ОТЦ М 2 Тема 10 Синтез цепей 21.05.2012 22

Синтез линейных цепей. Слайд 1. Всего 23.
СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Синтез линейных цепей. Слайд 2. Всего 23.
Понятие о физической реализуемости цепей
Синтез электрической цепи заключается в построении цепи, обладающей
заданной реакцией y(t) на некоторое воздействие x(t). Реакция линейной цепи на
произвольное внешнее воздействие однозначно определяется её временными или
частотными характеристиками, следовательно, задача синтеза сводится к
нахождению цепи, обладающей заданными характеристиками. Синтез цепи по её
частотным характеристикам называется синтезом в частотной области, а синтез
цепи по её временным характеристикам называется синтезом во временной
области.
Задача анализа электрической цепи всегда имеет единственное решение.
Решение задачи синтеза, если она имеет решение, как правило, не является
единственным.
Набор допустимых типов элементов называется элементным базисом цепи.
Одна и та же частотная или временная характеристика цепи может оказаться
физически нереализуемой в одном элементном базисе и физически реализуемой в
другом.
Реализуемая цепь может быть представлена в виде двухполюсника, проходного
четырёхполюсника или многополюсника.
Физически реализуемые характеристики цепи должны удовлетворять
условиям, называемым критериями физической реализуемости.
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Синтез линейных цепей. Слайд 3. Всего 23.
Любые операторные характеристики линейных
электрических цепей, не содержащих независимых
источников энергии. В том числе и операторные
входные характеристики, линейных пассивных цепей
могут быть представлены в виде отношения двух
полиномов с вещественными коэффициентами.
N ( p) a n p n  a n1 p n 1  ...  a1 p  a0
H ( p) 

M ( p) bm p m  bm1 p m1  ...  b1 p  b0
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Синтез линейных цепей. Слайд 4. Всего 23.
Необходимое и достаточное условие физической
реализуемости рациональной функции H(p) в
качестве операторной входной функции линейной
пассивной цепи заключается в том, чтобы H(p)
являлась положительной вещественной функцией
комплексной частоты p.
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Синтез линейных цепей. Слайд 5. Всего 23.
Положительной
вещественной
функцией
комплексного переменного р называется функция H(p),
действительная часть которой неотрицательна при
неотрицательных значениях действительной части р:
ReH ( p)  0
при
Re( p)  0
а мнимая часть равна нулю при мнимой части р равной нулю:
ImH ( p)  0 при
Автор Останин Б.П.
Im( p)  0
Конец слайда
Синтез линейных цепей. Слайд 6. Всего 23.
Непосредственно по приведённым выражениям
трудно
определить,
является
ли
заданная
рациональная
функция
H(p)
положительной
вещественной функцией комплексной частоты р ,
поэтому обычно проверяют выполнение следующих
условий, которые полностью вытекают из этих
выражений:
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Синтез линейных цепей. Слайд 7. Всего 23.
1. Все коэффициенты ai и bi полиномов N(p) и M(p)
должны быть вещественны и неотрицательны;
2. Наибольшие и, соответственно, наименьшие степени
полиномов N(p) и M(p) не могут отличаться более чем на
единицу [любой пассивный двухполюсник при р0 и при
р ведёт себя либо как ёмкость ZC(p) = kp-1, либо как
индуктивность ZC(p) = kp, либо как сопротивление kp0].
3. Нули p0i и полюсы pki функции H(p) не могут
располагаться в правой полуплоскости: Re(p0i)  0,
Re(pki)  0 (в противном случае в цепи не выполняются
условия затухания свободных процессов);
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Синтез линейных цепей. Слайд 8. Всего 23.
4. Нули и полюсы функции H(p), расположенные на
мнимой оси, должны быть только простыми
(некратными), причём производные в нулях и вычеты в
полюсах должны быть вещественны и положительны.
Если среди нулей и полюсов функции H(p) имелся бы
хоть один корень pk = jk с кратностью , то этому
корню соответствовала бы нарастающая во времени
свободная составляющая решения
(k )
sСВ
 ( A1  A2 t  ...  A t  1 ) cos  k t
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Синтез линейных цепей. Слайд 9. Всего 23.
5. Вещественная часть функции H(p) должна
быть неотрицательна на мнимой оси: Re[H(p)] 
0 при Re(p) = 0 [при гармоническом воздействии
(р = j) вещественная часть комплексных
входного
сопротивления
или
входной
проводимости линейной пассивной цепи не
может быть отрицательной].
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Синтез линейных цепей. Слайд 10. Всего 23.
Примеры
3p  2
H 1 ( p) 
3p2  p 1
1
H 2 ( p)  2
p  p2
3p2
H 3 ( p)  2
p  p2
p2  4
H 4 ( p)  3
p  9p
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Синтез линейных цепей. Слайд 11. Всего 23.
Все коэффициенты полиномов N(p) и M(p)
вещественны и положительны (условие 1),
наименьшие и наибольшие степени этих
полиномов отличаются на единицу. Все нули р01 =
j2, р02 = -j2 и полюсы рk1 = 0, рk2 = j3 , рk3 = -j3
расположены на мнимой оси и являются
простыми. Производные функции в нулях
dH 4 ( p)
dp
Автор Останин Б.П.
p  j 2
p 4  3 p 2  36

