Алгебры Ли и группы Ли

Министерство экономического развития и торговли Российской
Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Государственный университет – Высшая школа
экономики
Программа дисциплины
«Алгебры Ли и группы Ли»
Направление: 010100.68 «Математика»
Подготовка: магистр
Форма обучения: очная
Автор программы к.ф-м.н. проф. Шварцман О.В.
Рекомендовано
секцией УМС по математике
Председатель
_____________________________________
«___» ________________________2009 г.
Утверждена УС
факультета математики
Ученый секретарь доцент
Одобрена на заседании
кафедры алгебры
Зав. кафедрой, д. ф.-м. н. профессор
А.Н. Рудаков
«___» ______________________2008 г.
_________________________Ю.М.Бурман
«___» ________________________2008 г.
_______________________
Москва
2008
Программа
«Алгебры Ли и группы Ли». ГУ-ВШЭ, 2009 г.
Рабочая программа дисциплины «Алгебры Ли и группы Ли» [Текст]/Сост. Шварцман
О.В.; ГУ-ВШЭ.–Москва.–2008.–6 с.
Рабочая программа составлена на основе государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки магистров Государственного образовательного стандарта
высшего профессионального образования по направлению 010100 «Математика».
Рабочая программа предназначена для методического обеспечения дисциплины основной
образовательной программы по направлению 010100 «Математика».
Составитель: к. ф.-м. н. проф. Шварцман О.В. ([email protected])
©
©
О.В. Шварцман, 2008.
Государственный университет–Высшая школа экономики, 2008.
2
Программа
«Алгебры Ли и группы Ли». ГУ-ВШЭ, 2009 г.
Цели и задачи изучения дисциплины, ее место в учебном процессе
1.1. Цель изучения дисциплины.
Получение:
-- представления о структуре алгебр Ли классических матричных групп Ли.
-- знания об основных понятиях теории представлений алгебр Ли и групп Ли.
-- умения решать различные конкретные задачи, пользуясь алгебрами Ли.
1.2. Задачи изучения дисциплины:
-- освоение основных понятий и фундаментальных результатов теории групп и алгебр Ли,
-- умение применять алгебры Ли для исследования групп Ли и их представлений,
-- умение применять теорию систем корней в теории полупростых алгебр Ли и их представлений.
1.3. Перечень дисциплин и разделов, знание которых требуется для изучения данной дисциплины:
-- обязательные курсы алгебры ,анализа,топологии и дифференциальных уравнений по
программе бакалавриата
Тематический план учебной дисциплины
№
Название темы
Всего
часов
Аудиторные часы
СамостояСеминарские тельная
Лекции
работа
занятия
1 Группы Ли и функтор Ли
36
7
8
21
2 Основы структурной теории
36
7
8
21
Представления комплексных полупростых алгебр Ли
36
7
8
21
Итого
108
21
24
63
3
3
Программа
«Алгебры Ли и группы Ли». ГУ-ВШЭ, 2009 г.
Базовые учебники
1. Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений.– М.: МЦНМО, 2003.
2. Парамонова И.М., Шейнман О.К. Задачи семинара "Алгебры Ли и их приложения".–
М.: МЦНМО, 2004.
3. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. –М.:
Наука, 1988.
Формы контроля
Текущий контроль – решение задач на семинарских занятиях.
Промежуточный контроль: письменная контрольная работа (90 мин) в I-м модуле.
Итоговый контроль: две письменные экзаменационные работы (180 мин) в I-II
модулях.
Оценка за а) сданные на семинарах задачи З.
б) контрольная работа К.
в) экзамены Э1 и Э2.
ставятся по десятибалльной шкале и пересчитываются в итоговую оценку О по правилу
О=0,2 З + 0,2 К + 0,3 Э1 + 0,3 Э2
Перевод итоговой десятибалльной оценки в пятибалльную осуществляется по правилу:
0  О  3 – неудовлетворительно,
6  О  7– хорошо,
4  О  5 – удовлетворительно,
8  О  10 – отлично.
Содержание программы
Тема 1. Группы Ли и функтор Ли
Группы Ли, их подгруппы и гомоморфизмы. Линейные представления групп Ли. Классические линейные группы Ли. Алгебраические группы. Действия групп Ли. Топология
классических групп Ли. Касательная алгебра группы Ли. Алгебра Ли. Векторные поля на
группе Ли. Экспоненциальное отображение в классических линейных группах. Дифференциал гомоморфизма и дифференциал действия группы Ли. Присоединенное представление. Функтор Ли. Свободные алгебры Ли.Ряд Кэмпбелла-Хаусдорфа.
Основная литература
1. Парамонова И.М., Шейнман О.К. Задачи семинара "Алгебры Ли и их приложения".– М.: МЦНМО, 2004.
2. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. –
М.: Наука, 1988.
3. Серр Ж.П. Алгебры Ли и группы Ли.–М.: Мир, 1969.
Дополнительная литература
1. Постников М.М. Группы и алгебры Ли.– М.: Наука, 1982.
4
Программа
«Алгебры Ли и группы Ли». ГУ-ВШЭ, 2009 г.
Тема 2. Основы структурной теории
Основы структурной теории. Примеры разрешимых групп и алгебр Ли: коммутативные
группы,треугольные группы и алгебры Ли. Примеры нильпотентных групп Ли.Группа
Гейзенберга. Комплексные полупростые алгебры и группы Ли. Конечная система
корней. Корневые разложения и системы корней классических алгебр Ли. Простые корни
и камеры Вейля.Схема Дынкина и матрица Картана. Группа Вейля. Подгруппы и
подалгебры Бореля.
Основная литература
1. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. –
М.: Наука, 1988.
2. Серр Ж.П. Алгебры Ли и группы Ли.– М.: Мир, 1969.
Дополнительная литература.
1. Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений.– М.: МЦНМО,
2003.
Тема 3. Представления комплексных полупростых алгебр Ли
Универсальная обертывающая алгебра(УОА). Определение и конструкция. Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Центр УОА. Правоинвариантные дифференциальные операторы
на группе Ли. Линейные представления SL(2,C). Веса. Неприводимые представления
старшего веса. Формула Вейля для характера. Категория О и модули Верма.
Основная литература
1. Желобенко Д.П. Введение в теорию представлений.–М.:Факториал, 2002.
2. Желобенко Д П Компактные группы ли и их представления.–М.:МЦНМО, 2007.
Дополнительная литература.
Парамонова И.М., Шейнман О.К. Задачи семинара "Алгебры Ли и их приложения".– М.:
МЦНМО, 2004.
5
Программа
«Алгебры Ли и группы Ли». ГУ-ВШЭ, 2009 г.
Образцы заданий по разл ичным формам контроля
Образцы задач контрольной работы
Задача 1. Привести примеры двух различных неабелевых трехмерных алгебр Ли.
Задача 2. Найти все вещественные формы алгебры Ли комплексных матриц второго
порядка со следом 0.
Задача 3. Найти спектр ad A, где А заданная матрица второго порядка.
Задача 4. Найти числа Бетти группы SO(3).
Образец экзаменационной работы
Задача 1. Доказать ,что группы Ли SU(2,C) и Sp(1) изоморфны.
Задача 2. Доказать, что экспоненциальное отображение сюръективно для группы Ли
SO(n,R).
Задача 3. Разложить на неприводимые представление группы GL(V) в пространстве
бивекторов.
Задача 4. Докажите, что все представления алгебры Ли E6 само-котрагредиентны.
Автор программы
профессор
О.В. Шварцман
© О.В. Шварцман
6