Введение в теорию множеств 1. Основные определения, терминология Под множеством А мы понимаем совокупность объектов произвольной природы, объединенных общим свойством Р(х). Обозначение A x P x . Читается: "А есть множество х, таких, что Р(х)". Пример 1 B x x 2 3x 2 0 . Легко заметить, что множество состоит из двух чисел: 1 и 2. Определение 1 Множество А называется подмножеством В, если для любого х ( x A x B ) Обозначение: A B Другими словами, символ " A B" есть сокращение для высказывания x A x B Теорема 2 Для любых множеств А, В, С верно следующее: а) A A ; б) A B и B C A C . Доказательство Для доказательства а) надо убедиться в истинности высказывания x A x A , но оно очевидным образом истинно, так как представляет собой импликацию, в которой посылка и заключение совпадают. Для доказательства б) надо убедится в истинности высказывания x A x B x B x C x A x C Обозначим: " x A " через U, " x B " через V , " x C " через . Тогда надо убедиться в истинности высказывания . Упростим это высказывание: F U V V Z U Z U V U Z VZ U Z UV U Z VZ U Z U V U Z V Z U Z U VU U Z V Z V Z U Z U V Z V Z U Z UV U Z V Z U Z UV U U Z Z V Z V U U Z V Z 1. Конечно, теорема 2 интуитивно очевидна, но если мы, кроме очевидности, стремимся еще и к строгости, то приходится проделывать непростые логические вычисления. Доказательство этой теоремы является неплохим упражнением по алгебре высказываний. Определение 3 Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов (A=В). Другими словами, обозначение А=В служит сокращением для высказывания x A x B. Если множество А конечно и состоит из элементов а1,а2,...,аn, то пишем: А={а1, а2,...,аn}. Иногда подобное обозначение распространяется и на некоторые бесконечные множества. Так, N={1,2,3,...,n,...} Z={...,-n,...,-2,-1,0,1,2,...,n,...}. Вопрос Можно ли подобным образом записать множество Q рациональных чисел? А множество R вещественных чисел? Вернемся к определению равенства множеств Пример 1 {a, b, c, d} = {c, d, a, b}. Пример 2 {a, b, c, d} {a, c, b}. Пример 3 {x|x2-3x+2=0} = {1,2}. Теорема 4 Для любых множеств А и В А=В тогда и только тогда, когда A B и B A Доказательство Доказательство этого факта основано на том, что эквивалентность X Y равносильна конъюнкции двух импликаций X Y Y X . Таким образом, для того, чтобы доказать равенство множеств А и В, надо доказать два включения: A B и B A , что часто используется для доказательства теоретико-множественных равенств. Определение 5 A B тогда и только тогда, когда A B и A B. Теорема 6 Для любых множеств А, В, С, если A B и B C, то A C Доказательство Доказать самостоятельно. Определение 7 Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента, то есть х не принадлежит этому множеству (для любого х). Обозначение: . Отметим, что понятия элемента и множества довольно условны. Один и тот же объект в одной ситуации может выступать как элемент, а в другой – как множество. Например, N, Z, Q, R – числовые множества, но в множестве А={N, Z, Q, R} каждое из них является элементом четырехэлементного множества А. В этом отношении достаточно привлекательным является множество x . Отметим, что X и X одновременно. В связи с этим возникает следующая Задача 1 Существует ли объект X , такой, что X X ? 2. Операции объединения и пересечения Определение 1 Объединением двух множеств А и В называется множество A B x x A x B . A x B Другими словами, x A B x (теоретико-множественной операции "объединение" соответствует логическая операция "или"). Пример Пусть А={1,2,3,4}, B={2,4,6,8}, тогда = {1,2,3,4,6,8}. A B Теорема 2 Пусть А, В, С – произвольные множества. Тогда: а) A A A – идемпотентность объединения; б) A B B A – коммутативность объединения; в) A B C A B C – ассоциативность объединения; г) A A ; д) A B A B Доказательство а) Возьмем x A A x A x A x A. При последнем переходе мы воспользовались идемпотентностью дизъюнкции. Таким образом, идемпотентность объединения в теории множеств есть следствие идемпотентности дизъюнкции в алгебре высказываний. б) Возьмем x A B x A x B x B x A xB A Мы доказали, что x A B x B A . Следовательно, A B B A. в) Возьмем x A B C x A B x C x A x B x C x A x B x C (ассоциативность дизъюнкции). Мы доказали, что x A B C x A B C Следовательно, г) Возьмем A B C A B C . x A x A x x A , так как высказывание x тождественно ложно. Следовательно, A A . д) Если