конспект обратные тригон. функции

Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
Колледж легкой промышленности №5
Конспект урока по предмету:
«Математика»
Тема:
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Преподаватель: Гартлиб Л.А.
Пояснительная записка
Методическая разработка по дисциплине «Математика» разработана в
соответствии с рабочей программой по специальности «Экономика и бухгалтерский учет»,
первый курс обучения.
Данный урок проводится при изучении раздела «Тригонометрические
функции».
Тема урока: « Обратные тригонометрические функции».
Данный урок является уроком изучения нового материала.
Цель урока:
Способствовать формированию знаний об обратных тригонометрических функциях и
их свойствах.
Задачи урока:
Образовательные:

обобщить и систематизировать знания по теме «Взаимно обратные функции»;

отработать навыки построения графиков взаимно обратных функций;

выявить алгоритм построения графиков
обратных тригонометрических
функций;

отработать навыки применения алгоритма.
Развивающие:



Способствовать развитию мыслительных операций:
обобщения и систематизации;
сравнения и построения аналогий.
Воспитательные:

способствовать умению работать в группах;

способствовать
воспитанию
настойчивости,
добросовестности,
ответственности.
Урок построен на основе концепции развивающего обучения.
Используемые приемы:
 постановка проблемных вопросов;
 постановка практико-ориентированного задания;
 графические приемы.
Для достижения задач урока применяются эвристический, исследовательский,
алгоритмический методы.
Урок проводится в форме фронтальной, групповой и индивидуальной работы.
На уроке используются конспект, карточки-задания, мультимедийное оборудование.
Основной источник информации – компьютерная презентация, содержащая
статистические слайды и слайд с динамическими элементами.
В результате проведения урока студент должен:
знать:
 алгоритм построения графиков обратных функций;
 свойства обратных тригонометрических функций.
уметь: применять алгоритм для построения графиков обратных тригонометрических
функций.
Формируемые компетентности:
 Умение эффективно работать в коллективе и команде;
 Брать на себя ответственность за работу членов команды;
 Самостоятельно определять задачи своей деятельности, осознанно планировать
порядок учебных действий;
 Умение анализировать результаты своей деятельности;
 Умение видеть отражение содержания математики в аспекте своей будущей
профессиональной деятельности.
Список использованной литературы:
1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М, «Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11кл.
общеобразовательных учреждений», М. «Просвещение», 2010г.
2. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. «Математика» учебник, среднее профессиональное
образование, М. «Дрофа», 2010г.
3. Мирошин В. «Обратные тригонометрические функции», М. «Чистые пруды», 2011г.,
(Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика»).
Структура урока
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Организационный момент
Постановка проблемной ситуации.
Актуализация опорных знаний.
Усвоение учебного материала.
Первичное закрепление учебного материала.
Рефлексия.
Информация о домашнем задании.
Ход урока
1. Организационный момент
Здравствуйте! Пусть эпиграфом нашей встречи звучат слова великого русского
математика Николая Ивановича Лобачевского:
«Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая
когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира». (слайд 1)
2.Постановка проблемной ситуации.
Явления действительного мира отражают пословицы. Перед вами три пословицы: (слайд 2)
Чем дальше в лес, тем больше дров.
Выше меры конь не прыгнет.
Пересев хуже недосева.
Объясните ярко, наглядно языком математики смысл данных пословиц.
Дополнительные вопросы:
Современная математика использует лаконичный язык: сжатый, емкий, наглядный. С
помощью чего математика отражает суть явления, его содержание?
Студенты: Язык математики - формулы, графики, таблицы.
2
Какая форма будет наиболее наглядна?
Студенты: Графическая.
Мы изучаем раздел математики – тригонометрию, на примере каких функций можно
показать смысл данных пословиц.
Студенты: На примере графиков тригонометрических функций. (слайд 3)
Графики тригонометрических функций
Студенты: Смысл первой пословицы отражает свойство возрастания функций.
Смысл второй пословицы отражает свойство ограниченности.
Смысл третьей пословицы отражает наличие точки максимума.
Итак, данные пословицы отражают свойства функций.
Мы изучаем группу трансцендентных функций, в которую кроме
тригонометрических входят показательная и логарифмическая функции, перед вами графики
данных функций. (слайд 4)
Трансцендентные функции
Как объяснить, что кривые данных функций одного и того же вида? Т.е. имеют вид –
экспоненты.
Студенты: Функции взаимно обратные, их графики обладают свойством симметрии
относительно прямой у = х.
Назовите свойства взаимно-обратных функций.
Студенты:
 Область определения обратной функции совпадает с множеством значений
исходной функции, а область значений с областью определения.
 Если данная функция возрастает (убывает), то обратная ей также возрастает
(убывает).
 Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой у=х.
Таким образом, если первая группа трансцендентных функций взаимно обратные,
то мы, углубляя наши знания о тригонометрических функциях, какую тему урока можем
сформулировать?
3
Студенты: Обратные тригонометрические функции.
Запишем тему урока: Обратные тригонометрические функции.
ЦЕЛЬ УРОКА: Построение графиков обратных тригонометрических функций.(слайд 5)
3. Актуализация опорных знаний
1. Среди функций, заданных графически выбрать те, что имеют обратные.
(слайд 6)
Y
Y
0
Х
0
Х
а)
б)
в)
Студенты: Функция, заданная вторым графиком, будет обратима, т.к. каждому значению
функции соответствует единственное значение аргумента, т.е функция обладает
свойством монотонности.
Какие знания вы используйте, устанавливая обратимость функций?
Студенты: При выполнении данного задания мы опираемся на определение обратимых
функций:
Если функция у=f(x) принимает каждое свое значение только при единственном
значении x, то эту функцию называют обратимой.
При каких условиях можно построить графики обратных функций, например, для
квадратичной функции?
Студенты: Если у данной функции рассматривать только промежутки монотонности, то для
каждого промежутка можно построить график обратной функции. Т.е. квадратичная
функция у=х2 будет иметь обратную функцию при х  0 или при х  0.
2. Функция у=f(x) задана своим графиком. Построить графики функций, которые
будут обратными к промежуткам монотонности. (слайд 7)
Назовите промежутки монотонности.
Студенты: [-2,5;0] – промежуток возрастания;
[0;3] – промежуток убывания;
[3;6] – промежуток возрастания.
Первая группа строит график функции, обратной данной на промежутке [-2,5;0].
Вторая группа строит график функции, обратной данной на промежутке [0;3].
Третья группа строит график функции, обратной данной на промежутке [3;6].
Студенты самостоятельно выполняют построение графиков в конспектах, затем от каждой
группы чертеж оформляется на доске.
Студенты: Итак, построен график обратной функции на промежутке [2; 5] - промежуток
возрастания.
Выполнено построение обратной функции на промежутке [4;5] – промежуток убывания.
Построен график обратной функции на промежутке [4;10] - промежуток возрастания.
4.Усвоение учебного материала
Перед нами график функции у=sinx.
Что будет первым этапом при построении графика функции обратного у=sinx?(слайд8)
4
Студенты: Необходимо выбрать промежуток монотонности.
Для этого из области определения рассматривают промежуток монотонности
 
