Свойства арифметического корня ой степени n-

Свойства
арифметического корня
n-ой степени
Корень из произведения
Доказательство:
По определению
арифметического корня
Используя свойство
степени произведения
По определению
арифметического
корня n-й степени.
Следовательно:
корень
из
произведения
неотрицательных множителей равен произведению
корней из этих множителей.
Примеры:
1. Найдем значение выражения
2. Найдем значение выражения
3. Найдем значение выражения
Корень из дроби
Если а ≥ 0 и b > 0, то
n
Доказательство:
а≥о, b>0
 a


n b


n
по определению
арифметического
корня
n
n
n
n
a 0
b 0
 a
 b
n
по свойству возведения в
степень дроби получаем
n
a
=
b
n
n
следовательно
n
n
n
a
.
b
=
a
0
b
a
b
Следовательно: корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню
из числителя, деленному на корень из знаменателя.
Примеры:
1. Упростим выражение:
4
3
10
2
27
4
81
81 3
4

625
625 5
2. Упростим выражение:
3
4
81
625
10 3 64 3 64 4
1
2

3
 1
27
27
3
27 3
Извлечение корня из корня
Если n, k  N и а ≥ 0, то n k a  nk a
Доказательство:
Так как а≥0, то выражения
смысл и неотрицательны.
(
n k
a )  ((
nk
n k
n k
a
и
nk
a
имеют
a ) )  ( a)  a
n k
k
k
Следовательно: по определению арифметического
корня верно равенство
n k
a  nk a
Примеры:
1. Упростим выражение:
3
3
6
6  23 6  6 6
2. Упростим выражение: 3
3
2  32 2  6 2
3. Упростим выражение: 4
4 3
2
3
43
3
12
3
3
3
Основное свойство корня
Если n, k, m  N и а ≥ 0, то
nk
a
mk

n
a
m
Доказательство:
nk
a
mk

n k
a
Используя свойство:
nk
a n
k
a
mk

n k
a  
m
k
Используя свойство о
возведении степени в
степень.
n
a
m
Используя
определение
корня n-й степени.
Следовательно: Показатель корня и показатель
степени подкоренного выражения можно разделить на
одно и то же натуральное число.
Примеры:
1. Упростим выражение:
3
2
2 
3
2 2 
2
2. Упростим выражение:
6
4
7

3 2
4
7

3
2 2
3
3
6
2
7
3
2

74
 3 49
6
3
2

2