12/04/2013 Лекция № 9 Уравнение Шредингера. Волновые функции и их свойства. Квантование

Лекция № 9
Уравнение Шредингера.
Волновые функции и их свойства. Квантование
Алексей Викторович
Гуденко

12/04/2013
План лекции
1.
2.
3.
4.
5.
Дифракция электронов и соотношение
неопределённостей Гейзенберга.
Ψ-функции и их свойства.
Уравнение Шредингера.
Частица в прямоугольной яме.
Нулевая энергия квантового осциллятора.
демонстрации
Ψ – функция - состояние частицы в
квантовой механике

Состояние частицы в квантовой механике задаётся
пси-функцией Ψ(r,t) – комплексная функция,
обладающая волновыми свойствами.

|Ψ|2 = ΨΨ* - плотность вероятности нахождения частицы
в данной точке пространства: dP = |Ψ|2dV
Нормировка пси-функции: ∫|Ψ|2dV = ∫ΨΨ*dV = 1


Принцип суперпозиции пси-функций:
если для частицы возможны состояния Ψ1 и Ψ2, то
существует также состояние Ψ = с1 Ψ1 + с2 Ψ2
Ψ-функция свободной частицы –
плоская волна де Бройля

Ψ = Сei(kr-ωt) = Сei(pr- εt)/ћ – свободное равномерное
движение в определённом направлении с:
–
–



энергией ε = ћω
импульсом p = ћk
Фазовая скорость волн де Бройля нерелятивистской
свободной частицы:
vф = ω/k = ε/p = p/2m = v/2
Групповая скорость: vгр = dω/dk = dε/dp = p/m = v – просто
скорость частицы
|Ψ|2 = ΨΨ* = const – свободная частица с равной
вероятностью м.б. обнаружена в любой точке
пространства (однородность пространства-времени)
Волновые свойства частицы и
соотношение неопределённостей.



Дифракция электрона на щели: Δx – неопределённость
координаты → Δp – неопределённость импульса
дифракционная расходимость θ = λ/Δx = Δp/p →
Δpx Δx ~ λp = h
Соотношение неопределённости.
Почему электрон не падает на ядро?

Произведение неопределённостей значений
двух сопряжённых величин не меньше
постоянной Планка (ћ/2)
Δpx Δx ≥ ћ/2; Δpy Δy ≥ ћ/2; Δpz Δz ≥ ћ/2;
ΔE Δt ≥ ћ/2
1.
2.
3.
невозможно состояние, в котором частица
находилась бы в состоянии покоя
квантовые частицы не имеют траектории
энергия квантовой частицы не делится на
потенциальную и кинетическую
Соотношение неопределённостей, размер
атома водорода и энергия основного
состояния




Для минимальной энергии импульс частицы
равен его неопределённости: p = <p> + Δp ~ =
<p> + ћ/ℓ → pmin ~ ћ/ℓ ~ Δp.
E = p2/2m – e2/r ~ ћ2/2mr2 – e2/r
E → min: dE/dr = 0 → -ћ2/mr3 + e2/r2 = 0 →
r = ћ2/me2 = 0,529*10-8 см = 0,529 A –
боровский радиус
Emin = -e2/2r = - me4/2ћ2 = -13,6 эВ – энергия
основного состояния атома водорода
Минимальная энергия квантового
гармонического осциллятора U = æx2/2



E → min: p = Δp; x = Δx →
E = K + U = p2/2m + æx2/2 ~ ћ2/2mx2 + æx2/2
Emin: dE/dx = 0 → xmin = ћ2/mæ →
Emin = ћ(æ/m)1/2 = ћω
Точный расчёт даёт E0 = ½ ћω
Уравнение Шредингера для
свободной частицы





Уравнение Шредингера – основное уравнение
нерелятивистской квантовой механики
Уравнение Шредингера для свободной частицы:
iћ∂Ψ/∂t = - ћ2/2m (∂2Ψ/∂x2 + ∂2Ψ/∂y2 + ∂2Ψ/∂z2)
iћ∂Ψ/∂t = - (ћ2/2m)∆Ψ
решение: Ψ(r,t) = Cei(pr – Et)/ћ
∆ = ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2 + ∂2/∂z2 – оператор Лапласа
E* = iћ∂/∂t – оператор энергии
p* = ћ/i ∂/∂x – оператор импульса
E*Ψ = (p*2/2m)Ψ
Стационарное уравнение Шредингера




Для частицы в силовом поле U(x,y,z):
E*Ψ = (p*2/2m + U)Ψ
Стационарное состояние – это состояние с
определённой энергией: Ψ = ψ(х,y,z)e-iωt →
[p*2/2m + U]ψ = Eψ - уравнение Шредингера для
стационарных состояний
ћ2/2m (∂2Ψ/∂x2) + (E – U)Ψ = 0
Основные свойства и квантование

Ψ-функция должна быть:
1.
2.
3.
4.