 p 2 ( p 2  9) 2
 0,4
p  j 2
Конец слайда
Синтез линейных цепей. Слайд 12. Всего 23.
а вычиты функции в полюсах вещественны и положительны:
Re s H 4 ( p) p 0
Re s H 4 ( p) p   j 3
p2  4 4


2
3p  9 9
p2  4

3p2  9
,
p  j 3
5

18
Вещественная часть H4(p) на мнимой оси
ReH 4 ( p) p  j
Автор Останин Б.П.
 4 2 
 Re 
0
2 
 j (9   ) 
Конец слайда
Синтез линейных цепей. Слайд 13. Всего 23.
Таким образом, функция H4(p) физически реализуема в
качестве операторной входной характеристики линейной
пассивной цепи.
Анализируя критерии физической реализуемости и
рассматривая приведённые примеры, приходим к выводу,
что если некоторая рациональная функция H(p) относится
к
положительным
вещественным
функциям
и,
следовательно, является физически реализуемой в
качестве операторной входной характеристики линейной
пассивной цепи, то обратная ей функция H-1(p) также
физически реализуема, причём нули функции H(p)
соответствуют полюсам функции H-1(p), и наоборот.
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Синтез линейных цепей. Слайд 14. Всего 23.
Основные этапы синтеза
После проверки физической реализуемости цепи
определяют эквивалентную схему цепи и параметры её
элементов. Переход от идеализированной (эквивалентной)
цепи к реальной составляет задачу технической реализации.
Процесс синтеза, как правило, совмещают с процессом
оптимизации цепи по какому-либо критерию. Такими
критериями могут быть минимальное число элементов
реализуемой цепи; минимальное число элементов какоголибо типа, например индуктивностей; минимальное
значение параметров каких-либо элементов и др.
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Синтез линейных цепей. Слайд 15. Всего 23.
Реализация реактивных двухполюсников
Метод выделения простейших составляющих (метод Фостера)
Метод Фостера основан на представлении заданной
реализуемой функции Н(р) в виде суммы простейших функций:
физически
H ( p)  H1 ( p)  H 2 ( p)  ...H i ( p)  ...H n ( p)
каждую из которых можно рассматривать как операторную входную
характеристику некоторого элементарного одно или двухэлементного
двухполюсника. Если функция Н(р) представляет собой операторное входное
сопротивление, то искомая цепь может быть реализована в виде
последовательного
соединения
элементарных
двухполюсников,
соответствующих каждой из простейших функций Hi(p). Если функция Н(р)
представляет собой операторное входную проводимость, то искомая цепь может
быть реализована в виде параллельного соединения элементарных
двухполюсников, соответствующих каждой из простейших функций Hi(p).
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Синтез линейных цепей. Слайд 16. Всего 23.
Метод Фостера применим для реализации положительных вещественных
функций, нули и полюсы которых расположены только на мнимой оси и
отрицательной вещественной полуоси. Этому ограничению удовлетворяют
операторные входные функции реактивных, безиндуктивных и безъёмкостных
двухполюсников, а также операторные входные функции некоторых RLCцепей.
Синтез реактивных двухполюсников
Пусть реактансная функция
N ( p)
Z ( p) 
M ( p)
должна быть реализована в качестве операторного входного сопротивления
линейной пассивной цепи. Разложим функцию Z(p) на простейшие дроби
0
2 i p
Z ( p)    p 
 2
p i 1 p  i2
Автор Останин Б.П.
N
Конец слайда
Синтез линейных цепей. Слайд 17. Всего 23.
0
2 i p
Z ( p)    p 
 2
p i 1 p  i2
N
N – число пар комплексно-сопряжённых полюсов функции Z(p),
 , 0 , i – постоянные действительные положительные коэффициенты,
причём является целой частью функции Z(p):
Z ( p)
p 
p
   lim
0 определяется как вычет функции Z(p) в полюсе р = 0:

