Момент импульса

Закон сохранения момента
импульса системы
материальных точек
Момент силы и импульса
относительно точки и оси
Статика – инженерная наука, изучающая
равновесие твердых тел, находящихся под
действием
сил.
Она
необходима
для
определения
максимально
допустимых
нагрузок.
• Чтобы удержать тело в покое (равновесии),
необходимо выполнение 2-х условий: 
Fi  0
1. Векторная сумма всех сил равна 0

2. Векторная сумма всех моментов сил равна 0

 Мi  0
Момент силы F относительно неподвижной
точки 0 – физическая величина, определяемая
векторным произведением радиус-вектора r,
проведенного из точки 0 в точку приложения

M

 
M  r F  sin  ,

r  sin   l  плечо силы.
F
r
0
l
α




M  M xi  M y j  M z k ,
r


  
M  r F ,

M  псевдовектор.
силы, на силу F.





 
 
 
Mx  r  F ,M y  r  F ,Mz  r  F .
x
y
z
z
F
M
z
M
r
0
Момент силы
относительно
неподвижной оси –
скалярная величина,
равная проекции на
эту ось вектора М
относительно
произвольной точки
данной оси.
Значение Мz не зависит
от выбора положения
точки 0 на оси z.
Момент импульса (количества движения)
материальной точки относительно неподвижной
точки 0 – физическая величина, определяемая
векторным произведением
  
 
L  r  p  r  mv .
L
  
L  r p  sin  ,

r  sin   l  плечо импульса.
p
r
0
l
α




L  Lx i  Ly j  Lz k ,
 
 
 
Lx  r  p x , Ly  r  p y , Lz  r  p z .
r
Момент
импульса
относительно
неподвижной оси – скалярная величина,
равная проекции на эту ось вектора L
относительно произвольной точки данной оси.
  
L  r  p .
L
v
Для движения по
окружности:


  
L  R  mv .
R
 
2
L  Rmvsin v
, R  Rm v  mR .
 
R
v R
Уравнение моментов

dL 
 M.
dt
Математическая справка: d  x  y   dx y  x dy .
dt
dt
dt
   

d    dr    dp 

r  p 
 p  r




  
dt 
dt
dt

L
 v
  F 


dL  
dL 
 
 v  p   
r

F 
 M.


dt 0
dt


 
M
,v  p

 
sin v , p  0


L  M

dL  Производная по времени от
 M . момента импульса относительно
dt
точки
равна
моменту
силы
относительно этой точки.
Производная по времени от момента
импульса относительно оси равна
моменту силы относительно этой оси.
dLy
dLx
dLz
 Mx,
 My,
 M z.
dt
dt
dt
Закон сохранения момента импульса
системы материальных точек
При произвольном движении системы n
материальных
точек:
n


L   Li ,
i 1



dLi
 M i внутр  M i внеш.
dt
F
12
n
n


dLi
  M i внутр   M i внеш .(1)

i 1 dt
i 1
i 1



n
результирующий м ом ент
внутренних и внешних сил
F
r1 - r2
1
2
r1
r2
0
Д ей стви е вн утрен н и х си л своди тся
к п ар н ы м в заи м о д ей стви я м
21


 M i внутр  M внутр ,
n
i 1


 M i внеш  M внеш.
n
i 1





  
 
M 1  r1  F12 , M 2  r2  F21 ,


3 з  н. Ньютона : F12   F21.




 
M 2   r2  F12 
 



  
 
M 1  M 2  r1  r2   F12  r  F12  0,


 
т.к.r  F12 , r , F12  0.
Результирующий момент внутренних сил
в соответствии с третьим законом
Ньютона равен нулю.
n
n


dLi
  M i внутр   M i внеш .(1)

i 1 dt
i 1
i 1



n
результирующий м ом ент
внутренних и внешних сил
В
уравнении
(1)
операции
дифференцирования и суммирования

n 

d
d
L
можно поменять местами:
Li 
 M внеш.

dt i 1
dt
Если внешние силы на систему не действуют,

то 

dL
М внеш  0 
 0  L  const.
dt
Момент импульса замкнутой системы величина
постоянная, т.е. с течением времени не
меняется – закон сохранения момента
импульса.
Закон сохранения момента импульса
является прямым следствием законов
Ньютона и изотропности пространства –
эквивалентности свойств пространства
в различных направлениях.
Во многих задачах, связанных с
вращающимися системами, угловая
скорость вращения ω и момент
импульса можно вычислить с помощью
закона сохранения момента импульса.
Пример: скамья Жуковского, человек на
вращающейся скамье держит в руках пару
гантелей.
R
R
1
ω
1
< ω
2
2
Вращается с угловой
скоростью ω1.
Затем сжимает руки и
прижимает
гантели к себе:
1   2 .
Пусть масса двух гантелей m и R1 таковы, что в
первоначальный момент времени момент
импульса человека Lч1 равен моменту
импульса гантелей Lг1: Lч1= Lг1 (1).
Lг1  R1mv1  R1m1 R1   m1 R .(2)
2
1
Начальный момент импульса системы:
L1  Lч1  m1 R .(3)
2
1
Т.к. Lч1= Lг1
Lч1  m1 R .(4)
2
1
L2  Lч 2  m2 R .(5)
2
2
Во втором случае:
По закону сохранения момента импульса
(уравнение (3) равно (5)):
Lч 2  m2 R  Lч1  m1 R .(6)
2
2
2
1
Lч1  mч1r , (7)
2
Уравнение (7) делим на (8):
Lч 2  mч 2 r .(8)
Lч1 1
2

