МБОУ СОШ №7 Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они созданы из идей... Г.Х. Харди Подготовила: учитель математики Зиновьева Т.В. При решении широкого класса задач с параметром довольно часто оказывается полезным графический метод. Решение задач с параметром графическим методом имеет ряд особенностей. Он основан на нахождении всех точек данной плоскости, координаты которых удовлетворяют заданному в условии задачи соотношению. Графический метод обладает целым рядом преимуществ перед аналитическим: он более нагляден и понятен в случаях, когда необходимо ответить на качественный вопрос или провести анализ множества решений. Однако следует помнить, что универсальных методов и приёмов, пригодных для любой математической задачи, не существует. Поэтому, приступая к анализу той или иной задачи, необходимо выбрать наиболее эффективный из возможных способов её решения. Цель: -показать применение графического метода при решении задач с параметром; -показать наглядность использования ИКТ при решении задач с помощью «живых графиков»; -рассмотреть решение заданий С5 для подготовки к ЕГЭ. Движение прямой вдоль оси Оу и число решений системы. Справочный материал у=kх+b – линейная функция, Г – прямая k – угловой коэффициент, k = tgα b – точка пересечения Г с Оу Если х = 0, то у = b, прямая параллельная Ох Задача. Определить число решений системы в зависимости от у параметра. В { у=2х+b - уравнение прямой, k=2 х2+у2=9 - уравнение окружности, с центром (0;0), R=3 ΔАОН~ΔВОН В(0;b) tgA tg ( BOH ) 2 ВОН : ОВ sin 2 A cos 2 A 1 3 Н 1 cos 2 A 1 4 1 cos 2 A 1 cos 2 A 5 1 cos A 5 1 OB 3 : 3 5 5 tg 2 A 1 2 А ОН 3 cos( ВОН ) cos А О 0 1 3 А1 х ОВ ОВ1 , т.к.АОВ А1ОВ1 В1 (0;3 5 ) Ответ : b 3 5 ; b 3 5 нет _ решений В1(0;-b) b 3 5 , то _ 1 _ решение 3 5 b 3 5 , то _ 2 _ решения Угловой коэффициент прямой и число решений системы. Справочный материал у=kх+b – линейная функция, Г – прямая k – угловой коэффициент, k = tgα Если угол острый, тогда tgα > 0, следовательно k > 0; Если угол тупой, тогда tgα < 0, следовательно k<0; Если α = 90º, то tg90º - не существует, следовательно не существует k. Задача. Определить число решений системы в зависимости от параметра. { у=k(х-5) - прямая, Г ∩ Ох = (5;0) х2+у2=9 - уравнение окружности, с центром (0;0), R=3 у В 3 О Н 3 А 5 х ΔАОВ – прямоугольный, ОА=5, ОН – высота, ОН = R = 3 Найти: tgA АОН прямоуголь ный 3 4 3 3 sin A , cos A , tgA k 5 5 4 4 Учитывая, что прямая с осью Ох образует в данном случае тупой угол, делаем вывод, что k=-3/4 В данном случае прямая с осью Ох образует острый угол и т.к. треугольники равны, то k = 3/4 Задача. Определить число решений системы в зависимости от параметра. { у=k(х-5) - прямая, Г ∩ Ох = (5;0) х2+у2=9 - уравнение окружности, с центром (0;0), R=3 у В 3 О Н 3 А 5 х ΔАОВ – прямоугольный, ОА=5, ОН – высота, ОН = R = 3 Найти: tgA АОН прямоуголь ный 3 4 3 3 sin A , cos A , tgA k 5 5 4 4 3 Ответ : если _ k , то _ 1 _ система _ имеет _ одно _ решение 4 3 3 если _ k ; , то _ система _ имеет _ 2 _ решения; 4 4 3 3 если _ k ; ; , то _ система _ не _ имеет _ решений. 4 4 Плавающая окружность и число решений системы. Справочный материал. (х – х0)2 + (у –у0)2 = R2 (х0;у0) – координаты центра окружности (х;у) – координаты точки, принадлежащей окружности R – радиус окружности Задача. Определить число решений системы в зависимости от параметра. у х а 2 у 2 { 9 -уравнение окружности, центр движется вдоль Ох, R=3 у х 1 - уравнение функции у=|х| со смещением по Ох влево на 1 ед. отр. и отображением относительно Ох. Треугольник – прямоугольный, равнобедренный, катеты равны радиусу, значит гипотенузу можем найти по теореме Пифагора. А -1 В R 2 R 2 18 гипотенуза 3 2 х А(1 3 2 ;0) в _ этой _ точке _ графики _ имеют _ 1 _ общую _ точку система _ при _ а 1 3 2 имеет __ 1 _ решение В(1 3 2 ;0) при _ а 1 3 2 система _ имеет _ 1 _ решение Ответ : если _ а 1 3 2 , то _ 1 _ решение если _ а (;1 3 2 ) (1 3 