Лекция № 7 Электрическое поле веществе Алексей Викторович Гуденко 23/10/2014 План лекции 1. 2. 3. 4. 5. Теорема о циркуляции вектора E. Уравнение Пуассона Проводник в электростатическом поле. Электрическое поле в диэлектрике. Граничные условия Демонстрации Поле проводника: распределение зарядов (поля) по поверхности Колесо Франклина и электрический ветер Клетка Фарадея Диполь во внешнем поле В однородном электрическом поле на диполь действует момент сил M = [ℓ F] = q[ℓ E] = [p E], M = - pE sinθ – в электрическом поле диполь ориентируется вдоль вектора напряжённости E Энергия точечного диполя: W = qφ(r +ℓ) + qφ(r) = q (gradφ,ℓ) = - (p,E) В неоднородном поле на диполь действует сила: Fx = qEx(r + ℓ) - qEx(r) = qℓx∂Ex/∂x + qℓy∂Ex/∂y + qℓz∂Ex/∂z = (p,gradEx) F = px∂E/∂x + py∂E/∂y + pz∂E/∂z = (p,grad)E – – Диполь выстраивается вдоль поля p ↑↑ E; Ориентированный вдоль поля диполь втягивается в область более сильного электрического поля. Теорема Гаусса (интегральная форма) Поток вектора E сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, умноженной на 4π: EdS 4q S Теорема Гаусса в дифференциальной форме: divE = 4πρ Теорема Ирншоу – следствие теоремы Гаусса Q -q/4 Q Невозможно создать устойчивую систему только из покоящихся точечных кулоновских зарядов. Теорема Гаусса (дифференциальная форма) divE 4 E x E y E z divE E дивергенция вектора E x y z ( ; ; ) векторный оператор " набла" x y z дивергенция это поток вектора из единичного объёма 1 divE lim EdS V 0 V S в сферически симметричном случае (вектор E направлен радиально и зависит только от r ) : 1 d 2 divE 2 (r E ) r dr Уравнение Пуассона ( ) 4 2 4 уравнение Пуассона 2 2 2 2 2 2 2 оператор Лапласа лапласиан x y z 0 - уравнение Лапласа 4 Пример на уравнение Пуассона (Овчинкин, № 2.5) Распределение потенциала в плоском конденсаторе. Дано: ρ, d, φ(0) =0; φ(d) = φ0 φ(x) = ? Пуассон: д2φ/дx2 = -4πρ; φ(0) = φ0 φ(x) = φ0 + 2πρx/d - 2πρx2 Применение теоремы Гаусса: нить: E = 2ӕ/r плоскость: E = 2πΔq/ΔS = 2πσ шар: E = Qr/R3 = 4/3 πρr, r < R; E = Q/r2, r ≥ R Поле заряженной нити: E.2πr.L = 4πq E = 2q/Lr = 2ӕ/r Поле заряженной плоскости: Ф = Ф1 + Ф2 = EΔS + EΔS = 2EΔS = 4πΔq E = 2πΔq/ΔS = 2πσ Поле равномерно заряженного шара: 1. 2. Вне шара r > R: E 4πr2 = 4πQ E = Q/r2 Внутри шара r < R: E 4πr2 = 4πq(r) = 4πQ(r/R)3 E = Qr/R3 = 4/3 πρr в векторном виде: E = Qr/r3, r > R E = Qr/R3 = 4/3 πρr, r < R Поле однородно заряженного шара ρ E Qr/R3 Q/R2 Q/r2 R r Теорема о циркуляции вектора E Циркуляция вектора E в любом электростатическом поле равна нулю: E d l 0 Касательная составляющая вектора E при переходе через границу непрерывна E 1 E 2 Поле в веществе Под действием внешнего поля вещество поляризуется: возникают индукционные заряды Полное поле – это поле первичных зарядов + поле индукционных зарядов вещества Проводник в электрическом поле: внутри проводника и его полостей поля нет! Проводник – это вещество, способное проводить электрический ток. Ток переносят свободные заряды. В условиях равновесия (ток I = 0) напряжённость поля в проводнике E = 0 – – Объёмная плотность заряда в проводнике ρ = 0. нескомпенсированные заряды распределены по поверхности. Потенциал всех точек проводника φ = const: – проводник – эквипотенциальная область, поверхность проводника – эквипотенциальная поверхность. Поле Е ┴ поверхности; E = 4πσ Электростатическая защита Электрическое поле в диэлектриках В электрическом поле диэлектрик поляризуется – в объёме и на поверхности появляются связанные заряды диэлектрик приобретает дипольный момент. Поляризованность P – дипольный момент единицы объёма P = ∑pi/V Поверхностная плотность поляризационных зарядов σпол = Pn Pn1 – Pn2 = σпол – граничное условие для вектора P Вектор электрической индукции D = E + 4πP Pn dS PdS qпол divP пол divE 4 ( пол ) 4 ( divP) div ( E 4P) 4 divD 4 D E 4P Поляризуемость и диэлектрическая проницаемость Для линейных однородных изотропных диэлектриков P = αE α – поляризуемость D = E + 4πP = (1 + 4πα)E = εE ε = 1 + 4πα – диэлектрическая проницаемость диэлектрика Для вакуума α = 0 ε = 1 Теорема Гаусса для диэлектриков Поток вектора D сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных D зарядов внутри этойDповерхности, умноженной на 4π: n2 n1 DdS 4 q Граничные условия для вектора D: Dn 2 Dn1 4 Для незаряженной поверхности диэлектрика: Dn 2 Dn1 Как измерить D и E -E0 E = E0 D E0=D - - - - - - - - - - - ++++++++++++ ++ В узком цилиндрическом канале E0 = E В коротком цилиндре E0 = D Диэлектрическая проницаемость ртутного пара (Овчинкин № 3.1) Концентрация металлических шариков n Радиус шариков – r ε=? Решение: 1. 2. 3. каждый шарик в поле Е превращается в диполь p = r 3E Вектор поляризации P = np = nr3E = αE α = nr3 – поляризуемость пара D = E + 4πP = (1 + 4πα)E = εE Ответ: ε = 1 + 4πα = 1 + 4πnr3 Соотношения между электрическими единицами СИ и СГСЭ Заряд: 1 Кулон = 1 Кл = 3.109 единиц СГСЭ Потенциал: 1 Вольт = 1 В = 1/300 единиц СГСЭ 1 В = 1 Дж /1 Кл = 107 эрг/3 109 = 1/300 единиц СГСЭ потенциала