A B , то A B . В другую сторону. Пусть A B То есть, x A B x . Значит высказывание является тождественно ложным. С другой стороны, x A B x A x B , а дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда ложны оба эти высказывания. Следовательно, и x x A x B x а значит A B . Теорема 3 Пусть А, В – произвольные множества, тогда: а) A A B ; б) A A B B A . Доказательство а) Возьмем x A x A xB (свойство импликации) x A B . Итак, A A B . б) Пусть A A B . Докажем, что B A . Возьмем x B x A B x A . Итак, мы доказали, что x B x A , то есть B A . Теперь пусть B A. Чтобы доказать равенство A A ,надо B доказать два включения: A B .A A A иB Первое включение – есть пункт а). Докажем второе включение. Возьмем x A B x A x B x A x A , так как B A , x A . Следовательно, A B A . Теорема доказана. Определение 4 Пересечением множеств А и В называется множество A B x x A x B . Пример Пусть A={1,2,4,7,8,9}, B={1,3,5,7,8,10}, тогда A B = 1,7,8 . Теорема 5 Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда: а) A A A - идемпотентность пересечения; б) A B B A - коммутативность пересечения; в) A B C A B C - ассоциативность пересечения; г) A . Доказательство а) Возьмем x A A x A x A x A . Следовательно, A A A . б) Возьмем x A B x A x B x B x A x B A . Следовательно, в) Возьмем A B B A . x A B C x A B x C x A x B x C x A x B x C x A x B C x A B C Следовательно, г) A B C A B C x A x A x x . , так как тождественно ложное высказывание. Теорема 6 Пусть А, В – произвольные множества. Тогда: а) A B A ; x – б) A B A A B Доказательство а) Возьмем . x A B x A xB x A , то есть A B A . б) Пусть A B A . Возьмем x A x A B x A x B x B , то есть A B . Теперь пусть A B. Включение A B A уже доказано. Докажем включение в другую сторону. Возьмем x A x A xB , так как A B, x A B . Следовательно, A A B , поэтому A A B . Теорема 7 (дистрибутивные законы) Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда: а) A B C A B A C – дистрибутивность пересечения относительно объединения; б) A B C A B A C – дистрибутивность объединения относительно пересечения. Доказательство а) Возьмем x A B C x A x B C x A x B x C x A x B x A x C x A B x A C x A B A C 3. Разность множеств, дополнение, симметрическая разность Определение 1 Разностью множеств называется множество A \ B x | x A и x B . Пример Пусть А={1,3,4,7,8,9,10}, B={2,3,4,5,6,7}, тогда A\B={1,8,9,10}, B\A={2,5,6}. Теорема 2 Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда: а) A \ A ; б) A \ B A B ; в) A B \ C A \ C B \ C ; г) A \ B C A \ B \ C . Доказательство x A\ A x A x A а) Возьмем – тождественно ложное высказывание. Оно равносильно другому тождественно ложному высказыванию , поэтому A \ A . б) Пусть A \ B . Возьмем x A , так как A \ B , то x A \ B , значит x B , то есть A B . Теперь пусть A B . Возьмем x A\ B x A x B x B x B x , то есть A \ B . в) Возьмем x A B \ C x A B x C x A x B x C x A x C x B x C x A \ C x B \ C г) Возьмем x A \ C B \ C x A \ B C x A x B C x A x B x C x A x B x C x A \ B x C x A \ B \ C Теорема 3 (законы Моргана) A \ B C A \ B A \ B ; а) б) A \ B C A \ B A \ B . Доказательство а) Возьмем x A \ B C x A x B C x A x B x C x A x B x A x C x A\ B x A\C x A \ B A \ C б) Возьмем x A \ B C x A x B C x A x B x C x A x B x C x A x B x A x C x A \ B A \ C Множество U назовем "универсальным", если оно содержит все элементы и все множества являются его подмножествами. Понятие абсолютно универсального множества, то есть множества, для которого истинно высказывание "для любого х ", несмотря на кажущуюся его простоту, мгновенно приводит к так называемым теоретикомножественным парадоксам. Поэтому понятие "универсального множества" у нас будет зависеть от круга задач, которые мы рассматриваем. Довольно часто под универсальным множеством понимают множество R –– множество вещественных чисел или множество С – комплексных чисел. Возможны и другие примеры. Всегда в контексте необходимо оговорить, что мы понимаем под универсальным множеством U. Определение 4 Пусть U – универсальное множество и . Дополнением А в U (или просто дополнением А) называется множество . Пример Если U – множество вещественных чисел и А – множество рациональных чисел, то – множество иррациональных чисел Теорема 5 а) U ; б) U ; в) A A Доказательство Доказать самостоятельно Теорема 6 (законы Моргана для дополнений) а) A B A B ; б) A B A B .