Красивые множества на плоскости « »

«Красивые множества
на плоскости»
П р и м е р. Изобразим на координатной плоскости
множество точек, заданное условием
у = | x | + x.
При х ≥ 0 |x| = x, и данное условие запишется в виде
у = 2х.
При х < 0 | x | = -x, и тогда данное условие
запишется в виде у = 0.
Таким образом
2х, при х ≥ 0,
у=
0, при х < 0.
Такие графики вы строить умеете.
У
У=2х, при х>0
У=0, при х<0
Х
З а д а н и е. Изобразите на плоскости
множество точек, координаты которых
удовлетворяют условию:
а) y = |x| - x
г) |y| + y = |x| + x
б) y = |x| ∙ x
д) |x| + |y| = 1
х
в) y =—
х
y = |x| - x
При х < 0 у = - х – х = -2х, т. е. У = - 2х
При х > 0 у = х – х = 0, у = 0
у = - 2х, при х > 0
у =0, при х<0
y = |x| ∙ x
При х <0. у = - х х = - х², т.е у =- х²
При х ≥ 0, у = х х = х²
у = х²
у =- х²
х
У=
х
При х<0 у =
х
 1 , т. е. у = - 1
х
у
х
При х≥0 у = х  1 , т. е. у = 1
у=1
1
-1
у=-1
х
|y| + y = |x| + x
При у <0 и х<0 -у +у = -х +х, 0=0, т. е. (0;0)
У
При у<0 и х>0, -у + у = х + х, 0 = 2х, т. е. х = 0
При у > 0 и х <0, у + у = -х + х, 2у = 0, т. е. у = 0
При у > 0 и х > 0, у + у = х + х, 2у = 2х, т. е. у = х
Х
|x|
+ |y| = 1
При х<0 и у < 0 - х – у = 1, т. е. у = -х - 1
у
При х < 0 и у > 0 - х + у = 1, т. е. у = х + 1
При х > 0 и у > 0 х + у = 1, т. е. у = - х + 1
При х > 0 и у < 0 х – у = 1, т. е. у = х - 1
1
1
-1
-1
х
«Геометрическая
интерпретация
неравенств с двумя
переменными»
П р и м е р 1. Выясним, какое множество точек
координатной плоскости задаётся неравенством у > x.
П р и м е р 2. Построим множество точек координатной плоскости, которое
задаётся системой неравенств у < x – 1, y < -x + 3.
Неравенством у < x – 1 задаётся множество точек, расположенных ниже
прямой у = х – 1,
а неравенством у< -x + 3 - множества точек, расположенных ниже прямой
у = -х + 3
Системе неравенств удовлетворяют координаты точек, принадлежащих сразу
двум указанным множествам (рис. 3). Оно показано двойной штриховкой.
П р и м е р 3. Изобразим на координатной плоскости множество точек,
задаваемое системой трех неравенств
x ≥ 0,
y ≥ 0,
1
y ≤ - x + 2.
2
Первыми двумя неравенствами системы задается первый координатный угол
1
В нем заштрихуем ту область, которая расположена ниже прямой у = - 2 х +2.
Получили треугольник вместе с его границами
З а д а н и е 1. Постройте множество точек плоскости, координаты которых
удовлетворяют неравенству:
а) y ≥ -x; б) у ≤ -x; в) у ≥ 2x; г) y≤ -2x + 4.
у = 2х + 4
у = 2х
4
З а д а н и е 2. Какое множество точек на плоскости задаётся
неравенством:
а) у ≥ x2; б) у ≤ x3 ?
у = х2
у
у = х3
х
З а д а н и е 3.Постройте множество точек плоскости,
которое задается системой неравенств:
а
) у ≥ 1/3x,
y ≤ 6,
y ≥ 0;
б) у ≥ x – 1, в) у ≥ |x|,
y ≤ x + 1;
y ≤ 5;
у
у=1/3х
у=6
у=0
х
г)
у ≥ -x + 4,
y ≥ x – 4,
y ≤1/4x + 2.
б) у ≥ x – 1,
y≤x+1
у=х+1
у
у=х-1
1
х
-1
в) у ≥ |x|,
y ≤ 5;
у
У =|x|,
у =5
х
у ≥ -x + 4,
у ≥ х – 4,
у ≤ 1/4х + 2.
