Динамика материальной системы

ДИНАМИКА
МАТЕРИАЛЬНОЙ
СИСТЕМЫ
ЛЕКЦИЯ 1:
МАТЕРИАЛЬНАЯ СИСТЕМА. ТЕОРЕМА
ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА
ДВИЖЕНИЯ
1. Материальная система.
Центр масс
Под материальной системой понимают совокупность материальных точек,
движения которых взаимосвязаны
Масса материальной системой есть сумма масс всех точек входящих в
систему
n
M =  mi
i 1
Центр масс (центр инерции) материальной системой - геометрическая
точка, определяемая равенством
1
r0 
M
n
mr
i 1
i i
m1 x1  m2 x2  ...  mn xn
x0 
;
m1  m2  ...  mn
y0 
m1 y1  m2 y2  ...  mn yn
;
m1  m2  ...  mn
z0 
m1 z1  m2 z2  ...  mn zn
.
m1  m2  ...  mn
2. Внешние и внутренние силы
внешние
Силы
вызваны действием тел, не входящих в
систему
внутренние вызваны взаимодействием точек,
входящих в систему
F  F e  Fi
Fe
Fi
3. Свойства внутренних сил
F2i  F1i
Первое свойство: Геометрическая сумма всех
внутренних сил (главный вектор внутренних сил )
равна нулю
n
F
k 1
i
k
0
F1i
A
F2i
B
r1
r2
O
Второе свойство: Геометрическая сумма моментов всех внутренних сил
относительно произвольной точки пространства (главный момент
внутренних сил ) равна нулю.
n
i
r

F
 k k 0
k 1
Равенство нулю главного вектора и главного момента внутренних сил не
означает что эти силы уравновешены. Они приложены к разным
материальным точкам!
4. ДУ движения системы
материальных точек
d 2r1
m1 2  F1e  F1i ,
dt
,
d 2rn
mn 2  Fne  Fni
dt
Пример
m1 x1  m1 g  T1
x2   x1
m2 x2  m2 g  T2
m1 x1  m1 g  T
m2 x1  m2 g  T
T1  T2  T
T2
x1 
m1  m2
g
m1  m2
T
2m1m2
g
m1  m2
T1
m2g
m1g
x
5. Общее замечание
Хотите изучить движение материальной системы – составьте и решите
систему дифференциальных уравнений. Это так, НО
1) практически реализовать такой путь исследования удается только для
систем, состоящих из небольшого числа материальных точек с простыми
связями.
2) как правило, мы не знаем аналитического выражения внутренних сил
и реакций связей.
В теоретической механике разработаны методы, которые позволяют
обойти эти трудности. С этой целью вводятся некоторые величины,
характеризующие движение всей материальной системы (так называемые
меры движения).
1) вектор количества
2) вектор момента количеств движения
3) кинетическая энергия материальной системы.
Зная их характер изменения можно составить частичное, а иногда и
полное представление о движении материальной системы.
6. Количество движения
материальной системы
Количеством движения системы называется векторная величина, равная
геометрической сумме количеств движения всех материальных точек,
n
входящих в систему:
Q   mi v i
i 1
n
n
n
i 1
i 1
i 1
Qx   mi vix , Q y   mi viy , Qz   mi viz
Теорема: Количество движения материальной системы равно массе всей
системы, умноженной на скорость ее центра масс
 dMr0
dri d  n
Q   mi vi   mi
   mi ri  
 Mv 0
dt dt  i 1
dt
i 1
i 1

n
n
Иная формулировка теоремы: количество движения материальной системы
равно количеству движения ее центра масс, если сосредоточить в нем массу
всей системы
7. Пример
Центр масс
Однородный полый цилиндр массы
m = 20 кг катится без скольжения по
горизонтальной плоскости со
скоростью v = 2 м/сек . Определить
количество движения цилиндра.
v0
Количества движения отдельных точек цилиндра имеют различные значения и
направления. Но их главный вектор Q (количество движения всего цилиндра)
совпадает по направлению со скоростью центра масс цилиндра, а его модуль
определяется равенством
Q  mv  40 кг  м / с
8. Теорема об изменении
количества движения
Теорема. Производная по времени вектора количества движения
системы материальных точек равна главному вектору всех внешних сил,
действующих на систему.
dv1
dv 2
e
i
m1
 F1  F1 , m2
 F2e  F2i ,
dt
dt
n
n
dv i
e
m

