1.3.Элементы теории вероятностей для показателей надёжности.

1.3.Элементы
теории
вероятностей для
показателей
надёжности.
• Событие – всякий факт, который в
результате опыта может произойти
или не произойти.
• Случайная величина – величина,
которая в результате опыта может
принимать то или иное заранее
неизвестное значение.
• Дискретные и непрерывные
величины. Дискретные случайные
величины могут принимать лишь
отделенные друг от друга значения, а
непрерывные заполняют некоторый
промежуток на числовой оси.
• Чтобы сравнивать события по степени их
вероятности, необходимо каждому из них
придать некое число, которое тем
больше, чем вероятнее событие.
• Вероятность события – численная мера
степени объективной возможности
события. Достоверное событие –
вероятность равна 1. Невозможное
событие – вероятность равна 0.
Вероятность любого события лежит в
интервале от 0 до 1.
• Симметричные события – это одинаково
возможные взаимосвязанные события.
• Несколько событий образуют полную
группу событий, если в результате опыта
должно появиться только одно из них.
• Несовместные события в таких опытах
не могут появиться вместе. Например, при
бросании монеты не могут одновременно
выйти и орел и решка.
Суммой событий называют
событие, состоящее в появлении
каждого из событий или обоих
событий вместе, в появлении хотя бы
одного из них. Вероятность суммы
двух событий всегда больше
вероятностей слагаемых событий.
Если события несовместны, то:
Р(А) + Р(В) = Р(А+В).
В общем случае:
Р(А+В) =Р(А) + Р(В) + Р(А/В).

Р(А/В) называют условной
вероятностью события А,
вычисленную при условии, что
имело место событие В. Условие
независимости А от В записывают в
виде:
Р(А/В) = Р(А),
а условие зависимости
неравенством:
Р(А/В)
Р(А).
Произведением двух событий А и В называют
событие, состоящее в совместном выполнении А и
В. Вероятность произведения событий всегда
меньше вероятностей сомножителей. В случае
взаимозависимых событий вероятность
произведения равна произведению вероятностей
одного из них на условную вероятность другого,
вычисленную при условии, что первое произошло:
Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В / А).
Если событие А не зависит от В, то и событие В
не зависит от А:
Р(А) = Р(А / В),
Р(В) = Р(В / А).
Вероятность произведения двух
независимых событий равна
произведению вероятностей этих
событий:
Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В ).
Условной
вероятностью
Р(В/А)=РА(В)
называют
вероятность события В, вычисленную
в предположении, что событие А уже
наступило.
Полная вероятность события А, которое
может произойти
вместе с одним из событий
, образующих полную группу
C1 , C 2 ,... С n
несовместных событий,
определяется:
n
.
Р( А )  Р( С i )  Р( А / С i )
i 1
Вероятность события А вычисляется в этом случае
произведений вероятностей каждого сочетания
событий на их вероятности:
Сi 
Р

 А 
Р ( С i ) Р ( А / С i )
;
 Р( С i )  Р( А / С i )
i 1
( i  1...n ).
Законом распределения
случайной величины называют
соотношение между возможными
значениями случайной величины и
соответствующими им
вероятностями.
Для дискретной случайной величины
закон распределения вероятностей
представляется в виде ряда
распределения (таблицы или
графика):
х1  Р1 ,
х 2  Р2 ,
х i  Р3 ,
х n  Рn .
Для непрерывной случайной величины
такую характеристику построить нельзя.
Здесь бесконечное множество значений
сплошь заполняют промежуток. Поэтому для
непрерывной
случайной
величины
не
существует ряда распределения, в то же
время
различные
области
возможных
значений случайной величины не являются
одинаково вероятными. Поэтому пользуются
не
вероятностями
события
Х=х,
а
вероятностью Х<х, где х – некоторая
текущая переменная.
Вероятность этого события является функцией
от х и называется функцией распределения
случайной величины F(х):
F(х) = Р(Х<х).
Это самая универсальная характеристика
случайной величины. Она может использоваться
как для непрерывных, так и для дискретных
случайных величин. Функция F(х) – функция
неубывающая и имеет крайние значения:
.
F ()  0,
F ()  1
В отдельных точках и особых случаях она может
иметь разрывы.
Первая производная функции распределения
называется плотностью распределения или
плотностью вероятности непрерывной случайной
величины.
Кривая,
изображающая
плотность
распределения – кривая распределения f(х) (рис.
F(x)
3.5).
f(x)
х
a
b
Рис.3.5
.
a
-
Вероятность попадания величины х на отрезок
b
равна площади кривой распределения в этом
интервале
β
Р (α  х  β )   f ( х ) d ( х )
α
И функцию распределения можно выразить
х
через плотность:
.
F ( х) 
.