 Lч 2  Lч1 .(9)
Lч 2  2
1
2
Уравнение (9) подставляем в (6):
2
2
2
Lч1
 m2 R2  Lч1  m1 R1 .(10)
1
Уравнение (4) подставляем в (10):
 2

2
2
m1 R 
 1  m1 R1   2 R2 ,
 1

2
1
 2

2
2
m1 R 
 1  m1 R1   2 R2 ,
 1

2
1
2 R  1R  1R  2 R ,
2
1
2
1
2
1
2
2
R
2 R  R   21R , 2  21 2
;
2
R1  R2 
2
1
2
2
2
1
2
1
R2  R1  2  21.
Аналогичная ситуация возникает,
когда фигурист прижимает руки к себе
и начинает вращаться быстрее.
Гироскоп
• Гироскоп – быстро вращающееся
симметричное твердое тело, ось
вращения которого может изменять
свое направление в пространстве.
Происходит от греческого гиро скоп

 наблюдаю
кружусь
Свойства гироскопа проявляются у
вращающихся небесных тел, снаряда
(пули), роторов турбин, установленных на
судах, волчка, юлы.
На свойствах гироскопа основаны различные
приборы и устройства, применяемые в
технике.
Свойства гироскопа проявляются при
выполнении двух условий:
1. ось вращения гироскопа должна иметь
возможность изменять своё положение в
пространстве;
2. частота вращения гироскопа вокруг своей оси
должна быть много больше скорости
изменения направления оси в пространстве.
Для того чтобы ось гироскопа могла свободно
поворачиваться в пространстве, его обычно
закрепляют на кольцах, так называемая
карданова подвеса. Дискообразное тело – гироскоп
закреплено на оси аа1 – ось
гироскопа, которая может
вращаться вокруг перпендикулярной
ей горизонтальной оси bb1, которая,
в свою очередь, может
поворачиваться вокруг вертикальной
оси dd1.
Все три оси пересекаются в одной
точке, называемой центром
подвеса. Такой гироскоп имеет 3
степени свободы и может совершать
любой поворот около центра
подвеса.
Силами трения в подшипниках и
моментами импульса колец
пренебрегаем.
Пока гироскоп неподвижен, его можно
ориентировать в пространстве любым
образом.
Если гироскоп начинает вращаться с большой
угловой скоростью ω, то при отсутствии
внешних сил (Fвнеш =0) М = 0 и т.е. ось
гироскопа сохраняет свое положение в
пространстве.
y
F
dL
L
L′
M
p
z
F
Если
к
оси
гироскопа
y
приложить пару
сил
F,
то
возникает
x
вращающий
момент М.



F  y; F z  M x 
Ось гироскопа поворачивается вокруг оси z,
а не вокруг х, как это могло показаться.
Это гироскопический эффект.
y
F
dL
L
L′
M
p
x

 dL  
 
M
; dL  Mdt  dL M .
dt
z
За время dt гироскоп
приращение dL и
  получит

станет
L  L  dL.
F
Вектор L′ совпадает с направлением оси
вращения гироскопа.
Если время воздействия мало dt → 0, то даже
если момент сил М велик, dL → 0, т.е.
кратковременное действие сил не приводит к
изменению ориентации оси гироскопа, она
будет сохранять определённое направление
в пространстве.
Гироскоп
Применение:
- навигационные устройства (гирокомпас,
гирогоризонт),
- поддержание заданного направления
движения (автопилот).
При конструировании судов и самолетов
необходимо учитывать гироскопические
силы, возникающие в подшипниках
массивных валов двигателей, роторов
турбин, гребных валов и т.п.
Динамика вращательного
движения абсолютно
твёрдого тела
относительно неподвижной
оси
Основное уравнение
динамики вращательного
движения
При вращении абсолютно твёрдого тела вокруг
неподвижной оси z каждая отдельная точка
движется по окружности постоянного радиуса Ri
с некоторой скоростью vi.
Моменты силы:
z




M  M xi  M y j  M z k ,
ω
F
R
i
Mx и My  0
vi
Закон сохранения момента
импульса:
dLz
 M z.
dt
Момент импульса
относительно точки 0 для i
точки твёрдого тела:
z
ω
vi
R
ai
0
i
ri






 

Li  ri  mi vi   ai  Ri  mi vi .
Проекция на ось z
Li относительно точки 0:





 

Li  ai  Ri  mi vi 
z
z




 ai  mi vi  z  Ri  mi vi .

z




ai  mi vi  z  0 т.к.ai  mi vi   z.
z


ai  mi vi 
vi
ai
z



Ri  mi vi



Ri  mi vi

vi
R
i

z

 Li .
z
Liz  Ri mi vi ,
vi  Ri.  Liz  mi R .
2
i
Твёрдое
тело
–
система
связанных материальных точек.
жёстко
Следовательно, для твёрдого тела:
n
n
n
i 1
i 1
i 1
Lz   Liz  mi Ri2    mi Ri2 .
J i  mi R
2
i
- момент инерции
материальной точки относительно оси z.
n
J z   mi Ri2 - момент инерции твердого тела
i 1 относительно оси z.
n
Lz  Liz - момент импульса (количества
i 1
движения) твердого тела
относительно оси z.