F
 i dt  k 
k 1
k 1
n
i
F
 k
k 1
dv n
, mn
 Fne  Fni
dt
+
dQ
 Fe
dt
9. Следствия
1. Внутренние силы непосредственно не влияют на изменение количества
движения материальной системы (они могут оказать косвенное влияние
через внешние силы).
2. Если главный вектор всех внешних сил, действующих на систему, равен
нулю, то вектор количества движения материальной системы остается
постоянным по величине и направлению.
dQ
 0  Q  const
dt
закон сохранения количества движения
3. Если проекция главного вектора всех внешних сил, приложенных к
системе, на некоторую неподвижную ось равна нулю, то проекция
количества движения материальной системы на эту ось остается
постоянной.
10. Теорема о движении
центра масс
Теорема. Центр масс материальной системы движется как материальная
точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены
все внешние силы, действующие на систему
dQ
 Fe
dt
Q  Mv0
M
dv 0
 Fe
dt
Необходимо понимать, что центр масс представляет геометрическую точку.
Кроме того, внешние силы фактически приложены не к центру масс, а к
точкам системы. Вместе с тем эта геометрическая точка при движении
системы перемещается по закону, определенному данной теоремой.
11. Следствия
1. Одними внутренними силами нельзя изменить характер движения
центра масс системы.
2. Если главный вектор всех внешних сил, действующих на систему, равен
нулю, то центр масс материальной системы находится в покое или
движется равномерно и прямолинейно.
3. Если проекция главного вектора всех внешних сил системы на
некоторую неподвижную ось равна нулю, то проекция скорости центра
масс системы на эту ось не изменяется
4. Пара сил, приложенная к твердому телу, не может изменить движение
его центра масс (она может вызвать только вращение тела).
12. Примеры
1)
m1v0  0   m1  m2  v
m1
v
v0
m1  m2
2)
3) центр масс Солнечной системы, расположенный вблизи центра Солнца
двигается прямолинейно и равномерно. Наблюдения показывают, что он
перемещается со скоростью 20 км/сек к некоторой точке небесной сферы,
расположенной вблизи звезды Веги и называемой апексом.
13. Теорема Эйлера
Постановка задачи: Вода течет по трубе непрерывной
струей, заполняя сплошь всю трубу, притом движение
установившееся (т. е. в каждой точке давление, величина и
направление скорости остаются неизменными). Пусть
через каждое сечение трубы протекает в секунду объем
воды Q. Труба сделана неподвижной посредством
прикрепления ее к опоре. Требуется определить давление,
производимое трубою на опору, или, наоборот, найти
n2

S
обратную этому давлению реакцию опоры F
2
S2
v
p
2
2
1) Изменение количества движения за время dt
dQ  QS2 S2  QS1S1   Qdt  v 2   Qdt  v1
m
m
v1 p1
S1
n1
F
n1,2 
dQ
  Q  v 2  v1 
dt
2) Действующие силы
а) вес жидкости Vg
б) внешнее давление на входное и выходное сечения
в) реакция опоры на сосуд F
S1
p1S1n1  p2 S2 n2
v1,2
v1,2
14. Теорема Эйлера
3) Теорема об изменении количества движения
 Q  v 2  v1   F  mVg   p1S1n1  p2 S2 n2 
F   Q  v 2  v1    p2 S2 n2  p1S1n1   mVg
Q  v1S1  v2 S2 ; v1  v1n1 , v 2  v2 n2
F
 p




2
2


v
S
n

p


v
2
2
2 2
1
1 S1n1  mVg
Пример
F1  F2
 F3
15. Задача о глупом мальчике
на лодке: нет сопротивления
Нет сопротивления – нет
движения центра масс
16. Задача о глупом мальчике
на лодке: линейное сопр-ние
u скорость лодки
v скорость мальчика относительно лодки
u  v абсолютная скорость мальчика
v(t) периодична с периодом T,
Qx  Mu  m  u  v 
T
Fxe  ku
T
S
период беготни
T
ks
v
S
du
dv
 m  M  dt   ku dt  m dt
dt
dt
0
0
0
0
M
u(t) периодична с периодом T
dQ
 Fxe
dt
du
dv
 m  M   ku  m
dt
dt
T
m
0
Путь, пройденный лодкой за период ks=0
S  S  L  длина лодки
t
17. Задача об умном мальчике
на лодке: нелинейное сопр-ние
u скорость лодки
v скорость мальчика относительно лодки
u  v абсолютная скорость мальчика
v(t) периодична с периодом T,
Fxe
 k u
 1
u
m
M
u(t) периодична с периодом T
 0
Fxe
  1 линейное сопротивление
  2 квадратичное сопротивление
  0 сухое трение
Придумайте тактику мальчика, позволяющую перемещать лодку
Она разная при   1 и   1
u