f ( х)d ( х)
-
Функция
распределения
безразмерна,
а
размерность плотности распределения обратна
размерности самой случайной величины.
При дискретно изменяющейся величине
плотность функции ее распределения
представляется в виде ступенчатой линии,
называемой гистограмма (рис. 3.6).
f(x)
х
Рис. 3.6. Плотность и гистограмма распределения
• Иногда гистограммы строят и для
непрерывных величин.
• Если гистограмма построена на
опытных данных, то можно
провести плавную огибающую,
которая и принимается за
плотность распределения.
Математическое ожидание – это сумма
произведений всех значений случайной
величины на вероятности этих значений:
n
m x  M [ x ]   xi pi
.
i
При увеличении числа опытов частоты
приближаются к соответствующим вероятностям,
а среднеарифметическое значение случайной
величины приближается к ее математическому
.
ожиданию. При непрерывной случайной
величине математическое ожидание:

m x  M [ x ]   x f(x) dx

Дисперсия для дискретных
случайных величин является
мерой рассеивания:
D [ x ]   (xi  m x ) Pi
2
.
i
Для непрерывных величин
вычисляется так: 
2
D [ x ]   (x  mx ) f(x) dx
.

Для наглядной характеристики
рассеяния удобнее величина,
размерность которой совпадает
с размерностью случайной
величины. Для этого из
дисперсии извлекают корень:
σ[ x ]  D [ x ]
- среднеквадратичное отклонение
(стандарт случайной величины)
При испытаниях группы
невосстанавливаемых изделий в
течение фиксированного времени
наработки случайное число
отказавших изделий имеет, как
правило, биноминальное
распределение. Вероятность того,
что m изделий из общего n откажет
в работе определяется через число
сочетаний:
.
m m nm
Pm.n  Cn p q
Вероятность того, что случайная
величина m не превысит
заданного значения m'
m
m
m
n

m
P( m  m )   Cn p q
m 0
.
Значение этой вероятности для
некоторых n и p табулированы и
приведены в справочниках
.
У восстанавливаемого изделия случайное
число отказов в течение фиксированной
наработки имеет чаще всего
распределение Пуассона. Особенно это
проявляется в отказах в период приработки
изделия.
В распределении Пуассона вероятность
того, что случайная величина M (целая и
положительная) примет значение m равна:
1 m a
P (m) 
x!
a e
(m = 0, 1, 2, ….) ,
где a – параметр распределения
.
Общий вид распределения
Пуассона показан на рис. 3.7:
f(x)
х
Рис. 3.7
.
• Нормальное распределение (закон
Гаусса) - это предельный закон, к
которому приближаются все другие
распределения при увеличении числа
испытаний. В частности этому закону
подчиняются ошибки измерений. Время
восстановления ремонтируемых
изделий, как правило также,
распределено по нормальному закону.
Наработка до отказа
невосстанавливаемых изделий и многие
другие случаи могут приближаться к
этому распределению.
Функция нормального
распределения выглядит так:
 
( xa ) 2
1
2σ2
F (x) 
e
dx
,

σ 2 π 
где: a – математическое
2
– ожидание,
дисперсия.
Нормированная и центрированная функция
распределения нормального закона
табулирована:
2
x
 
1
2
F0 (x) 
e
dx

2 π 
.
Плотность вероятности
нормального распределения
равна:
( x a ) 2

1
f(x) 
e
σ 2π
f(x)
2σ2
1
2
.
3
х
Рис. 3.8. Влияние на кривую плотности нормального
распределения величины стандарта σ (σ1 < σ2 < σ3)
Наработка на отказ
невосстанавливаемых изделий часто
подчиняется экспоненциальному
распределению. Для него плотность
вероятности равна:
,
( x)  exp ( x )
где – параметр распределения, а
t
функция распределения
F (t ) 1  e
, где t – наработка.
Вероятность безотказной работы до
 t
момента t равна
:
.
:
P(t )  e
•
Используется такое распределение при
рассмотрении внезапных отказов, когда
явления старения и износа выражены
слабо (2 этап нормальной эксплуатации
жизненного цикла изделия).
Экспоненциальному распределению
подчиняется также наработка
восстанавливаемых изделий между
соседними отказами. Время
восстановления изделий часто
распределено по экспоненциальному
закону. Экспоненциальное
распределение табулировано.
Распределение Вейбулла имеет
наработка на отказ некоторых
невосстанавливаемых изделий
(усталость): b
 t t  
0
F (t )  1  exp  
 
  a  
a, b, t – положительные константы
0
(параметры распределенияt  t 0
При t = 0 – получается
двухпараметрическое распределение
  0 b 
t  


P (t)  1  F (t)  exp 
 a  
 
 
.,
: