (kE)  f 0  B k II V II   ' k V sin '
  E1 
e
d '


 
  V
 
i
exp i sin   

 J  exp( in ),
n  
n

sin  exp i sin    i  J   exp( in ),
n  

cos  exp i sin    i 
n  
J n  
n

  k V /  B
J n  exp( in ),
- функция Бесселя
J n  dJ n / d

ie
a(n)E exp( in  )
f 1  
exp  i sin   
m
n     k II VII  n B
 k IIV f 0  k IIVII
a x ( n)  
 1 

  VII 
 f 0  n
J n ( )


 V  
 k IIV f 0  k IIVII
a y ( n)  
 1 

  VII 
 f 0  
iJ   


 V 
 k IIVII f 0 kVII f 0  n
f 0
 J n ( )
a z ( n) 
J n ( )  

VII
 VII  
  V
  k II V II  n B
n  0,1,...
n0
- черенковский резонанс,
n 0
- циклотронный резонанс.
При n>0 имеет место нормальный доплер-эффект,
при n<0 - аномальный доплер-эффект
Тензор диэлектрической
проницаемости однородной
магнитоактивной плазмы
   k IIVII f 0
4e2 
f 0 
 
 ij   ij  
dV
 k II
2 
V
VII 
 m  
 V

 ij( n ) (V )
  k IIVII  n B

VII2 f 0  
dV 
 bib j   f 0 
V V  

b  B0 / B0

n 2B2 2

Jn
2

k

nB
(n)
ij (V )    iV
J n J n
k


nB 2
Jn
 VII
k

iV
nB
k
J n J n
V2 J n2
iVIIV J n J n
nB

VII
J 

k

 iVIIV J n J n 


2 2
VII J n


2
n
В соответствии с правилом Ландау интегрирование
проводится от   до   с обходом особых точек
снизу при k II  0 и сверху при
k II  0 . При этом удобно
использовать символическую запись
1
P

 i (  k IIVII  nB )
  k IIVII  nB   k IIVII  nB
 f 0   k IIVII f 0 
4e2 
 
 ij  i  
dV k II

2 
V
V 
 n   m  
 VII


 ij( n ) (V ) (  k IIVII  nB )dV

2
2
1
a

b
ab
2 2
0 exp(  p t ) J n (at ) J n (bt )tdt  2 p 2 exp(  4 p 2 ) I n ( 2 p 2 )
arg( p )   / 4
z
 ( z )  exp(  z 2 )(1  2 1/ 2i  exp t 2 dt ) - интеграл вероятности
0
Определитель  является довольно сложной
функцией частоты и волнового вектора.
Поэтому число собственных решений –
ветвей колебаний – может быть бесконечно
большим. Однако, подавляющее большинство
ветвей колебаний являются сильно
затухающими. Число типов слабозатухающих
колебаний ограничено, что позволяет
рассматривать отдельные ветви собственных
колебаний.
Затухание волн в плазме (задача Ландау)
Затухание при столкновениях:
 m (Ve  Vi )
Рассмотрим бесстолкновительное затухание при E   B 0  0
f e1
f e1 e
f eo
V


 0,
t
r me
V
  4e  f e1dV
4e 2
 (k ,  )  1 
kme

f 0 V
    kV  0.
(*)
Пусть при t=0 создано начальное возмущение g(V,x).
e f e0
 f k
 t  ikVfk  ik m V  g k (V ) (t ),
e


k 2 k  4e f k dV

Применим преобразование Лапласа:


0
0
f кр (V )   e  pt f k (V , t )dt ,  кр   e  pt k (t )dt ,
f кр
 кр
ig k (V )
k
e f e 0


 кр .
ip  kV ip  kV me V

ig k (V )dV
4e
1
 2
.

k  (k , ip )  ip  kV
 i
1
pt
 k (t ) 
e
 кр dp,

2i  i
  i
  ip
p  i


g k (V )dV 
2e
e
 k (t )  2 

d ,
k  i  (k ,  )    kV 
 i t
Так как интегрирование проводится по всем , строго
говоря, определённой связи  с k не существует. Однако,
если g(V) не имеет особенностей, то асимптотика при
больших t будет определяться нулями (k,), и fk(t) и k(t)
будут пропорциональны exp(ikt), где k определяется
дисперсионным уравнением (*), причём (k,) в
подынтегральном выражении есть заданная в верхней
полуплоскости функция комплексной переменной . Это
означает, что вблизи действительной оси надо заменить
+i, где>0.
1
P

 i (  kV ),
  kV
  kV
4e 2
P f 0
4e 2 f 0
 1
dV  2 i

kme   kV V
k me V
Для
0
V 
k
12
 2T 
 mV 
m
 )
   kVTe (VTe  
f e 0  n0
exp  
2T
 2T 
 me 
02e  3k 2T  4e 2 f 0
  2 i
1  2 1 
0
2 
  me  k me V V 
2
k
 L2   02e  3kT me ,
 L 02e
f 0
L 

2
V
2n0 k
V

k

1
2 2

L  0e
2
k 3VTe2
 3
1

exp    2 2
 2 2k rD

,

 2e me 
1
2
V 

k
 2e me 
1
2
Линейное затухание Ландау существенно только для волн
малой амплитуды с
e
me    L k.
Размешивание частиц по фазовой плоскости.
волна постоянной амплитуды
Волны Ван-Кампена
f1ue  nres k (  kV) exp it  kr 
 p ek k f 0

f1e  
 d res k  (  kV ) expit  kx
  kV me V

4e 2
1
me k

f 0 V
4e
P   kV dV  k 2 k d res  0
Колебания и волны в горячей
магнитоактивной плазме
При Te>>Ti и <<Be существует три слабозатухающие
длинноволновые (krBe<<1) ветви колебаний – альвеновская
(А), быстрая (БМЗ) и медленная (ММЗ) магнитозвуковые.
При k 0 они соответствуют магнитогидродинамическим
альвеновской, быстрой и медленной магнитозвуковым. В
области коротких длин волн ММЗ Bi cos, колебания
альвеновской ветви переходят в незамагниченные ионнозвуковые, а БМЗ ветвь – свистящий атмосферик
При Ti>>Te,   /2 и >>Bi существует ветвь
коротковолновых (krBi>>1) высокочастотных электроннозвуковых колебаний, являющихся продолжением в область
коротких волн (krBi1) альвеновской ветви.
Циклотронные волны или моды Бернштейна