ограниченной
однозначной
непрерывной
гладкой (без изломов)
Решение уравнение Шредингера, удовлетворяющее
этим условиям возможно лишь при определённых
значениях энергии. Это собственные значения
энергии E.
Ψ(r) – соответствующие E собственные функции.
Собственные значения м.б. дискретными
(квантованными) или непрерывными (сплошной
энергетический спектр)
Частица в прямоугольной яме







(∂2Ψ/∂x2) + k2Ψ = 0,
где k2 = 2mE/ћ2
Ψ = Asinkx + Bcoskx
Ψ(0) = 0 → B = 0
Ψ(ℓ) = 0 → kℓ = πn (n = 1,2,3…)
En = ћ2π2n2/2mℓ2 – энергия квантуется
Нормировка ∫|Ψ|2dx = 1 → A = (2/ℓ)1/2
Ψn(x)= (2/ℓ)1/2sinπnx/ℓ
λn = 2π/kn = 2ℓ/n
(ℓ = n λn/2 – в яме укладывается целое
число полуволн)
картинки
Некоторые важные особенности






En – собственные значения; Ψn – собственные функции.
Дискретность – следствие граничных условий.
Минимальное значение энергии не равно нулю – это
соответствует принципу неопределённости
Число n – главное квантовое число
Число узлов на единицу меньше номера
соответствующего состояния.
С ростом n максимумы |Ψ|2 сближаются, а относительное
расстояние между уровнями энергии уменьшается –
дискретность «смазывается» и частица из «квантовой»
превращается в «классическую» - в этом заключается
принцип соответствия.
Численные оценки




Молекула в сосуде: m ~ 10-23г ℓ ~ 10 см
ΔEn = ћ2π2 (2n+1)/2mℓ2 ≈ ћ2π2 n/mℓ2 ≈ 10-32n эрг
E ~ kT ~ 10-14 эрг
n ~ 109
ΔEn/E ~ 10-9
Принцип соответствия




Частица, находящаяся в яме с непроницаемыми
стенками, излучает фотон, переходя из состояния с
номером n+1 в состояние с номером n. Определить
связь частоты фотона с классическим периодом
колебаний частицы с энергией En.
Квантовая частица:
ωкв = (En+1 – En)/ћ = ћπ2(n + ½) /mℓ2
Классическая: mv2/2 = En = ћ2π2n2/2mℓ2 → v = ћπn/mℓ →
период T = 2ℓ/v = 2mℓ2/ћπn → ωкл = 2π/T = ћπ2n/mℓ2 →
ωкв/ωкл = 1 + 1/2n → при больших n: ωкв ≈ ωкл
А что будет в трёхмерной
прямоугольной яме?

Ψnmp = Ψn(x)Ψm(y)Ψp(z) =
Ψnmp = (8/abc)1/2 sinπnx/a sinπmy/b sinπpz/c
Квантовый осциллятор ½æx2.
Нулевая энергия Е0 = ½ ћω



ћ2/2m (∂2Ψ/∂x2) + (E – U)Ψ = 0 →
(ћ2/2m) ∂2Ψ/∂x2 + EΨ - ½æx2Ψ = 0
замена: λ = 2E/ћω; ξ = x(æ/ћω)1/2 →
- (∂2Ψ/∂ξ2) + ξ2Ψ = λΨ
Одно из решений Ψ = exp(αξ2) → для любого ξ
должно быть: (1 - 4α2)ξ2 - 2α = λ → 1 - 4α2 = 0 →
α = - ½ (+ не годится) → Ψ = exp(-ξ2/2); λ = 1
Это решение не имеет узлов → значит
основное состояние (n = 1) →
E0 = ½ ћω