Контур с током в магнитном поле

КОНТУР С ТОКОМ В ОДНОРОДНОМ
МАГНИТНОМ ПОЛЕ
1 . В и то к с т о к о м в м а г н и тн о м п о л е
2.Работа, совершаемая при
п е р е м е щ е н и и п р о в о д н ик а с т о к о м в
магнитном поле
 Во
многих случаях приходится иметь дело с
замкнутыми токами, размеры которых весьма малы по
сравнению с расстоянием от них до точки наблюдения.
Пример подобных токов мы имеем во всех атомах –
электроны, движущихся по своим замкнутым орбитам.
Вследствие малости атомов такие токи можно
рассматривать как элементарные.
 Рассмотрим такой элементарный круговой виток.
Воспользуемся полученными ранее результатами для
поля, созданного круговым витком с током
B
0
4
Z
2 R 2i
2
 R2

3
2
.
При условии малости радиуса витка имеем
B
pm  S  i,
0 2 R 2 i
4
Z3

pm  iSn,
0 S i
2 Z 3

0 Pm
2 Z 3
B
.
 0 pm
2 z 3
.
 Поведение элементарного витка с током удобно
описывать с помощью магнитного момента
pm  iSn,

n
где
- нормаль к контуру, направление которой
связано с обходом по контуру правилом правого винта.
Магнитный момент витка с
pm
током аналогичен
n
собственному моменту диполя.
i
Сила, действующая на виток
Рассмотрим поведение витка с током в
магнитном поле.
 Сила, действующая на виток с током в магнитном
поле равна

где B - производная вектора 
F  p B ,
m n
B
n
по направлению нормали.
Сравним с диполем
 F  p E  .


l 

Момент сил, действующий на виток



  
Расчет дает N  pm , B - для контура с током в
однородном магнитном поле и для элементарного
контура с током. ( N   p, E  äëÿ äèï î ëÿ).
N  pm  B  sin pm , B .
 Модуль момента сил равен



Если pm   B , то N=0, если



N  p m  B,
pm  B,то


если pm  B , то N=0, но положение равновесия
неустойчивое. Малейшее отклонение от этого
положения приводит к появлению момента сил,
стремящегося отклонить контур от этого положения
еще больше.
Энергия контура с током в магнитном поле
 Для
 того, чтобы увеличить угол между векторами
pm
и

B
,необходимо совершить работу
dA  Nd  pm B sin   d
Эта работа идет на увеличение потенциальной
энергии , которой обладает контур с током в
магнитном поле
dW  pm B sin  d ,
отсюда
Wp   pm B cos   const.
const  0,
то W   pm  B. 

Параллельная ориентация векторов pm и B
соответствует минимуму потенциальной энергии,
т.е. положению устойчивого равновесия. Для
диполя W   p  E.
 Если положить
 Когда контур с током находится во внешнем
магнитном поле, то на отдельные элемента
контура действуют амперовы силы. Поэтому
при перемещении контура эти силы будут
совершать работу. Покажем, что работа,
которую совершают амперовы силы при
элементарном перемещении контура с током
определяется как
A  id
Примечание
 Магнитный поток
dS
d
через элементарную площадку
определяется скалярным произведением ,

 
d  B, dS
где



dS  dS  n
Частный случай: контур с подвижной перемычкой
находится в однородном магнитном поле,
перпендикулярном плоскости контура.
На перемычку действует амперова сила F  ilB
При перемещении перемычки вправо на dx эта
сила совершает положительную работу
A  Fdx  ilBdx  iBdS
A  id 
dx






B
l
F
Полученный результат справедлив при любом
направлении поля.
Разложим вектор B
на три составляющие
B ,B ,B
n l x
Составляющая Bl
параллельна току, поэтому B x
силового действия не оказывает, составляющая
дает силу, действующую перпендикулярно
перемещению, и работы не совершает.
Остается лишь составляющая Bn . Этот случай мы
рассмотрели
A  id 
Любой контур при любом направлении поля
 Разобьем контур мысленно на бесконечно малые
элементы тока и рассмотрим бесконечно малые
перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в
котором перемещается элемент тока, можно считать
однородным. Следовательно для каждого такого
элемента применимо
A  id 

d- вклад в приращение потока через контур от
данного элемента контура. Сложив такие
элементарные работы, опять придем к формуле
A  id 
Чтобы найти работу амперовых сил в случае
конечного перемещения, достаточно взять
интеграл
2
A   id 
1
Это важно!
 Работа совершается амперовыми силами не за
счет энергии внешнего магнитного поля, а за
счет источника Э.Д.С., поддерживающего ток
в контуре.
Пример расчета работы

B
 Рассчитаем работу амперовых сил при повороте
плоского контура с током в магнитном поле


из положения, при котором n  B , в положение,


при котором n  B . Площадь, ограниченная
контуром, - S .
 Если


n  B,
если же


n  B ,
поэтому
то
то
  BS ,
  BS ,
A  iBS   BS   2iBS