U 0 - Ставропольский государственный аграрный университет
advertisement
Ставропольский государственный аграрный университет ЛЕКЦИЯ 5 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В RC-ЦЕПИ ПРИ ПОДКЛЮЧЕНИИ ЕЕ К ИСТОЧНИКУ ПОСТОЯННОЙ И ПЕРЕМЕННОЙ ЭДС 1 Ставропольский государственный аграрный университет Рассмотрим переходные процессы в цепи с последовательным соединением резистора R и емкости C. По второму закону Кирхгофа для этой цепи получим: Ri + uC = u. Ток в емкости можно представить в виде: i = CduC/dt. 2 Ставропольский государственный аграрный университет Отсюда, путем не сложных математических преобразований получим: Решение этого дифференциального уравнения для напряжения на емкости также можно представить суммой свободной и установившейся составляющих: uC = uу + uс. 3 Ставропольский государственный аграрный университет Свободную составляющую найдем из решения однородного уравнения (u = 0) в виде: uс = Uept. Подставим это выражение в уравнение и найдем значение p: 4 Ставропольский государственный аграрный университет Выражение: RCp + 1 = 0 представляет собой характеристическое уравнение, которое могло быть получено без подстановки общего выражения для свободной составляющей формальной заменой в однородном дифференциальном уравнении производных от напряжения на емкости на pk, где k - порядок производной. 5 Ставропольский государственный аграрный университет Отсюда общее решение для напряжения на емкости: uC = uу + uс= uу + Ue- t/τ , где U - постоянная интегрирования, определяемая из начальных значений; τ = 1/|p| = RC - постоянная времени переходного процесса. 6 Ставропольский государственный аграрный университет Рассмотрим процесс подключения последовательной R-C цепи к источнику постоянной ЭДС E (рис. 1 а)). В отличие от индуктивности, емкость после накопления заряда может длительное время сохранять его. Поэтому начальное значение напряжения на емкости U0 может быть произвольным и иметь произвольный знак по 7 отношению к ЭДС источника. Ставропольский государственный аграрный университет Установившееся значение напряжения на емкости после замыкания ключа S всегда будет равно E, т.к. на постоянном токе в установившемся режиме: duC/dt = 0 и i = CduC/dt = 0, а uC = u - Ri = E - Ri= E. Поэтому из выражения: uC = uу + uс= uу + Ue- t/τ (1), напряжение на емкости в общем виде будет равно: uC = uу + uс= E + Ue- t/t . (2) 8 Ставропольский государственный аграрный университет Пусть напряжение на емкости до коммутации было uC(0- ) = ± U0 (знак + соответствует полярности напряжения на рис. 1 а) без скобок). Тогда из (2) для момента времени непосредственно после замыкания ключа найдем постоянную U: 9 Ставропольский государственный аграрный университет а затем и выражение для напряжения на емкости в виде: где τ= RC - постоянная времени переходного процесса. Отсюда можно найти ток в цепи и падение напряжения на резисторе: 10 Ставропольский государственный аграрный университет На рис. 1 б)-г) приведены временные диаграммы переходного процесса подключения R-C цепи к источнику постоянной ЭДС для трех вариантов начальных значений напряжения на емкости: 1) E > U0 > 0 ; 2) E < U0 и U0 > 0; 3) U0 < 0 11 Ставропольский государственный аграрный университет Временные диаграммы переходного процесса подключения R-C цепи12 к источнику постоянной ЭДС Ставропольский государственный аграрный университет Во всех случаях напряжение на емкости монотонно по экспоненте изменяется отU0 до E. В то время как ток и напряжение на резисторе в момент коммутации скачкообразно изменяются на величину пропорциональную разности или сумме E и U0, а затем монотонно уменьшаются до нуля. При этом, если E < U0, то ток и падение напряжения на R отрицательны, т.е. происходит разряд емкости. 13 Ставропольский государственный аграрный университет 14 Ставропольский государственный аграрный университет 15 Ставропольский государственный аграрный университет 16 Ставропольский государственный аграрный университет 17 Ставропольский государственный аграрный университет 18 Ставропольский государственный аграрный университет 19 Ставропольский государственный аграрный университет 20 Ставропольский государственный аграрный университет 21 Ставропольский государственный аграрный университет 22 Ставропольский государственный аграрный университет 23 Ставропольский государственный аграрный университет 24 Ставропольский государственный аграрный университет 25 Ставропольский государственный аграрный университет 26