У=¼+2
у
у=х-4
4
2
х
-4
у = -х +4
З а д а н и е 4. Покажите штриховкой часть координатной
плоскости, которая расположена ниже каждой из прямых
х + 3у = 15 и 2х + у = 12, ограничена горизонталями у = 0 и
у = 5, а также вертикалями х = 0 и х = 5. Задайте это
множество точек системой неравенств.
2х + у = 12
у
х + 3у ≤ 15
2х + у ≤ 12
у≥0
у≤5
х≥0
х≤5
У=5
х +3у = 15
х
У=0
х=0
х=5
З а д а н и е 5. Какое множество точек координатной плоскости
задается условием:
а) х2 + у2 ≤ 1;
б) х2 + у2 ≥ 9;
в) х2 + у2 ≥ 1,
x2 + y2 ≤ 9 ?
у
у
3
1
1
-1
х
-1
3
-3
-3
х
х2 + у2 ≥ 1,
x2 + y2 ≤ 9 ?
у
1
3
х
З а д а н и е 6. Задайте системой неравенства множество точек
координатной плоскости, показанное на рисунках
у ≥ х²,
у≤4
у ≤ х +2,
у ≤ х -2
у ≥ х²,
у ≤ 2х
х² + у² = 4,
х≥-1,
х≤ 1
«Графики уравнений,
содержащих модули»
-Модуль неотрицательного числа а равен самому числу а;
-Модуль отрицательного числа а равен противоположному
ему положительному числу -а.
П р и м е р 1. Построим график уравнения у = |x2 – 4|.
П р и м е р 2. Построим график уравнения у = x2 – 2|x|.
если х ≥ 0, то у = x2 – 2x;
если х < 0, то у = x2 – 2(-x) = х2 + 2х.
П р и м е р 3. Построим график уравнения у =|||x2| –2| -2|.
-Построим «основной» график, т. е. график уравнения у = |х|
-Подвинем построенный график на 2 единицы вниз; получится график
уравнения у = |х|-2
-Часть графика, расположенную ниже оси х, заменим ее «зеркальным
отражением», т. е. заменим ее линией, симметричной относительно оси х;
получится график уравнения у = ||х|-2|
-Сдвинем построенный в п. 3 график на 2 единицы вниз; получится
график уравнения
у = ||х|-2|-2
-Часть графика, расположенную ниже оси х, отобразим, симметрично
относительно этой оси; получим график уравнения у = |||х|-2|-2|
З а д а н и е 1. Постройте график уравнения:
в) y = |x2 – x – 2|;
.а) y = |2x – 4|;
б) y = |x2 – 3|;
г) y = 6
х
у
у
3
2
х
х
-3
-4
6
y=
х
у
6
у
х
х
y = |x2 – x – 2|;
у
1/2
х
-2 1/4
З а д а н и е 2. Постройте график уравнения:
а) y = |x| -2x;
в) y = (5 - |x|)(|x| + 1);
б) y = x2 + 3|x|;
г) y = (5 - |x|)( x + 1).
а) y = |x| -2x; при х<0 |x|=-х,=> у=-х-2х=-3х
при х≥0 |x|=х ,=>у-х-2х=-х
у
б) y = x2 + 3|x|;при х<0 |x|=-х ,=>у=х²-3х
при х≥0 |x|=х, ,=>у= х²+3х
у
3
-1
1
-1
х
-3
3
х
в) y = (5 - |x|)(|x| + 1) = -|x|² +4|x|+5 = -х² + 4|x| + 5
г) y = (5 - |x|)( x + 1)=-|x|·х + 4|x| +5;
при х<0 |x| = - х, у = х² - 4х + 5
при х≥0 |x| = х, у = - х² + 4х + 5
9
у
у
5
5
1
-5
-2 -1
2
5
х
2
х
З а д а н и е 3. Постройте график уравнения:
а) y = ||x| -3|;
б) y = |||x| - 3| - 3|.
у
3
-3
3
-3
х
б) y = |||x| - 3| - 3|.
у
3
-3
3
х
-3
З а д а н и е 4. Постройте график уравнения:
а) |y| = |x|;.
у
х
б) |y| + |x| = 1
При у<0 и х<0, |y|=-у и |х|=-х , т. е. –у –х = 1, у=-х-1;
у
При у>0 и х<0, |y|=у и |х|=-х, у-х=1, у=х+1
При у>0 и х>0, |y|=у и |х|=х, т. е. у+х=1, у=-х+1
1
При у<0 и х>0, |y|=-у и |х|=х, т. е. –у+х=1, у=х-1
-1
1
х
-1
Домашнее задание.
