lekziya3

Формирование математических
моделей систем
1. Этапы формирования моделей
Разработка любой математической модели (в том
числе
модели
электромеханической
системы)
состоит из следующих этапов:
• Вывод математических уравнений, описывающих
состояние и характеристики системы в целом;
• Определение допущений и начальных условий,
определяемых физическим смыслом задачи;
• Выбор метода решения математических уравнений,
описывающих процессы в системе;
• Интерпретация
результатов
математического
моделирования.
Вывод математических
уравнений
Наиболее сложный и один из важных
моментов
при
математическом
моделировании
это
вывод
математических
уравнений,
описывающих
состояние
и
характеристики системы в целом.
При схемотехническом подходе для
вывода
математических
уравнений
пользуются в основном следующими
методами:
• метод контурных токов;
• метод узловых потенциалов;
• метод уравнения состояния (метод
переменных состояний).
Методы контурных токов и узловых
потенциалов достаточно подробно
изложены в учебниках по
электротехнике и теории электрических
цепей.
При составлении топологических
уравнений с использованием этих
методов получают системы уравнений в
интегро-дифференциальной форме,
которые затем преобразуют в
дифференциальные или интегральные
уравнения.
Метод уравнений состояния или метод
переменных состояний относится к более
универсальным методам и в настоящее
время широко используется для анализа и
синтеза процессов в электронных и
электрических цепях, теории автоматического
регулирования, при анализе
и синтезе адаптивных и
самонастраивающихся систем управления.
Метод основан на формировании и решении
двух матричных уравнений:
dX
  A X   B U ;
dt
Y  C  X   D U ;
где X   X 1 , X 2 , X 3  X n 
– вектор
переменных состояний;
n – порядок сложности схемы (системы);
T
U
– вектор размером q
независимых источников (управляющих,
возмущающих) воздействий;
– вектор размером m выходных
Y
(искомых)
переменных;
A,B,C ,D
– матрицы размером,
соответственно, n х n, n х q, m x n,
m x q, элементы которых определяются
параметрами системы
Определение допущений и
начальных условий
Наличие сложных взаимосвязей между
отдельными элементами
электромеханических систем (ЭМС) не
позволяет разработать и создать
математическую модель, в которой были бы
учтены все эти связи.
Поэтому при разработке математической
модели принимают ряд допущений, которые
направлены на выделение основных связей.
Переход электромеханической системы от
одного установившегося режима к другому не
может происходить мгновенно, скачком. Это
объясняется тем, что каждому
установившемуся состоянию соответствует
определенное значение энергии, запасенной
в инерционных накопителях, изменение
которой происходит только плавно.
Это положение, когда изменение запасенной
энергии представляет собой непрерывную
функцию времени, известно под названием
принципа непрерывности.
Для
электромеханических
преобразователей энергии принцип
непрерывности представляют в виде
закона постоянства потокосцепления в
обмотках статора и ротора.
Сумма
потокосцеплений
в
момент
коммутации (t  0) (изменения
режима работы) остается постоянной
 (0 )  (0 ).


При анализе переходных процессов в
электромеханических системах, как и в
электрических цепях, пользуются
зависимыми и независимыми
начальными условиями.
Под независимыми начальными
условиями следует принимать значения
токов и потокосцеплений, моментов и
сил в момент времени непосредственно
предшествующий коммутации.
Используя независимые начальные
условия находят зависимые начальные
условия, т.е. значения токов и
потокосцеплений, моментов и сил и их
производные в момент времени t  0
Если энергия, запасенная в инерционных
накопителях в момент времени,
непосредственно предшествующий
коммутации, равна нулю, то считают,
что анализ процессов в ЭМС
осуществляется при нулевых
начальных условиях
Если начальный запас энергии не равен
нулю, то ЭМС анализируется при
ненулевых начальных условиях.
Следует помнить, что независимые
начальные условия определяются
исходя энергетического состояния
системы только в момент времени,
непосредственно предшествующий
коммутации (t  0 )
и не зависят от характера процессов,
имеющих место в рассматриваемой
системе до коммутации при (t  0).
Выбор метода решения
математических уравнений
Вторым важным моментом при
математическом моделировании
является решение уравнений,
описывающих процессы в системе. В
зависимости от сложности полученного
математического описания процессов в
рассматриваемой системе и конечной
цели исследований решение уравнений
можно осуществлять:
• классическим методом;
• операторным методом;
• численными методами.
Классический метод решения.
Пусть ЭМС описывается некоторой
неоднородной системой дифференциальных
уравнений (СДУ), и в зависимости от режима
работы ЭМС заданы начальные условия x(0)
для переменных состояния x1, x2,….. xn,.
Тогда для этой СДУ решение задачи Коши
классическим способом может быть найдено
по следующему алгоритму:
1. Выписать однородную систему,
соответствующую заданной неоднородной, и
найти ее общее решение x0(t).
2. Найти частное решение xч (t) неоднородной
системы.
3. Записать общее решение в виде суммы:
x(t) = xч (t) + x0 (t) .
4. Найти частное решение неоднородной СДУ,
удовлетворяющее заданным начальным
условиям x(0).
Другими словами этот этап состоит в
нахождении постоянных интегрирования N.
• При решении однородных СДУ классическим
способом наиболее удобным является метод
сведения решения системы к задаче
отыскания собственных значений и
собственных векторов матрицы
коэффициентов СДУ.
• Его алгоритм следующий:
1. Записать матрицу A коэффициентов перед
неизвестными СДУ.
2. Найти собственные значения и собственные
вектора матрицы A. При этом число
полученных линейно независимых
собственных векторов матрицы A должно
равняться порядку СДУ. В противном
случае система должна решаться другим
методом (например, метод исключения
неизвестных или метод неопределенных
коэффициентов).
3. Выписать все компоненты решения СДУ в
зависимости от типа корней.
Алгоритм нахождения собственных
значений и собственных векторов
матрицы A:
1. Записать уравнение det(A − λ E) = 0,
где E – единичная матрица:
1

0
E 
 ...

0
0 ... 0 

1 ... 0 
,
... ... ... 

