Построение гемодинамической модели по экспериментальным

Построение гемодинамической
модели по экспериментальным
клиническим данным: обратная задача
А.В. Михайлова (НГУ, Новосибирск)
А.А, Черевко, А.П. Чупахин (ИГиЛ СО РАН, Новосибирск)
А.Л. Кривошапкин, К.Ю. Орлов, В.А.Панарин (ННИИПК, Новосибирск)
Постановка задачи
Обратная задача1:
Построение дифференциального уравнения
описывающего связь между давлением и
скоростью в кровеносном сосуде головного мозга
методами идентификации систем
дифференциальных уравнений2.
Работа основана на клинических данных,
полученных во время реальных операций в
нейрохирургическом центре ННИИПК им. акад.
Мешалкина.
1
2
– А.Н.Тихонов, В.Я.Арсенин, Методы решения некорректных задач
– С.Ф.Редько, В.Ф.Ушаков, В.П.Яковлев, Идентификация механических систем
• По сосуду течет кровь – ньютоновская вязкая
жидкость
• Стенки кровеносного сосуда вязко-упругие
(сложная трёхслойная структура, состоящая
из
эластина,
пронизанного
волокнами
коллагена)
• Внешняя часть стенки сосуда – мышцы,
рефлекторно реагирующие на пульсовую
волну
• Сосуд погружен в мозговое вещество
• Рассматриваются значения давления (P) и
скорости крови (V) в кровеносном сосуде,
измеренные внутрисосудистым датчиком во
время
операции,
заключающейся
в
эмболизации
артерио-венозной
мальформации (АВМ)
Аномалии сосудов головного мозга
АВМ - патологическая связь между венами и
артериями, вследствие которой осуществляется
прямое шунтирование (сброс) крови из артериального
бассейна в венозный.
Лечение:
Внутрисосудистая
хирургия
–
эмболизация
(избирательная заклейка кровеносных сосудов)
До операции
После операции
Влияние АВМ на мозг
• Физиология
«обкрадывание»
близлежащего
мозгового вещества
• Уменьшение
сопротивления
соответствующего
участка кровеносной сети – отсутствие капиллярного
участка
• Значительное увеличение скорости потока крови
• Понижение давления в подводящей артерии
(аференте) и повышение его в дренирующей вене
Нарушение нормального кровоснабжения ,
возможное кровоизлияние (разрыв сосуда)
Клинические данные
(исследуемый промежуток 15 мин,
показания датчика снимаются 200 раз в секунду)
Рентген-снимок АВМ
Скорость
Скорость
Давление
Давление
Плоскость переменных
V и P (без шумов)
По клиническим данным построена
математическая модель – дифференциальное
уравнение типа нелинейного осциллятора
p' '  a1 p'b1 p  a2 p' p  b2 p 2  a3 p' p 2  b3 p 3  ku  l (1)
a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 , k , l  R
Выбор уравнения такого вида обусловлен наличием у него
решений с замкнутыми траекториями (предельные циклы,
притягивающие аттракторы) на фазовой плоскости.
В качестве управляющей величины используется u –
скорость крови. p – величина давления в кровеносном
сосуде.
Ищутся
коэффициенты
дифференциального
уравнения.
Коэффициенты b1 , b2 , b3 отвечают за упругие свойства
кровеносных сосудов.
Коэффициенты a1 , a2 , a3 отвечают за вязкое трение.
• Очистка клинических данных от шумов с помощью
вейвлет-преобразования.
• Дискретизация уравнения с использованием клинических данных
на I 5 . Сведение его к переопределенной системе линейных
уравнений с прямоугольной матрицей 1000х6.
• Сведение к системе с квадратной матрицей 6х6 методами
обратных задач, что дает решение эквивалентной задачи о
минимизации невязки исходной системы.
• Возвращение к дифференциальному уравнению, уже с
известными коэффициентами.
• Решение полученного дифференциального уравнения для
определения давления на I 900, сравнение с клиническими
данными
• Проверка структурной устойчивости полученного
дифференциального уравнения и устойчивости его решения
относительно вариации начальных данных.
• Получены модели для трех пациентов.
• Построение модели эмболизации – изменение коэффициентов
уравнения в процессе операции (один пациент).
Вейвлет разложение
(фильтрация шумов)
Для конечного набора значений функции в равноотстоящие
моменты времени x1 , x2 , ...  x (t0 ), x (  t0 ), ...
используется конечномерная аппроксимация
1
w(r , s ) 
s
 (k  r ) 
xk 


s


k 1
n

где Δ равна шагу по времени, r соответствует сдвигу по оси
времени, а s соответствует растяжениям. В качестве
«материнской» функции ѱ для вейвлета Габора
предлагается функция следующего вида
 ( x) 
1
4