L z  J z .
dLz
 M z.
Закон сохранения момента импульса:
dt
d J z 
d
 Jz
 Jz   M z.
dt
dt
Т.к. координатную ось z приняли
произвольно, индекс можно опустить.
M  J   – основное уравнение динамики
вращательного движения.
В общем случае:

 M

J
– ускорение вращения твердого тела
относительно неподвижной оси прямо
пропорционально моменту всех внешних сил
относительно этой оси и обратно
пропорционально моменту инерции твердого
тела относительно этой оси.
• Физический смысл:
Момент инерции относительно оси – мера
инерции твердого тела при вращательном
движении относительно оси.
Момент инерции.
Теорема Гюйгенса-Штейнера
Момент инерции системы тел –
физическая величина равная сумме
2
ri :
произведений mi на
J   mi  ri .
2
В случае непрерывного распределения
масс сумма сводится к интегралу:
J   r dm   r dV .
2
m
2
V
Кольцо
J  mR .
2
2
Диск, цилиндр
mR
J
.
2
2
l
Стержень
Шар
ml
J
.
12
2
2
J  mR .
5
Теорема Гюйгенса-Штейнера: момент
инерции относительно произвольной оси
равен моменту инерции относительно
параллельной ей оси, проходящей через
центр масс J0, сложенному с
произведением массы тела на квадрат
расстояния между ними а2.
J  J 0  ma .
2
a
l
2
ml
l 1 2
J  J 0  ma 
 m   ml .
12
2 3
2
2
Пример: расчет момента инерции сплошного
цилиндра радиуса R, высотой h.
dr
Разобьем на полые
r
цилиндры r, r + dr, dr→0.
dr  r  dJ  r dm,
2
dm – масса всего полого
цилиндра.
h
dV  2rhdr 
dm  2rhdr 
3
dJ  2hr dr 
R
1
4
2
J   dJ  2h  r dr  hR  , V  R h  
2
0
R
3
1
4
2
J   dJ  2h  r dr  hR  , V  R h  
2
0
R
3
dr
2
r
mR
J
.
2
h
R
Закон сохранения момента импульса АТТ
относительно неподвижной оси

В общем виде
dL 
 M.
dt

В замкнутой системе М  0.
dL
 0,
dt
L  const.
Фундаментальный закон, связан с
симметрией пространства, его
изотропностью, т.е. физические законы
не зависят от выбора направления осей
системы координат.
Скамья Жуковского.
L  J  const.
J
0
 2mR 1  J 0 2  const  1   2 .
2
1
R2  0.
R
R
1
ω
1
< ω
2
2
Кинетическая энергия при
вращательном движении АТТ
Т.к. имеется АТТ, следовательно, для всех
mi ω = const.
mi v
mi 2 2 
J
2
Ек  
   Ri   mi Ri 
.
2
2 
2
i 1
i 1 2
i 1


n
2
i
n
2
2
n
J
Динамика вращательного движения.
Работа и мощность при вращательном
движении относительно неподвижной оси
Основное уравнение динамики
вращательного движения:


M
d
  ; M J
.(1)
J
dt

Закон сохранения момента импульса:
L  J  const.
Кинетическая энергия при вращательном
2
движении:
J
Ек 
2
.(2)
Работа при вращательном движении идёт на
увеличение его кинетической энергии:
dA  dE к .(3)
2
 J 
dA  d 
  Jd.(4)
 2 
Из (1) следует
Jd  Mdt.(5)
Уравнение (5) подставляем в (4):
dA  Mdt  Md.(6)  A  M  .(7)
Мощность:
dA
d
N
M
 M  .(8)
dt
dt
Плоское движение твердого тела
Плоское движение – движение, при
котором все участки траектории любых
двух точек твёрдого тела лежат в
параллельных плоскостях.
Кинетическая энергия складывается из
энергии поступательного движения и
2
2
энергии вращения.
mvc J c
Ек 

,
2
2
vc – скорость центра масс,
Jc – момент инерции относительно оси,
проходящей через центр масс.
Поступательное движение Вращательное движение

r


m

 dr
v
 dt
p  mv
 dp
F

dt
 F
a
m
2
Ек 
mv
2
A  FS; N  Fv
J 
 d

 dt
L  J
 dL
M
dt


M

J
2
Ек 
J
2
A  M;
N  M