Постройте график уравнения:
а) |y| ∙ |x| = 1;
б) |y| - |x| =1.
а) |y| ∙ |x| = 1;
1
у 
х
у
1
у
х
х
1
у
х
1
у 
х
б) |y| - |x| =1.
у
1
х
-1
«Бордюры»
Как вырезать бумажные снежинки?
З а д а н и е 1: Возьмите полоску бумаги шириной 5 см и длиной около 20
см. Сложите её «гармошкой» и нарисуйте какой-нибудь рисунок, касающийся
линии сгиба (рис. 10, а). Вырежьте фигуру, оставляя участки на линиях сгиба
неразрезанными, разверните
полученную «гармошку».
Если ленту предварительно сложить вдвое вдоль, а затем «гармошкой», то
получится лента, симметричная относительно горизонтальной оси (рис 11)
.
А эта лента не совсем обычная. У неё нет вертикальных
осей симметрии. Такие ленты вырезаются не ножницами,
а ножом или лезвием: бумага
«наворачивается» на линейку или другую жесткую
основу поперёк, с двух сторон на ней рисуется
одинаковый рисунок, и бумага прорезается до основы.
Таким образом, четные и нечетные слои вырезаются
отдельно
Рис 13
Пусть мы вырезали не симметричный
трафарет (рис. 13, а) передвинем трафарет
вправо на расстояние, равное ширине
трафарета (такое преобразование
называют параллельным переносом).
Получим бордюр, показанный на рисунке
13, б. Отражаясь симметрично
относительно вертикальной оси,
трафарет даст бордюр, показанный на
рисунке 13, в. Если трафарет
поворачивать вокруг точки О (центра
симметрии) на 1800, то бордюр уже будет
иным (рис 13, г). Отражением
относительно горизонтальной оси и
последующим переносом трафарета
получим ещё один орнамент (рис. 13, д).
З а д а н и е 2: Возьмите трафарет, симметричный относительно
вертикальной оси, например, такой, как на рисунке 14. Сколько различных
бордюров можно получить с его помощью? Какие преобразования дают
одинаковые бордюры? Объясните, почему так получается. Вырежьте
трафарет и изобразите эти бордюры.
Рис 14
Определите, сколько разных бордюров получится из
трафарета, симметричного относительно
горизонтальной оси (рис. 15). Какие преобразования
дают одинаковый результат? Почему?
Мы можем взять и трафарет , рисунок которого
совпадает сам с собой при повороте его на 1800 вокруг
центра (точки, лежащий внутри рисунка), например
такой как на рисунке 16.
Рис 15
Рис 16
З а д а н и е 3: Нарисуйте различные бордюры с его помощью.
Совпадают ли результаты каких-либо преобразований?
И последний вид трафарета – трафарет, имеющий две оси
симметрии – вертикальную и горизонтальную (рис. 17).
- Сколько различных бордюров можно
составить из трафарета,
изображенного на рис. 17? Почему?
Рис 17
Итак, мы рассмотрели пять видов трафаретов. Их схематично можно
изобразить так, как на рисунке 18, а-д.
рис18
На Руси издревле старались украсить
терема, церкви. Они придумывали
удивительно замысловатые орнаменты, в
основном цветочные. В XVII в. русский
зодчий Степан Иванов создал свой
орнамент, который назвал «Павлинье око»,
так как он был похож на рисунок пера
павлиньего хвоста.
З а д а н и е 4: Рассмотрите орнамент, изображенный
на рисунке 19, выделите в нем трафарет. Подумайте,
к какому типу можно его отнести. Как получился этот
бордюр?
Рис 19
Определите, из какого трафарета и с помощью
какого преобразования получены бордюры,
показанные на рисунке 20, а-е., 21, а-ж.
Рис 20
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
Рис.21
Нарисуйте какие-нибудь бордюры, используя в качестве трафарета
буквы русского или латинского алфавита.
2. Итоги занятия.
-Ещё раз напомним, какие преобразования мы использовали для создания
линейных орнаментов – бордюров:
1) параллельный перенос ( рис 22, а);
2) зеркальная симметрия:
а) с вертикальной осью (рис. 22, б);
б) с горизонтальной осью (рис. 22, в);
3) поворотная (центральная) симметрия
(рис. 22, г).
Вдумайтесь в названия
этих преобразований и
объясните их.
3. Домашнее задание.
