Лекция 2 Виток с током

Магнитное поле проводников
с токами
ВИТОК С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРА
ТЕОРЕМА ГАУССА

B
 Во
многих случаях приходится иметь дело с
замкнутыми токами, размеры которых весьма малы по
сравнению с расстоянием от них до точки наблюдения.
Пример подобных токов мы имеем во всех атомах –
электроны, движущихся по своим замкнутым орбитам.
Вследствие малости атомов такие токи можно
рассматривать как элементарные.
 Рассмотрим такой элементарный круговой виток.
Воспользуемся полученными ранее результатами для
поля, созданного круговым витком с током
B
0
4
Z
2 R 2i
2
 R2

3
2
.
При условии малости радиуса витка имеем
B
pm  S  i,
0 2 R 2 i
4
Z3

pm  iSn,
0 S i
2 Z 3

0 Pm
2 Z 3
B
.
 0 pm
2 z 3
.
 Поведение элементарного витка с током удобно
описывать с помощью магнитного момента
pm  iSn,

n
где
- нормаль к контуру, направление которой
связано с обходом по контуру правилом правого винта.
Магнитный момент витка с
pm
током аналогичен
n
собственному моменту диполя.
i
Сила, действующая на диполь во внешнем поле.
 Рассмотрим точечный диполь в электрическом поле.







F  qE  qE  q E  E .
 Так как плечо диполя мало (точечный диполь), то



E
E  E 
l,
l





E
E
F  ql
p
.
l
l


E
Fp
l
Момент сил, действующих на диполь
 Рассмотрим в системе центра масс как ведет себя
диполь в электрическом поле (пара сил).

r

F
q
q

F
O
r

 
 
 


 
 
 
 
M  r , F  r , F  r , qE  r , qE .
 Для достаточно малого плеча диполя


E  E

 
  
 

  
 
M  r  r , qE  ql , E  p, E ,
 

 
M  p, E .
 Этот момент сил стремится развернуть диполь так,
чтобы дипольный момент установился по
направлению внешнего поля. Такое положение диполя
является устойчивым.
Энергия диполя в поле
 Именно в этом положении диполь имеет
минимальную энергию.
W  q  q  q   ,


   
l,
  El ,
l
l
 
    El l  E  l ,
 
 
W  qE  l   p  E
Сила, действующая на виток
Рассмотрим поведение витка с током в
магнитном поле.
 Сила, действующая на виток с током в магнитном
поле равна



B
- производная вектора B
F  p B , где
m n
n
по направлению нормали.
 F  p E  .
Сравним с диполем



l 
Момент сил, действующий на виток



 
 Расчет дает M  pm , B - для контура с током в
однородном магнитном поле и для
элементарного контура с током.
 Модуль момента сил равен

 
M  pm B sin pm , B





B или pm  B,
M

0
.
Если pm 
то


При pm  B, положение равновесия
неустойчивое.
Энергия контура с током в магнитном поле
 Для
 того, чтобы увеличить угол между векторами
pm
и

B
, необходимо совершить работу
A  Md  pm B sin   d .
Эта работа идет на увеличение потенциальной
энергии , которой обладает контур с током в
магнитном поле
dW  pm B sin  d ,
отсюда
W p   p m B cos   const .
const  0,
то W   pm  B. 

Параллельная ориентация векторов pm и B
соответствует минимуму потенциальной энергии,
т.е. положению устойчивого равновесия. Для
диполя W   p  E.
 Если положить
Вихревой характер магнитного поля.
 Магнитное поле так же как и электрическое можно
изображать графически при помощи линий индукции
– это линии, касательные
к которым направлены так

же, как и вектор B в данной точке поля. Подобно
линиям напряженности электрического поля, линии
магнитного поля проводят с такой густотой, чтобы
число линий, пересекающих единицу поверхности,
перпендикулярной к ним было пропорционально
индукции магнитного поля в данном месте. Линии
индукции магнитного поля замкнуты. Поля,
обладающие такими линиями, называются вихревыми.

Теорема о циркуляции вектора B
 Циркуляция вектора

B
по произвольному
 0 на
контуру  равна произведению
алгебраическую сумму токов, охватываемых
контуром  :
 
 Bdl   I .
0
I   Iê

- алгебраическая сумма токов. Ток
считается положительным, если его направление
связано с направлением обхода по контуру правилом
правого винта.




 В дифференциальном виде rotB  0 j .
, B  0 j .

 
Правило токов
Циркуляция вектора магнитной
индукции
Проще всего вычислить этот интеграл в случае прямого
тока
Bdl  BdlB ,
( dl B - проекция вектора dl на направление вектора B.
dlB  R  d

 
0 2 I
0
Bdl   B  Rd 
Rd  
I  d .


