Квадратные уравнения с параметром

•Решение квадратных уравнений
Рассмотрим квадратное уравнение
ax  bx  c  0, (a  0)
2
Дискриминант
(1)
D  b  4ac,
корни x1;2   b  D
2a
2
(в случае
D0
)
Если в уравнении или неравенстве коэффициенты
заданы не конкретными числами, а буквами, то эти
буквы называют параметрами.
 Решить квадратное уравнение с параметром –
это значит указать для каждого значения
параметра множество корней квадратного
уравнения.
Пример 1. Решить уравнение: х²+5ах+4а²=0
Решение:
D =25а²-16а²=9а²
Рассмотрим 3 случая : D <0, D =0, D >0 .
1)D<0 : т. к 9а²≥0 при любом а, то уравнение всегда имеет
корни
2)D=0 : т.к. 9а²=0 <=> а=0 =>уравнение имеет один корень
 5а
0
2
Х=
Если, а=0, то х=-2,5
3)D>0: т.к. 9а²>0 <=> а≠0 => уравнение имеет два различных
корня:
х₁=
=-1 ,
х₂=
=
=-4.
Если, а≠0, то х₁=-1, х₂=-4
Ответ: Если а=0, то х=-2,5; Если а≠0, то х₁=-1, х₂=-4.
Закрепление изученного материала
 Решить уравнение:

p·х² + (1-p) ·х – 1=0.
Докажите, что не существует такого значения
параметра p, при котором уравнение
х ²- pх + p -2 = 0 имело бы только один корень.
Домашнее задание:
 Задание №: 1 При каких значениях параметра p
уравнение
х ²- pх+9=0 имеет единственное решение?
 Задание № 2.Докажите ,что при любом значении
параметра p уравнение 3х ² - pх – 2 = 0 имеет два
корня.
Уравнение
x2 
b
c
x 0
a
a
получено из (1) делением на
b
,
a
c
q .
a
x2  px  q  0
(2)
Введем обозначение
Уравнение
a  0.
p
называется приведенным квадратным уравнением.
Теорема Виета
Пусть уравнение
x  px  q  0
2
имеет действительные
решения
Тогда
 x1  x2   p,

 x1  x2  q.
x1, x2 .
Пример 1.
Найти сумму и произведение корней уравнения
3x2  4 x  5  0.
Решение.
1) Проверка: имеет ли уравнение действительные корни?
D  4 2  4  3  (5)  0
Уравнение имеет
действительные корни.
2) Нахождение суммы и произведения корней
уравнения с использованием теоремы Виета.
4
5
x1  x 2   , x1  x 2   .
3
3
Пример 2.
Найти сумму и произведение корней уравнения
2x2  3x  3  0.
Решение.
Проверка: имеет ли уравнение действительные корни?
D  32  4  2  3  0
Уравнение не
Ответ.
имеет действительных корней.
Уравнение не имеет действительных корней.
Пример 3.
При каких значениях параметра а произведение
корней уравнения
Решение.
x2  ax  5a  0 равно 10 ?
1) Найдем все значения параметра а, при которых
уравнение имеет действительные решения.
D  а2  4 1  5а  а2  20а  а(а  20) ≥ 0
a (-;0]  [20; ).
2) По теореме Виета произведение корней уравнения
равно 10, если
Решение системы:
Ответ.
a  .
D  0,

5a  10.
a  (-;0]  [20; ),
 a  .

a  2
Применение теоремы Виета при исследовании свойств
решений квадратных уравнений
x  px  q  0 ( 2)
2
 Уравнение (2) имеет корни одного знака, если
 Уравнение (2) имеет корни разных знаков, если
D  0,

q  0.
 D  0,

q  0.
 D  0,

 Уравнение (2) имеет положительные корни, если q  0,
 p  0.

 D  0,

 Уравнение (2) имеет отрицательные корни, если q  0,
 p  0.