1) Вырезать свои оригинальные ленты.
2) Придумать трафарет и нарисовать с его
помощью разные бордюры.
3) Придумать и нарисовать свои
трафареты пяти видов.

«Паркеты»
Вы, конечно, знаете, что такое паркет. Обычно, паркет
выкладывают из дощечек, имеющих форму
прямоугольника, и чаще всего «ёлочкой». Но составление
паркета может быть и искусством. Им в совершенстве
владели крепостные мастера, создававшие паркеты во
дворцах царей и вельмож
Изображен паркет из правильных
треугольников, переходящий в паркет из
правильных шестиугольников.
Выложить паркет можно и из нескольких
видов правильных многоугольников.
Например, паркет на рисунке 24
составлен из правильных треугольников,
четырехугольников и шестиугольников.
В каждой вершине сходятся треугольник,
два квадрата и шестиугольник.
З а д а н и е 1: Из каких фигур
составлен паркет,
изображенный на рисунке 25?
Какие фигуры сходятся в
каждой его вершине?
Вырежьте из цветной бумаги
необходимые фигуры и
выложите их на столе в виде
такого паркета.
Рис. 25
З а д а н и е 2: Из правильных
восьмиугольников и квадратов можно
сложить паркет так, как показано на
рисунке 26. Найдите величину угла
правильного восьмиугольника.
Рис. 26
Но не только правильные многоугольники могут служить для составления
паркета.
З а д а н и е 3: Вырежьте из бумаги 20 одинаковых произвольных
треугольников. Выложите из них паркет.
Всегда ли это можно сделать? Почему?
З а д а н и е 4: Вырежьте из бумаги 10 одинаковых четырехугольников
произвольного вида и выложите из них паркет.
Объясните, почему это можно сделать. В этом вам поможет
рисунок 27.
Рис. 27
Рис. 28
З а д а н и е 5: Начертите в тетради паркеты из элементов изображенных
на рисунке 28.
З а д а н и е 6: Рассмотрите внимательно паркеты, изображенные на
рисунке 29, они созданы вашими сверстниками. Попробуйте выделить
элемент одного из паркетов и нарисовать его.
3. Домашнее задание.
Придумать свой паркет.

«Орнаменты»
Построить орнамент можно с использованием трафарета. Для этого положим на
лист бумаги линейку, приложим к ней трафарет и обведем контур отверстия
карандашом (рис. 31). Линейка задает нам линию сдвига. Сдвинем трафарет
вдоль линейки и вновь обведем контур отверстия.
Рис. 31
З а д а н и е 1 . Орнамент, изображенный на рисунке 32, построен с помощью
трафарета буквы «ж» параллельным переносом вдоль вертикальной прямой на
1 см. Возьмите какой-нибудь трафарет и постройте с его помощью свой орнамент
Рис. 32
З а д а н и е 2 .Рисовать орнаменты очень удобно на клетчатой бумаге.
Перенесите рисунок 33 в тетрадь и продолжите построение орнамента.
Раскрасьте повторяющийся элемент орнамента. На отрезке, какой длины
сдвигается этот элемент?
Рис.33
З а д а н и е 3 .Нарисуйте от руки орнамент, который получается при
параллельном переносе элемента (рис. 34) вдоль вертикальной прямой.
Рис. 34
З а д а н и е 4 . Орнамент на рисунке 35– часть украшения деревенской
избы. Изобразите повторяющийся элемент этого орнамента.
Рис. 35
З а д а н и е 5 . Элементы древних орнаментов можно встретить и в произведениях
современных мастеров, например на решетке одного из московских мостов (рис. 36)
Рис. 36
З а д а н и е 6 . Постройте орнамент по следующему алгоритму:
1. перенесите четырехугольник в тетрадь (рис. 37);
2. нарисуйте второй четырехугольник, полученный сдвигом первого на 2 клетки
вправо и 2 клетки вверх;
3. нарисуйте третий четырехугольник, полученный сдвигом второго на 2
клетки вправо и 2 клетки вниз;
4. последовательно повторите пункты 2 и 3. Раскрасьте получившийся орнамент.
Рис. 37
З а д а н и е 7 . Орнамент в задании 6 получается с помощью двух параллельных
переносов.
Придумайте и постройте свой орнамент, который также получается с помощью
двух параллельных переносов.
3. Домашнее задание.
Придумайте и постройте
свой орнамент, который
получается с помощью двух
параллельных переносов.