B
4 R
2
При обходе по контуру радиальная прямая все время
поворачивается в одном направлении, поэтому  d  2 .
 
 Bd l   0 I .
dl

d
 Если контур не охватывает ток, то радиальная прямая
поворачивается сначала в одном направлении, а потом
в противоположном.
Поэтому
d  0.



dl
B
Магнитное поле кругового тока
Выберем контур Г , проходящим через
произвольную точку внутри проводника и
совпадающим с силовой линией, тогда
r



 




r
0

B  2 r  0
I
B
2a B
B  2 r  0   Ia2  2 rdr
B
0 I
2 a2
I
a2
 r2
 r , r  a.
 Найдем модуль вектора магнитной индукции вне
проводника, выбрав контур по тем же правилам,
проходящим через произвольную точку вне
проводника
 
 



r
  
 



0

S
B  2r  0 I
I
B
2a B
 Bdl    jdS
0 I
B
, r  a.
2r
Магнитное поле соленоида.
Пусть на единицу длины соленоида приходится n
винтов проводника. Если шаг соленоида мал, то
каждый виток соленоида можно приближенно
заменить замкнутым витком.
 
 Bdl  0 I

B  l  0  n  l  I  B  0  n  I
учтено, что вне соленоида B=0 – для бесконечно
длинного соленоида.
Магнитное поле тороида
 
 Bdl  0  Ii

i
B 2r   0  N  I
B
N
 0 NI
2 r
– число витков в тороидальной
катушке
Теорема Остроградского-Гаусса
 Поток вектора магнитной индукции через
произвольную замкнутую поверхность всегда равен
нулю
 
 BdS  0
S
 Эта теорема выражает тот экспериментальный факт,
что магнитные линии не имеют ни начала, ни конца. В
природе отсутствуют магнитные заряды на которых
 бы
начинались и заканчивались линии вектора B
.
Теорема Остроградского-Гаусса
 В дифференциальной форме теорема имеет вид



, B  0
 Магнитное поле порождают не магнитные заряды, а
электрические токи.
КОНТУР С ТОКОМ В ОДНОРОДНОМ
МАГНИТНОМ ПОЛЕ
РАБОТА, СОВЕРШАЕМАЯ
ПРИ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
ПРОВОДНИКА С ТОКОМ В
МАГНИТНОМ ПОЛЕ
 Когда контур с током находится во внешнем
магнитном поле, то на отдельные элемента
контура действуют амперовы силы. Поэтому
при перемещении контура эти силы будут
совершать работу. Покажем, что работа,
которую совершают амперовы силы при
элементарном перемещении контура с током
определяется как
A  id
Примечание
 Магнитный поток
dS
d
через элементарную площадку
определяется скалярным произведением

 
d  B, dS
где



dS  dS  n .
,
Частный случай: контур с подвижной перемычкой, по
которому течет ток, находится в однородном магнитном
поле, перпендикулярном плоскости контура.
На перемычку действует амперова сила F  ilB
При перемещении перемычки вправо на dx эта
сила совершает положительную работу
A  Fdx  ilBdx  iBdS
A  id 
dx






B
l
F
Полученный результат справедлив при любом
направлении поля.
Разложим вектор B
на три составляющие
B ,B ,B
n l x
Составляющая Bl
параллельна току, поэтому
силового действия не оказывает, составляющая B
x
дает силу, действующую перпендикулярно
перемещению, и работы не совершает.
Остается лишь составляющая Bn . Этот случай мы
рассмотрели
A  id 
Любой контур при любом направлении поля
 Разобьем контур мысленно на бесконечно малые
элементы тока и рассмотрим бесконечно малые
перемещения их. В этих условиях магнитное поле, в
котором перемещается элемент тока, можно считать
однородным. Следовательно для каждого такого
элемента применимо
A  id 
 d- вклад в приращение потока через контур от
данного элемента контура. Сложив такие
элементарные работы, опять придем к формуле
A  id 
Чтобы найти работу амперовых сил в случае
конечного перемещения, достаточно взять
интеграл
2
A   id 
1
Это важно!
 Работа совершается амперовыми силами не за
счет энергии внешнего магнитного поля, а за
счет источника Э.Д.С., поддерживающего ток
в контуре.
Пример расчета работы

B
 Рассчитаем работу амперовых сил при повороте
плоского контура с током в магнитном поле


из положения, при котором n  B , в положение,


при котором n  B . Площадь, ограниченная
контуром, - S .
 Если


n  B,
если же


n  B ,
поэтому
то
то
  BS ,
  BS ,
A  iBS   BS   2iBS