Пример 4.
При каких значениях параметра а уравнение
x2  ax  5a  0 имеет корни разных знаков ?
Решение.
1) Найдем все значения параметра а, при которых
уравнение имеет действительные решения.
D  а2  4 1  5а  а2  20а  а(а  20) > 0
a (-;0)  (20; ).
2) Уравнение имеет корни разных знаков, если
D  0,

5a  0.
Решение системы:
Ответ.
a  (-;0)  (20; ),
 a  (;0).

a  0
a (;0).
При каких значениях параметра а корни уравнения
х² - 2(а-1)х + а + 5= 0 положительны?
Решение
Определим при каком значении параметра а уравнение имеет
действительные корни
D/4=(а-1)² - (а-5) = а² - 2а + 1 – а – 5 = а² - 3а – 4
а² - 3а – 4 ≥ 0;
Уравнение (2) имеет положительные корни, если
а (- ∞; 1] U[4; +∞) а
-2( а- 1) < 0
а=5>0
=>
D ≥ 0,
q > 0, т.е.
P<0
а (- ∞; 1] U[4; +∞)
а–1>0
а>-5
Ответ: при а (-5; 1]U[ 4 ; +∞) уравнение имеет положительные
корни.
Закрепление изученного материала

При каких значениях параметра p уравнение
(p – 2)х² + 3х + p = 0
 имеет корни одного знака
 имеет положительные корни
 имеет корни разных знаков
 имеет отрицательные корни.
Домашнее задание:
 При каких значениях параметра p уравнение

(p - 4) х² + (2 p – 4)х + p = 0
имеет корни одного знака, имеет корни разных знаков,
имеет положительные корни, имеет отрицательные
корни.
 Дано уравнение х2 –(2р2 –р – 6)х +(8р – 1) = 0.
Сумма его корней равна -5. Найдите значение
параметра р.
 Решить уравнение с параметром
(р -4)х2 +(2р -4)х + р=0.
Пусть у=Ах²+Вх+С квадратичная функция, графиком
которой является парабола;
б
абсцисса вершины –
х0  

2а
Задача 1.Для того чтобы корни квадратного
уравнения у=Ах²+Вх+С
были меньше какого-либо числа d
( т.е х₁≤ х₂<d ),необходимо и достаточно
выполнение условий
D≥0,
х0
А f(d) >0,
х1
х2 d х
х₀ < d .
Пусть у=Ах²+Вх+С квадратичная функция, графиком
б
х


которой является парабола; абсцисса вершины – 0
2а
 Задача 2.для того чтобы корни квадратного
уравнения у=Ах²+Вх+С
были больше какого-либо числа d
( т.е d <х₁≤ х₂ ),необходимо и достаточно
выполнение условий
D≥0,
А f(d) >0,
х0
х₀ > d .
х1
х2
х
d
Пусть у=Ах²+Вх+С квадратичная функция, графиком
которой является парабола;
абсцисса вершины х   2ба
0
 Задача 3. Для того, чтобы оба корня квадратного
уравнения находились в интервале (d ; e ), необходимо
и достаточно выполнение условий
D≥0,
А f(d) >0,
А f(e) >0,
d < х₀ < e .
х₀
d
х1
х2
e
Пусть у=Ах²+Вх+С квадратичная функция, графиком
которой является парабола;
абсцисса вершины х   2ба
0
 Задача 4. Для того, чтобы число d находилось между
корнями квадратного уравнения (.х₁< d <х₂),
необходимо и достаточно выполнение условий
D≥0,
А f(d) >0,
d
х1
х2
х
Пусть у=Ах²+Вх+С квадратичная функция, графиком
которой является парабола;
абсцисса вершины х   2ба
0
 Задача 4. Для того, чтобы число d находилось между
корнями квадратного уравнения (.х₁< d <х₂),
необходимо и достаточно выполнение условий
D≥0,
А f(d) >0,
d
х1
х2
х
Пусть у=Ах²+Вх+С квадратичная функция, графиком
которой является парабола; абсцисса вершины –
х0  
б
2а
 Задача 5.Для того, чтобы отрезок [d; e] лежал
внутри интервала (х₁ ; х₂) , необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось условие
D>0,
А f(d) >0,
А f(e) >0.
d
х1
e
х2
х
Литература
1. Журнал «Математика в школе».
№7-03 «Уравнения с параметрами».
2. Алгебра: сборник заданий для подготовки к ГИА в 9
классе./[ Л.В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е.А.
Бунимович и др. ]М. :Просвещение. 2010