0 ... 1 
где λ – собственные значения матрицы A,
и решить его. Данное уравнение
называется характеристическим.
Для каждого полученного собственного
значения λ, i =1,….,n составить систему
линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ):
det(A − λi E)·h(i)
или
 (a11  i )  hi1  a12  hi 2  ...  a1n hin  0

...............................................

(a  h  a  h  ...  (a   )  h  0
nn
i
in
 n1 i1 n 2 i 2
Где
 hi1 
 
h
i 2  - собственный вектор,
(i )

h 
 ... 
 
 hin 
соответствующий собственному значению λ
3. Решить систему для каждого значения
λi , то есть найти собственный вектор h(i)
соответствующий каждому
собственному значению.
Приведем правила нахождения
компонент общего решения линейной
однородной СДУ в зависимости от вида
корней характеристического уравнения,
при затухании свободных
составляющих переходного процесса.
Правило 1.
Корни характеристического уравнения
действительные, различные то есть ,
1  2  ....  n
то общее решение системы записывается
в виде суммы экспонент:
n
x0 (t )   Ni  h  e  N1  h  e  N1  h  e  ...N1  h  e .
(i )
i 1
i t
(1)
1t
(2)
2t
( n)
nt
Правило 2
Корни характеристического уравнения
комплексные, различные.
Среди корней характеристического
уравнения есть комплексный корень
    j
а значит, и сопряженный ему корень
    j
Тогда компонента общего решения
системы, соответствующая этой паре
α ± jβ
корней, записывается в виде
t
t
x0 (t )  N1  Re(h  e )  N 2  Im(h  e )
где N1,N2 – постоянные интегрирования
Частное решение неоднородной
СДУ
Частное решение неоднородной СДУ физически
представляет собой статический режим работы ЭМС,
то есть состояние при
t 
Частное решение неоднородной СДУ, можно получить

при подстановке в СДУ значения t=
. Как
известно, при этом производные обращаются в ноль,
и СДУ превращается в систему алгебраических
уравнений (СЛАУ), которую можно решить одним из
методов линейной алгебры.
Методы решения систем
линейных алгебраических
уравнений
Допустим,
что
модель
электромеханической
системы
представлена в пространстве состояний
следующей системой уравнений
 x1   a11 a12 a13   x1   b1 (t ) 
d  
  

x

a
a
a

x

b
(
t
)

1(
t
)
2
21
22
23
2
2
  

dt   



 x3   a31 a32 a33   x3   b3 (t ) 
Для нахождения частного решения
данной неоднородной СДУ, удовлетворяющей заданным нулевым начальным
условиям x(0), в результате
подстановки t   получают систему
линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ), в которой неизвестными будут
выступать постоянные интегрирования.
Независимые свободные члены в
результате подстановки можно
представить в виде постоянных величин
b1,b2,b3.
Система СЛАУ
Тогда систему СЛАУ можно записать в виде:
 a11 x1 a12 x2

a
x
a
x
21
1
22
2

a x a x
32 2
 31 1
a13 x3   b1 
  
a23 x3    b2 



a33 x3   b3 
Методы решения СЛАУ
Существующие методы решения СЛАУ
подразделяются на два типа – точные и
итерационные. К точным методам относят
методы Гаусса, Крамера и метод обратной
матрицы, а к итерационным – метод простых
итераций, метод Якоби, методы Зейделя и др.
Недостатком итерационных методов является
погрешность решения. Рассматривать будем
только точные ме- тоды решения СДУ.
Метод Гаусса
Метод Гаусса используют при решении
СЛАУ большого порядка.
Он основан на приведении с помощью
элементарных преобразований над
строками расширенной матрицы
системы к ступенчатому виду, когда
элементы ниже главной диагонали
равны нулю.
Расширенная матрица системы состоит из
коэффициентов перед неизвестными и
свободных членов. В методе Гаусса
приведение расширенной матрицы к
ступенчатому виду называется прямым
ходом, после которого осуществляется
обратный ход, при котором находятся
неизвестные.
Под элементарным преобразованиям над
строками понимают умножение строки на
число, отличное от нуля, а также сложение и
вычитание элементов строк.
Метод обратной матрицы
При решении СЛАУ методом обратной
матрицы используется векторная
форма записи системы:
A· x  B,
где A – матрица коэффициентов перед
неизвестными, x – вектор-столбец
неизвестных, B – вектор-столбец
свободных членов.
Решение СЛАУ в этом случае находится
следующим образом:
x  A · B.
-1
Метод Крамера
Метод Крамера является наиболее удобным
при решении систем порядка не выше
третьего. Неизвестные в этом случае
находятся по формуле:

k
xk 
,

где
- главный определитель системы, то
есть определитель матрицы коэффициентов
перед неизвестными;
k
– частный определитель для
неизвестного xk , который получается при
замене столбца с номером k в
выражении для главного определителя Δ
на столбец свободных членов.
Неизвестные системы линейных
алгебраических уравнений можно
записать в данном случае в виде:
1
x1  ,

2
x2 
,

3
x3  .

Метод Крамера очень удобен в
применении, однако его использование
становится сложным при порядке
системы больше третьего.