[- ; ], его называют главной ветвью синуса. Построим главную ветвь синуса в тетрадях.
2 2
Что будет следующим этапом? (слайд 9)
Студенты: Проведем ось симметрии прямую у=х, и отобразим точки главной ветви синуса
относительно оси.
Покажите, как будет происходить построение графика?
Студент показывает на экране направление хода построения графика по соответствующим
точкам.
Выполняем построение.
Главная ветвь синуса
 
; ] имеет обратную функцию, она
2 2
называется арксинусом и обозначается у = arcsinx.
В переводе приставка Arcus- дуга. (Слайд 10)
График функции у = arcsinx
Итак, функция у=sinx в промежутке [-
Назовите основные свойства функции, обратной у=sinx.
Студенты: Свойства функции у = arcsinx
 D(f)= [-1;1]
 
 E(f) =[- ; ]
2 2
 Монотонно возрастает.
Выявим алгоритм построения графика функции, обратной y=cosx.(слайд 11)
Студенты: Необходимо установить главную ветвь косинуса.
Предположите, какой промежуток из области определения можно рассмотреть как главную
ветвь косинуса?
Студенты: [0;  ] – главная ветвь косинуса.
Каковы будут следующие этапы?
Студенты:
5
- Провести ось симметрии у = х.
- Отобразить точки главной ветви косинуса относительно оси.
- Выполнить построение.
По алгоритму постройте график функции, обратной y=cosx. Результат работы группы
показать на ватмане.
Главная ветвь косинуса
График функции у = arсcоsx
Итак, функция у=cosx в промежутке [0;  ] имеет обратную функцию, она называется
арккосинусом и обозначается у = arccоsx. (слайд 12)
Назовите основные свойства функции, обратной у=sinx.
Студенты: Свойства функции у = arccоsx
 D(f)= [-1;1]
 E(f) =[о;  ]
 Монотонно убывает.
5.Рефлексия
Урок мы начали с трех пословиц, смысл которых вы объясняли на основе графиков
тригонометрических функций. Какая из пословиц наиболее ярко отражается в свойствах
обратных тригонометрических функций? (слайд 13)
Студенты: «Выше меры конь не прыгнет» - отражает свойство ограниченности обратных
тригонометрических функций.
Оцените уровень понимания учебного материала в баллах, если:
6
3 балла – учебный материал понятен;
2 балла – затрудняюсь в выполнении отдельных этапов построения графиков;
1 балл – учебный материал не понятен.
Вы получаете профессию менеджера, каким образом содержание нашего урока поможет вам
в профессиональной деятельности?
Студенты: ……….
1) Мы рассматривали построение и свойства функций, заданных графически.
Анализ деятельности предприятия часто отражают графически. Пониманию смысла
графиков – важно научиться на уроках математики.
2) Понятие обратных функций используется в экономической теории. Как будущие
бухгалтерам , вам необходимо понимать, что потребительский спрос на некоторый товар
зависит, в общем случае, от большого числа факторов, каких?
Студенты: Цены товара, сезона, дохода покупателя.
Если считать все факторы, кроме цены, неизменными, то полученную зависимость спроса от
цены можно рассматривать как функцию спроса.
Какой существует закон спроса?
Студенты: Закон спроса: чем выше цена, тем меньше объем спроса.
Таким образом, функция спроса - это обратная функция функции цены.
6. Информация о домашнем задании.
Как вы считаете, полностью ли мы выполнили цель урока?
Студенты: Нет, так как не рассмотрели графики функций, обратных y=tgx и y=ctgx.
Таким образом, сформулируйте домашнее задание.
Студенты: Выполнить построение графиков функций, обратных y=tgx и y=ctgx.
Итак, домашнее задание:
1. Составить алгоритм построения графиков функций, обратных y=tgx и y=ctgx.
2. Выполнить построение графиков функций, обратных y=tgx и y=ctgx.
3. Выписать свойства функций, обратных y=tgx и y=ctgx.
4. Дополнительное задание: построить график, отражающий смысл пословицы
«Горяч на почине, да скоро остыл».
7