x2
ix
2
e e
в нашем случае значение ω полагается равным 6.
Скорость
30-ти секундный образец
экспериментальных данных
раскладывается по
вейвлетам Габора.
Коэффициенты разложения,
соответствующие
высоким и низким частотам,
положены равными нулю
Давление
До применения
вейвлет-фильтра
После
Определение коэффициентов уравнения по
интервалу I 5 для конкретного больного
Используется дискретный аналог дифференциального
уравнения (1) – разностное, которое получается с помощью
преобразования Ω:
p(t  0)  2 p(t  t )  p(t  2t )
p' ' 
2
t
p (t  t )  p (t  2t )
p' 
t
p  p (t  t )
u  u (t  t )
где t  5 10 3с – отсчет времени.
Разностное уравнение
p(t  0)  c1 p(t  Δt)  c2 p(t  2 Δt)  c3 p(t  Δt)2 
 c4(p(t  Δt)-p(t  2 Δt))p(t  Δt)2  c5 p(t  Δt)3  c6u(t  Δt)
Искомые коэффициенты вычисляются по интервалу I 5 .
Обозначим скорость на этом интервале P0 и давление V0.
Из P0 и V0 вначале вычитаются их средние значения
(тренды) на интервале I 5 ( TP0 , TV0 соответственно).
Затем полученные данные обезразмериваются по
формулам (2a, 2b).
Pd
Pd ,n 
M P0
Pd  P0  TP0
M P0  max Pd
I5
(2a)
Vd
Vd ,n 
M V0
Vd  V0  TV0
M V0  max Vd
I5
(2b)
Расчет шести коэффициентов дифференциального
уравнения осуществляется по 1000 точек, поэтому
мы имеем дело с переопределенной системой
(матрица размера 1000х6). Чтобы решить такую
задачу понадобятся некоторые сведения из теории
некорректных задач.
Пусть q  R , f  R , A − вещественная матрица
размера m n . Псевдорешением системы
n
m
Aq  f
()
называется вектор q П  R , реализующий
минимум нормы невязки
n
J (q)  Aq  f
2
 min
У системы () как правило нет классического решения в силу ее переопределенности
Система уравнений
AT Aq  AT f
()
называется нормальной системой по отношению к
системе ().
Задачи () и () эквивалентны, поэтому
множество решений нормальной системы совпадает
с множеством псевдорешений исходной системы.
В нашем случае система уравнений () имеет вид:
 275.4998 275.1738 - 275.1221 23.7907 0.1826 129.5927   c1   - 223.5897 

   

 275.1738 275.5518 - 274.0964 23.7332 0.0548 129.4101   c 2   - 217.5375 
 - 275.1221 - 274.0964 275.4484 - 23.7751 - 0.3073 - 129.3971  c   229.2806 

 3   

23.7332
- 23.7751 129.5927 0.0439
25.5727   c 4   - 17.2709 
 23.7907
 0.1826
  c   - 1.1880 
0.0548
0.3073
0.0439
0.0482
0.1157

  5 

 129.5927 129.4101 - 129.3971 25.5727 0.1157




73.5139   c 6   - 103.8640 

Матрица системы плохо обусловлена (число
обусловленности A  A -1  8.3885 105 ). Но, в силу
показанной численно структурной устойчивости
полученного дифференциального уравнения,
погрешности в определении коэффициентов слабо
влияют на решение (до 10%).
Возвращаясь к дифференциальному уравнению,
получим:
p' '  5490 p' 33858 p  27439 p' p  79143 p 2 
 36157 p' p 2  74664 p 3  4076 u  3052
Определение коэффициентов уравнения
на 15 минутном промежутке времени
t
• Для определения коэффициентов
уравнения на 15-ти минутном промежутке
времени (охватывающем эмболизацию)
кроме коэффициентов уравнения,
полученных по 5 секундному интервалу,
используются только средние значения P,
V и значения их амплитуд.
Аналогичные результаты получены еще
для двух пациентов с такой же
патологией:
• пациент Ш1, 41 год.
Артерио-венозная мальформация левой лобной
доли размерами 26х20х17мм
Осложнения: Интраоперационный разрыв АВМ
• пациент С1, 24 года.
Артерио-венозная мальформация левой височной
доли размерами 33,5 х 22,5 х 25 мм.
Пациент Ш1
18:23:54 – 18:24:50
18:27:36 – 18:28:30
18:29:12 – 18:29:56
18:29:12 – 18:29:56
Пациент С1
9:24:28 – 9:25:06
9:27:12 – 9:27:56
9:29:04 – 9:29:50
9:29:54 – 9:30:36
• Построена модель - дифференциальное уравнение,
которое хорошо аппроксимирует клинические
данные. Среднеквадратичное отклонение для
пациентов Т1, С1, Ш1 составляет 3-6 %.
Решение этого уравнения структурно устойчиво
(малое изменение коэффициентов уравнения слабо
влияет на поведение решения)
Конкретный больной
Набор коэффициентов уравнения,
различный для больного и здорового состояния
Изменение коэффициентов уравнения в процессе операции
b3
a3
b2
a2
b1
a1
k
l
p' '  a1 p'b1 p  a2 p' p  b2 p 2  a3 p' p 2  b3 p 3  ku  l
Коэффициенты b1 , b2 , b3 отвечают за упругие свойства
кровеносных сосудов, а коэффициенты a1 , a2 , a3
отвечают за диссипацию
PV диаграмма
•
Давление и скорость при фиксированном состоянии пациента (до и после
операции) являются приближенно периодическими функциями времени. Этот
процесс описывается замкнутой кривой (типа предельного цикла) на фазовой
плоскости «скорость-давление».
Медленное изменение коэффициентов
уравнения в процессе эмболизации порождает дрейф предельного цикла в
сторону повышения давления и уменьшения скорости. Этот дрейф описывает
переход из больного состояния в здоровое и отвечает успешной операции.
С помощью коэффициентов,
полученных на пятисекундном
интервале, описано изменение
коэффициентов для промежутка
времени, охватывающего эмболизацию
Больной
Здоровый
операция
«больные»
коэффициенты
уравнения
«здоровые»
коэффициенты
уравнения
Выводы
• Предложен
метод
построения
дифференциального уравнения, описывающего
связь между давлением и скоростью в
кровеносном сосуде головного мозга на
основании клинических данных, полученных во
время реальных операций.
• Метод позволяет вычислять давление по
скорости на больших промежутках времени
(около 10 минут), построив дифференциальное
уравнение по малому промежутку времени
(несколько секунд).
• Метод применен для трех пациентов cо схожими
патологиями. Измерения проводились в одних и
тех же сосудах головного мозга, поэтому
диапазон полученных коэффициентов можно
назвать типичным для данного сосуда.
Спасибо за внимание