ПРОВОДНИКИ

ПРОВОДНИКИ
Напряженность и потенциал поля в проводнике
Поле вблизи проводника
Конденсаторы
Энергия электрического поля
Напряженность и потенциал
электростатического поля в проводнике
В проводниках имеются электрически заряженные
частицы – носители заряда (электроны в металлах, ионы в
электролитах) способные перемещаться по всему объему
проводника под действием внешнего электростатического
поля.
.
При внесении металлического проводника во внешнее
электростатическое поле, электроны проводимости
перемещаются (перераспределяются) до тех пор, пока
всюду внутри проводника поле электронов проводимости и
положительных ионов не скомпенсирует внешнее поле.
В любой точке внутри проводника, находящегося в
электростатическом поле Е = 0; dφ = 0; т. е. φ = const.
 На поверхности проводника напряженность
направлена по нормали к этой поверхности, иначе, под
действием составляющей Eτ, касательной к поверхности,
заряды перемещались бы по проводнику, а это
противоречило бы их статическому распределению.



В состоянии статического равновесия в
проводнике, помещенном в электростатическое
поле имеем:
на поверхности металла появляются заряды
противоположного знака (индуцированные
заряды). Само явление называется
электростатической индукцией;
во всех точках внутри проводникаE  0 , а во всех
точках на поверхности E  En (E  0 ) ;
весь объем проводника, находящегося в
электростатическом поле эквипотенциален.
Действительно, в любой точке внутри проводника,

  El  0
l
следовательно, φ = const.

Поверхность проводника также эквипотенциальна

  E  0.
l


Потенциал проводника в объеме и на поверхности
один и тот же.
Объемная плотность зарядов внутри заряженного
проводника равна нулю в соответствии с теоремой
Остроградского-Гаусса.

divE =
0
   0.

Напряженность поля на поверхности проводника
найдем с помощью теоремы Гаусса для вектора D.
s DdS  q
Dn S  S ,
n
S
äèýëåêòðèê
ï ðî âî äí èê
Dn  ,

0 En    En 
0
Конденсаторы
Электрическая емкость.
При сообщении проводнику заряда, на его
поверхности появляется потенциал φ. Потенциал φ
пропорционален заряду q.
q  C
Коэффициент пропорциональности называют
электроемкостью – физическая величина, численно
равна заряду, который необходимо сообщить
проводнику для того, чтобы изменить его потенциал на
единицу.



Найдем электроемкость уединенного проводника,
имеющего форму шара.
Напряженность поля, созданного проводником,
равна
1 q
E (r ) 

4 0 r
2
.
Воспользуемся связью напряженности и
потенциала, чтобы найти потенциал

 (r )   Er dr
r

Подставим значение напряженности

1
q
 ( R)  
dr.
2
4 0 r
R
1
q
 ( R) 
.
4 0 R

Следовательно
C  4 0 R.


Если к проводнику приблизить какое-либо тело
(другой проводник или диэлектрик) его
электроемкость увеличивается.
Действительно, поднесем к проводнику другое
тело. Потенциал проводника уменьшится
q0




ï ð  ñî á      ñî á .
Соответственно, электроемкость
увеличится
ï åðâî í . óåä.ï ð .
cc

Этот факт лежит в основе работы конденсаторов.
Электроемкость конденсатора определяется
q
q
C
 .
1  2 U
Конденсатор представляет собой систему из двух
проводящих поверхностей (обкладок), которые
располагают таким образом, чтобы электрическое
поле было сосредоточено между обкладками.
Обкладки имеют равные по модулю, но
противоположные по знаку заряды.


Этому условию удовлетворяют две бесконечные
параллельные плоскости (плоский конденсатор),
две концентрические сферы (сферический
конденсатор), два коаксиальных цилиндра
(цилиндрический конденсатор). Рассчитаем их
электроемкости.
Плоский конденсатор.
2
1  2   ( E , dl )
1

Напряженность поля между двумя параллельными
плоскостями была рассчитана ранее

E
.
 0

Подставим
 d
qd
U

,
 0  0  S
2
1  2   ( E , dl )
1
найдем
C
 0  S
d
Сферический конденсатор

Найдем разность потенциалов между обкладками
конденсатора, воспользуемся связью между
напряженностью и потенциалом
2
1  2   ( E , d r ).
1

помощью
Напряженность поля найдем с
теоремы Гаусса
s DdS  q
 D dS  q
r
âí
 0 E (r )  4 r  q
2
1
q
E (r ) 
4 0  r 2

Учли, что между обкладок может находиться
диэлектрик.

Тогда
b
b
1
q
1   2  U   Er dr  
dr
2
4 0  r
a
a
1 1
q ba
U
(  )
4 0 a b
4 0 a  b
q
a b
C  4 0
ba

Если расстояние между обкладками мало по
сравнению с радиусами обкладок, то формула
переходит в формулу для плоского конденсатора.
d
a, b
4 0 R
 0  S
C

d
d
2
Цилиндрический конденсатор

Расчет емкости проведем тем же способом, что и в
случае сферического конденсатора
 Dd S  q
âí
 0 E  2 r  h  q
E
q
2 0 r  h
b
U   Er dr 
a
d
q
b
dr
q
b

ln
2 0  h a r 2 0  h a
2 0  h
C
ln b a
a, b ,
то
ad
d
d
ln
 ln(1  )  .
a
a
a

Если

Приходим к формуле для плоского конденсатора
2 0  h  a  0 S
C

d
d
Энергия электростатического поля
Рассмотрим энергию взаимодействия двух
зарядов, которые в результате кулоновского
взаимодействия совершили перемещения на
dl1 è dl2 . При этом силами поля совершена
работа
A  F dl  F dl  F dl  F dl

12
1
21
2
12
1
12
2
 F12 (dl1  dl2 )  F12 dl .
Работа равна убыли потенциальной энергии
1
1
A  dW12  dW21   (W12  W21 )   (W1  W2 ).
2
2

Обобщая на систему зарядов можно записать для
системы точечных зарядов
1
1
W  Wi   qi i ,
2 i
2 
где i - потенциал, создаваемый всеми
остальными зарядами системы в месте
нахождения заряда qi . Если заряды 1
W
dV .
распределены непрерывно, то

2 V
- потенциал, создаваемый всеми зарядами
системы в элементе объема dV .
Энергия уединенного проводника

Для уединенного проводника
  const.
1
1
 2
W   dV  q  C
2 V
2

Энергия конденсатора

1
1
W      dS     dS 

2S
2S
1
1
1
(q  q )  q(   )  qU
2
2
2
dq
Энергия взаимодействия не только


обкладок между собой, но и
взаимодействия зарядов внутри
каждой обкладки.
Энергия электрического поля


Энергию системы зарядов можно выразить не
только через заряд и потенциал, но и через
характеристику поля – напряженность.
В случае плоского конденсатора
 0 SU
1
CU
W  qU 


2
2
2d
2
2
 0 SU
 0 E
d
V
2
2d
2
2
2

В общем случае для изотропной среды
W 
V
 0 E 2
ED
dV  
dV 
2
2
V
E ( 0 E  P)
0E2
EP
dV  
dV  
dV .
V
2
2
2
V
V

Первое слагаемое – энергия поля в вакууме,
второе слагаемое – энергия, связанная с
поляризацией диэлектрика

Энергия поля распределяется в пространстве с
объемной плотностью
ED
w
2