Гомологическая алгебра_факультатив_1годx (новое окно)

1
Приложение к приказу первого проректора по учебной и научной работе
от________________№_______________
Правительство Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный университет
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
«Гомологическая алгебра»
«Homological algebra»
Язык обучения
русский
Трудоёмкость (границы трудоёмкости) в зачетных единицах: 1
Регистрационный номер рабочей программы: 2014/ Санкт-Петербург
2014
2
Раздел 1.
1.1.
Характеристики учебных занятий
Цели и задачи учебных занятий
обучение аспирантов ключевым современным аспектам гомологической алгебры;
овладение соответствующим аппаратом на уровне,необходимом для применений в
других разделах алгебры (алгебраическая геометрия, теория представлений
ассоциативных алгебр и алгебр Ли и др.).
1.2.
Требования к подготовленности обучающегося к освоению содержания
учебных занятий (пререквизиты)
Знание курса высшей алгебры и теории чисел, читаемого на 1–2 курсах
университета, весьма желательно знакомство с гомологической алгеброй в объёме
спецкурса «Гомологическая алгебра» для студентов 3-го курса
1.3.
Перечень результатов обучения (learning outcomes)
дисциплина "Гомологическая алгебра" является факультативной, реализуется в
виде специального курса для аспирантов 1 года обучения и служит важным звеном
при подготовке
профессионального математика по профилю "Алгебра".
Освоившей дисциплину аспирант Должен владеть структурной теорией
триангулированных, в т.ч.
производных категорий, симплициальными
конструкциями в гомологической алгебре и основными кольцевыми теориями
когомологий для алгебр.
1.4.
Перечень активных и интерактивных форм учебных занятий
Раздел 2.
2.1.
Организация, структура и содержание учебных занятий
Организация учебных занятий
2.1.1 Основной курс
Трудоёмкость
итоговая аттестация
(сам.раб.)
промежуточная аттестация
(сам.раб.)
текущий контроль (сам.раб.)
сам.раб. с использованием
методических материалов
Самостоятельная работа
итоговая аттестация
под руководством
преподавателя
в присутствии
преподавателя
промежуточная
аттестация
текущий контроль
коллоквиумы
контрольные работы
лабораторные работы
Консультации
практические
занятия
семинары
лекции
Период обучения (модуль)
Контактная работа обучающихся с преподавателем
Объём активных и интерактивных
форм учебных занятий
Трудоёмкость, объёмы учебной работы и наполняемость групп обучающихся
3
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
1год
обучения
ИТОГО
20
16
1
20
16
1
Формы текущего контроля успеваемости, виды промежуточной и итоговой аттестации
Период обучения (модуль)
Формы текущего
контроля
успеваемости
Виды итоговой аттестации
Виды промежуточной
аттестации
(только для программ итоговой
аттестации и дополнительных
образовательных программ)
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
1 год обучения
Зачет
2.2. Структура и содержание учебных занятий
Период обучения (модуль): 1 год обучения
№
п/
п
Наименование темы (раздела, части)
1
Функторы на
категориях
триангулированных
Структура
категорий
триангулированных Лекции
2
3
4
Вид учебных занятий
Количество
часов
Лекции
4
По методическим материалам
4
4
по методическим материалам
6
Производные категории в теории Лекции
алгебр
по методическим материалам
4
Симплициальные методы
4
Лекции
2
4
Когомологии алгебр
5
по методическим материалам
2
Лекции
4
по методическим материалам
2
Лекция 1. Функторы на триангулированных категориях Фильтрованные
триангулированные категории, пределы и копределы в триангулированных
категориях.Конструкция Делиня для производных функторов.
Лекция 2. Функторы на триангулированных категориях. Композиция производных
функторов. Спектральная последовательность Гротендика.
Лекция
3.
Структура
триангулированных
категорий.
t-структуры
на
триангулированных категориях. Функторы срезки, восстановление t-структуры по
половине. Сердцевина, её абелевость. Когомологии t-структуры.
Лекция 4. Структура триангулированных категорий. Локализация Бусфилда.
Ортогональное разложение триангулированной категории.
Лекция 5. Производные категории в теории алгебр. Эквивалентность производных
категорий, эквивалентность различных версий производной категории конечномерной
алгебры. Односторонние наклоняющие комплексы, теорема Рикарда о Морита-теории для
производной категории. Инварианты производной эквивалентности
Лекция 6. Производные категории в теории алгебр. Двусторонние наклоняющие
комплексы. Теорема Келлера о действии на объектах произвольной производной
эквивалентности.
Лекция 7. Симплициальные методы. Соответствие Дольда-Кана. Теорема ЭйленбергаЗильбера.
Лекция
8.
Симплициальные
методы.
резольвенты,канонические резольвенты.
Тройки
Лекция 9. Когомологии Алгебр. Гомологии
Дифференциирования,сепарабельность,расширения.
и
и
котройки
когомологии
.
Бар-
Хохшильда.
Лекция 10. Когомологии Алгебр. Умножение и коумножение. Кольцо когомологий
Хохшильда, его производная инвариантность.
Темы для самостоятельной работы студентов:
1. Пределы и копределы функторов. Категории Гротендика, теорема Митчелла.
2. Гомологические функторы на триангулированных категориях. Теорема Брауна о
представимости.
3. Группы Гротендика производных категорий. Биекция
подкатегориями и подгруппами группы Гротендика.
