Коррелограммный метод оценки спектра

План лекции 14





лекция 4
Весовые окна
Периодограммный метод оценки спектра
Кореллограммный метод оценки спектра
Функция когерентности
Авторегрессионные методы оценки спектра
Весовые окна
Конечная последовательность
x

n , n  0,.., N  1
N
n  xnrect n

N
rect n 
X
лекция 4
x
1, 0n N 1;

0, other n
f   X  f  R  f 

N
N
Весовые окна
|X(f)|2
X(n)
б)
a)
f
n
0
T
2T
-1/2T
f0
-f0
1/2T
|XN(f)|2
XN(n)
г)
в)
n
0 T
лекция 4
2T
f
-1/2T
-f0
f0
1/2T
Весовые окна
Прямоугольное окно
wn  1
n  0, N 1
Окно Бартлета
 2n 1
;n  1, N 2 1

N
wn  
 w N  m  2;n  N 2  2, N





Окно Хэмминга
 2n 1 
wn  054
.  0.46 cos

 N 
лекция 4
Весовые окна
Характеристики весовых окон
Тип окна
Максимальный
уровень БЛ, Дб
Скорость
спадания БЛ
Эквивалентная
ширина полосы
Прямоугольное
-13
-6
1
Бартлетта
-26
-12
1.33
Хэмминга
-43
-6
1.36
Чебышева
-50
0
1.39
Блэкмана (=3)
-98
-6
1.8
лекция 4
Весовые окна
Прямоугольное окно
Треугольное окно
лекция 4
Окно Хэмминга
Коррелограммный метод оценки
Теорема Винера-Хинчина
Спектральная плотность мощности дискретного сигнала
G
x f 

 T  Bx m  exp  j 2 fmT 
m
B m   E{xn xn  m }
x
Автокорреляционная функция
1
B  m
x
2T
  Gx f  exp j 2 fmT  df
1
2T
Взаимная спектральная плотность мощности

G  f   T  B xy m exp  j 2mfT 
xy
m 
лекция 4
Коррелограммный метод оценки
Математическое ожидание случайной величины x[n]
Автокорреляционная функция


M
1


*
*
B m  E xn x n  m  lim 
x[n  m]x [n]

x
M   2M  1
n M


B  1 
x
B  2 
x
m
1 N  m 1

 x n  x n  m  , 0  m  N  1 Несмещенная
N  m n 0
m
1 N  m 1

 x n  x n  m  , 0  m  N  1
N n 0
N  m (1)
B ( m) 
Bx (m)
N
( 2)
x
лекция 4
Смещенная
Коррелограммный метод оценки спектра
G

x
f
M
 T  Bx m  exp  j 2 fmT 
m M
Gˆ x ( f )  T
M
 w(m) B (m) exp( j 2 fmT )
mM
ˆ (f ) T
G
xy
B
лекция 4
xy

x
m
M
 w(m) B
mM
xy
(m) exp( j 2 fmT )
1 N  m 1

 x(n) y (n  m), 0  m  N  1
N n 0
Коррелограммный метод оценки спектра
1. Выбрать последовательность x[n] n=0,…,N-1
2. Вычислить корреляционную функцию – смещенную
или несмещенную для максимального корреляционного сдвига L
3. Выбрать число отсчетов в частотной области M. M > 2L
4. Выбрать функцию окна размерности 2L
5. Умножить корреляционную функцию на функцию окна
~
Bx (m)  Bx (m)w(m)
6. Доопределить корреляционную функцию
~
 Bx (m), m  0,..., L
 ~
~
Bx (m)   Bx ( M  m), m  M  L,..., M  1
0, m  L  1,..., M  L  1

7. Вычислить Фурье преобразование
лекция 4
T
Gx ( k ) 
U
M 1
~
 Bx (m) exp(  j 2km / M )
m 0
Периодограммный метод оценки спектра


Свойство эргодичности – усреднение по ансамблю
заменить усреднением по времени.
Определение. Процесс является эргодичным, если с
вероятностью, равной 1, все его статистические
характеристики можно предсказать по одной
реализации из ансамбля процесса с помощью
усреднения по времени
2
N


1


Gx ( f )  lim E 
T  x[n] exp(  j 2fnT ) 
N  


 (2 N  1)T n  N

1
T
G( k ) 
S (k ) 
NT
N
лекция 4
N 1
x(n) exp(  j 2 kn / N )

n0
2
Периодограммный метод оценки спектра
Алгоритм
1. Исходная x[n], n=0,…,N-1, разбивается на P
перекрывающихся участков
(i )
x (m)  x(m  (i  1) M C )
M C  int{M / C}
m=0,M-1, I=1,..,P
2. Центрирование сигнала.
x
(i )
1