N ( p) 

 dM ( p) / dp  p 0
 0  Re s Z ( p)  
p 0
i - как вычеты функции Z(p) в полюсах pi   ji

N ( p) 

dM
(
p
)
/
dp

 p  ji
 i  Re s Z ( p)  
p   ji
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Синтез линейных цепей. Слайд 18. Всего 23.
Очевидно, что первый член разложения можно рассматривать как операторное
входное сопротивление индуктивности
L   
второй член – как операторное входное сопротивление ёмкости
C0 
а каждое из слагаемых вида
1
0
2 i p
Z i ( p)  2
p  i2
- как операторное
входное сопротивление параллельной LC-цепи, составленной из элементов
1
Ci 
2 i
Автор Останин Б.П.
и
Li 
2 i
i2
Конец слайда
Синтез линейных цепей. Слайд 19. Всего 23.
Полученному
разложению
можно
поставить
в
соответствие
двухполюсник, представляющий собой последовательное соединение
индуктивности L ёмкости С0 и N параллельных LC цепей. Схема,
реализующая такое разложение, называется первой канонической схемой
Фостера.
Анализируя различные виды реактансных функций
N ( p)
Z ( p) 
M ( p)
можно прийти к выводу, что первый член разложения не равен нулю, если
функция Z(p) имеет полюс на бесконечности. У таких функций степень
полинома, стоящего в числителе, на единицу выше степени полинома
стоящего в знаменателе. Второй член разложения не равен нулю, если Z(p)
имеет полюс при р = 0. У таких функций множитель р в знаменателе может
быть вынесен за скобки.
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Синтез линейных цепей. Слайд 20. Всего 23.
Следовательно, реактивный двухполюсник,
реализующий заданную функцию Z(p) по первой
канонической схеме Фостера, будет содержать
индуктивность L только в том случае, если
степень полинома N(p) превышает степень
полинома M(p) на единицу, и ёмкость С0 только
тогда, когда в многочлене M(p) множитель р
может быть вынесен за скобки.
L
Автор Останин Б.П.
L1
Li
LN
C1
Ci
CN
C0
Конец слайда
Синтез линейных цепей. Слайд 21. Всего 23.
Пример
Построить
методом
сопротивление которого
Фостера
двухполюсник,
операторное
N ( p)
p2  4
Z ( p) 
 3
M ( p) p  9 p
Данная функция является реоктансной. Непосредственно по виду
функции устанавливаем, что искомый двухполюсник представляет собой
последовательное соединение ёмкости С0 (в знаменателе функции р
выносится за скобки) и параллельной цепи LC (функция Z(p) имеет одну
пару комплексно-сопряжённых полюсов).
Разлагаем функцию Z(p) на простые дроби
0
21 p
Z ( p) 
 2
p p  12
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Синтез линейных цепей. Слайд 22. Всего 23.
0
21 p
Z ( p) 
 2
p p  12

N ( p) 
4

 0,444(4)

 dM ( p) / dp  p 0 9
 0  Re s Z ( p)  
p 0

N ( p) 
5

 0,27778

 dM ( p) / dp  p  j 1 18
1  Re s Z ( p)  
p   j 1
M ( p)  p 3  9 p  p( p 2  9)  0
p2  9  0
p 2  9
p   j1
12  9
Автор Останин Б.П.
Конец слайда
Синтез линейных цепей. Слайд 23. Всего 23.
Определяем
1
 2,25
0,444(4)
Ф
1
1

 1,8
2 1 2  0,27778
Ф
C0 
C1 
L1 
1
0
21
12

2  0,27778

 0,0617 Гн
9
L1
C0
C1
Автор Останин Б.П.
Конец слайда