между
плотными
4. DG-категории, DG-модули.Производная категория DG-категории.Оснащения на
триангулированных категориях.
5. Склейка (рекольман) триангулированных категорий, формализм шести функторов.
5
6. Стабильная категориямодулей.Её связь с производной категорией в случае
самоинъективных алгебр и в случае алгебр конечной размерности.
7. Симплициальные объекты, операции над ними. Симплициальные группы
гомотопий.
8. Циклические когомологии.
Раздел 3.
3.1.
Обеспечение учебных занятий
Методическое обеспечение
3.1.1 Методические указания по освоению дисциплины
Посещение лекций
3.1.2 Методическое обеспечение самостоятельной работы
Основная и дополнительная литература
3.1.3 Методика проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации и критерии оценивания
Методика проведения зачёта
Зачет проводится в устной форме. Билет состоит из двух вопросов. Время
подготовки ответа на вопросы билета составляет 60 минут.
Использование конспектов и учебников, а также электронных устройств хранения,
обработки или передачи информации при подготовке и ответе на вопросы зачета
запрещено. В случае обнаружения факта использования недозволенных материалов
(устройств) составляется акт и аспирант удаляется с экзамена. После ответа на вопросы
билета преподаватель задает несколько дополнительных вопросов, на основании оценки
ответов на которые принимается окончательное решение об успешности сдачи зачета.
3.1.4 Методические материалы для проведения текущего контроля успеваемости и
промежуточной аттестации (контрольно-измерительные материалы, оценочные средства)
Примерный список вопросов к зачету:
1. Теорема Митчелла о вложимости в категорию модулей.
2. Конструкция Делиня для производных функторов в триангулированной категории.
3. Спектральная последовательность Гротендика.
4. Гомологические функторы и гомотопические копределы
5. Теорема Брауна о представимости.
6. t-структуры,функторы срезки, абелевость сердцевины t-струкутры .
7. Когомологии t-структур,морфизмы склейки.
6
8. Локализация Бусфилда
9. Рекольман триангулированных категорий
10. DG-категории и их производные категории. Оснащенные триангулированные
категории.
11. Группа Гротендика производной категории. Классификация плотных подкатегорий
триангулированной категории.
12. Теорема Рикарда об односторонних наклоняющих комплексах
13. Теорема Келлера о двусторонних наклоняющих комплексах
14. Стабильная категория алгебр конечного типа представления.
15. Стабильная категория самоинъективных алгебр.
16. Симплициальные множества и симплициальные гомотопические группы
17. Соответствие Дольда-Кана
18. Теорема Эйленберга-Зильбера.
19. Канонические резольвенты
20. Когомологии Хохшильда. Дифференциирования,сепарабельность. Расширения
21. Умножение и коумножения на (ко)гомологиях. Производная инвариантность кольца
когомологий Хохшильда.
22. Циклические когомологии алгебр.
3.1.5 Методические материалы для оценки обучающимися содержания и качества
учебного процесса
3.2.
Кадровое обеспечение
3.2.1 Образование и (или) квалификация преподавателей и иных лиц, допущенных к
проведению учебных занятий
К чтению лекций должны привлекаться преподаватели, имеющие ученую степень
доктора или кандидата наук (в том числе степень PhD, прошедшую установленную
процедуру признания и установления эквивалентности) и/или ученое звание профессора
или доцента.
3.2.2 Обеспечение учебно-вспомогательным и (или) иным персоналом
Не требуется
3.3.
Материально-техническое обеспечение
3.3.1 Характеристики аудиторий (помещений, мест) для проведения занятий
Стандартно оборудованные лекционные аудитории.
7
3.3.2 Характеристики аудиторного оборудования, в том числе неспециализированного
компьютерного оборудования и программного обеспечения общего пользования
3.3.3 Характеристики специализированного оборудования
3.3.4 Характеристики специализированного программного обеспечения
3.3.5 Перечень и объёмы требуемых расходных материалов
3.4.
Информационное обеспечение
3.4.1 Список обязательной литературы
1. А.Картан, С.Эйленберг. Гомологическая алгебра, М., Изд-во ИЛ, 1960.
2. С.И.Гельфанд, Ю.И.Манин. Методы гомологической алгебры,т.I. М., Наука, 1988.
3. Rotman, Joseph J. An Introduction to Homological Algebra.- SpringerLink (Online
service) Электронный ресурс по подписке СПбГУ:
https://find.library.spbu.ru/vufind/Record/978-0-387-68324-9/Description#tabnav
3.4.2 Список дополнительной литературы
1. В.Keller, Derived categories and their uses , в: the Handbook of algebra, Vol. 1,
edited by M. Hazewinkel, Elsevier 1996.
2. М. Касивара, П. Шапира. Пучки на многообразиях, М., 1997.
3. A.Neeman Triangulated categories, Princeton University Press, 2001.
http://www.mi.ras.ru/~akuznet/homalg/Neeman%20Triangulated%20categories.pdf,
http://hopf.math.purdue.edu/Neeman/triangulatedcats.pdf
3.4.3 Перечень иных информационных источников
Раздел 4. Разработчики программы
1. Антипов Михаил Александрович, к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей алгебры и
теории чисел, e-mail hyperbor@list.ru
2. Генералов Александр Иванович, д.ф.-м.н., профессор кафедры высшей алгебры и
теории чисел.