M
P  int{C( N  M ) / M}  1
x (i ) (m)  x (i ) (m)  x (i )
M 1
x
(i )
(m)
m 0
3. Взвешивание сигнала
s (m)  w(m) xˆ (m), m  0,... M  1
(i )
лекция 4
(i )
U
M 1
w( m)

m0
2
Периодограммный метод оценки спектра
4. Для каждого участка вычисляется ДПФ
X (i ) ( k ) 
M 1
(i )
s
 (m) exp( j2 km / M )
m0
5. Усреднение по участкам
P
2
T
(i )
ˆ
Gxx (k ) 
X (k )

U  P i 1
6. Взаимный спектр


P

T
(i )
(i )
ˆ
Gxy ( k ) 
X (k ) Y (k )

U  P i 1
лекция 4
Функция когерентности
1. Функция когерентности
 xy ( f ) 
ˆ (f)
G
xy
ˆ (f) G
ˆ (f)
G
xx
yy
2. Модуль Функции когерентности
 xy ( f ) 
ˆ (f)
G
xy
ˆ (f) G
ˆ (f)
G
xx
yy
3. Фаза функции когерентности
 ( f )  arctg Im xy ( f )/ Re  xy ( f )
лекция 4
Параметрические методы спектральной оценки
Последовательность можно представить в виде
p
q
k 1
k 0
x(n)    a( k ) x(n  k )   b( k ) u(n  k ) 

 h( k ) u(n  k )
k 0
x(n)- выходная последовательность каузального
фильтра с импульсной характеристикой h(n), u(n) –
входная возбуждающая последовательность
p
B( z)
H ( z) 
A( z )
A( z)  1   a( k ) z  k
k 1
q
B( z )  1   b(k )z k
k 1

H ( z)  1   h( k ) z  k
лекция 4
k 1
Параметрические методы спектральной оценки
Z-преобразование – автокорреляции входа и автокореляции
выхода связаны соотношением


Gxx ( z)  Guu ( z) H ( z) H  (1 / z  )  Guu ( z)
Пусть вход u(n) – белый шум.
лекция 4
B( z) B (1 / z )
A( z) A (1 / z  )
Guu ( z)   
Параметрические методы спектральной оценки
Спектральная плотность мощности для АРСС-процесса
z  exp( j 2 fT )
GAPCC ( f )  T
B( f )
A( f )
2
2
p
A( f )  1   a( k ) exp(  j2 fkT )
k 1
q
B( f )  1   b( k ) exp(  j2 fkT )
k 1
лекция 4
Параметрические методы спектральной оценки
Если все АР-параметры, кроме a(0)=1 равны нулю, то
x( n) 
q
 b( k )u(n  k )  u(n)
k 1
Будет строго процессом
скользящего среднего (ССпроцесс)
порядка q. Если все ССпараметры равны 0, то
процесс станет АРпроцессом
(авторегрессионным)
p
GCC ( f )  T B ( f )
G AP ( f )  T 
x( n)    a( k ) x( n  k )  u( n)
k 1
лекция 4
2
1
A( f )
2
Параметрические методы спектральной оценки
Алгоритм АР-оценки спектра
1. АРСС оценка: вычислить дисперсию белого шума ,
Коэффициенты скользящего среднего b(k), авторегрессионные
Коэффициенты a(k)
2. АР оценка: вычислить дисперсию белого шума ,
авторегрессионные коэффициенты a(k)
3. СС оценка: вычислить дисперсию белого шума ,
Коэффициенты скользящего среднего b(k)
Методы поиска коэффициентов:
1. Метод Бурга
2. Метод максимального правдоподобия
3. Ковариационный метод (модифицированный)
4. Метод Юла-Уолкера
лекция 4
Параметрические методы спектральной оценки
Методы поиска коэффициентов авторегрессии
p
x(n)   a(k ) x(n  k )  e f (n)
k 1
Оценка модели линейного предсказания вперед
p
xˆ f (n)   a(k ) x(n  k )
k 1
Оценка модели линейного предсказания назад
p
xˆ b (n)   a(k ) x(n  k )
k 1
2
 f   e f ( n)  b   e b ( n)
лекция 4
2
Параметрические методы спектральной оценки
Авторегрессионный
метод
Метод скользящего
среднего
лекция 4