2;), то _ нет _ решений если _ а (1 3 2 ;1 3 2 ), то _ 2 _ решения Движение параболы вдоль Оу и число решений системы Справочный материал. у = ах2+bх+с, С помощью выделения полного квадрата получим у=k(х-х0)2+у0, где (х0;у0)-координаты вершины параболы Задача. Определить число решений системы в зависимости от параметра. у { у=-0,5х2+b Г – парабола,ветви – вниз, к=-0,5, вершина на Оу У=-3|х+1|+6 (-1;6)-вершина «галочки» 1 решение получим при касании параболы и луча у=-3х+3 при х>-1 -0,5х2+b=-3х+3; х2-6х+6-2b=0; D=0; b = -1,5 2 решения будем иметь до момента касания параболы со вторым лучом «галочки» 3 решения получим при касании параболы и х луча у=3х+9, при х<-1 -0,5х2+b=3x+9 x2+6x+18-2b=0 D=0 ; b = 4,5 4 решения до момента прохождения параболы через точку (-1;6) В момент прохождения параболы через точку (-1;6) имеем: -0,5(-1)2+b=6; b = 6,5 (3 реш.) При дальнейшем увеличении b графики будут иметь 2 общие точки, соответственно система – 2 решения График модуля меняет угловой коэффициент и число решений системы. Справочный материал. у = k|х-а| + b (a;b) – координаты вершины «галочки» k – угловой коэффициент лучей «галочки» Задача. Определить число решений системы в зависимости от параметра. { у p x 2 3 вершина «галочки» (-2;-3) y 2 x 2 ветвь параболы, вершина (0;-2) р=1; решений нет у р=0; р<0; решений нет р>0; одно решение Два решения, если луч «галочки» проходит через точку (0;-2), т.е. р|0+2|-3=-2; р=0,5 Одно решение, если луч касается ветви параболы. Т.е. должно выполняться равенство: 1 х -2 -3 Ответ : 2 х 2 р х 2 3, т.к.х 2, то 2 х 2 р( х 2) 3 2 х рх 2 1; возведем _ обе _ части _ в _ квадрат 1 5 р ;0 ; , то _ решений _ нет 4 р 2 х 2 4 р 2 2 р 2х 4 р 2 4 р 1 0 1 5 р 0;0,5 , то _ одно _ решение 4 4 р2 2 р 1 0 1 5 , то _ два _ решения р 0,5; 4 Д 4 р 2 2 р 1; Д 0, то _ 1 _ корень р 1 5 4 р 1 5 4 Окружность с фиксированным центром меняет радиус и число решений системы. Справочный материал. (х-а)2+(у-b)2=R2 (a,b)-координаты центра R- радиус x2+y2=c2 – уравнение окружности с центром в начале координат (0;0) – координаты центра R=|c|, с – принимает как положительные, так и отрицательные значения. Задача. Определить число решений системы в зависимости от параметра. { х2+у2=с2 -ур-е окружности, (0;0) – центр, R=|c| 3|х|+4|у|=12 - уравнение ромба 4 y 3 5 3 4 x С5; 2011г. Определить, при каком (|х|-5)2+(у-4)2=9 значении параметра система имеет единственное решение. у { (х+2)2+у2=а2 1 случай. х>0 (х-5)2+(у-4)2=9 Ур-е окружности, (5;4)-центр, R=3 (х+2)2+у2=а2 { D ΔАВС-прямоугольный, АС=4; ВС=7. А М По _ т.Пифагора : АВ 65 а ( 65 3) АD 65 3 a ( 65 3) х Н Ур-е окр.,(-2;0)-центр, R=|a| В С 2 случай. х<0 (х+5)2+(у-4)2=9 Ур-е окружности, (-5;4)-центр, R=3 (х+2)2+у2=а2 { ΔМНВ-прямоугольный, МН=4;НВ=3; след. МВ=5 а 5 3 2; а 5 3 8 Ответ : а 2;8;( 65 3) Найди ошибку! С5; 2011г. Определить, при каком (|х|-5)2+(у-4)2=9 значении параметра система имеет единственное решение. у { (х+2)2+у2=а2 1 случай. х>0 (х-5)2+(у-4)2=9 Ур-е окружности, (5;4)-центр, R=3 (х+2)2+у2=а2 { D ΔАВС-прямоугольный, АС=4; ВС=7. А М По _ т.Пифагора : АВ 65 а ( 65 3) АD 65 3 a ( 65 3) х Н Ур-е окр.,(-2;0)-центр, R=|a| В С 2 случай. х<0 (х+5)2+(у-4)2=9 Ур-е окружности, (-5;4)-центр, R=3 (х+2)2+у2=а2 { ΔМНВ-прямоугольный, МН=4;НВ=3; след. МВ=5 а 5 3 2; а 5 3 8 Ответ : а 2;8;( 65 3) Ответ : а 2;( 65 3) С5, ФИПИ, 2013 у Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции f(x) = 2ax + |x2 -8x +7| больше 1. Решение: f(x) > 1 2ax + |x2 -8x +7| > 1 |x2 -8x +7| > -2ax + 1 Рассмотрим обе части неравенства как функции и построим их графики. 1) у = |x2 -8x +7| - график – парабола, часть параболы для у<0 отображаем относительно оси Ох 2) у = - 2ах + 1 , график – прямая, проходящая при любых значениях параметра через точку (0;1) х Прямая проходит через точку (1;0) -2а + 1 = 0 ; а = 0,5 Прямая касается параболы у=х2-8х+7 а2-8а+10=0 х2-8х+7=-2ах+1 Д1=16-10=6 х2-8х+2ах+6=0 а1 4 6 х2-2(4-а)х+6=0 Д1=16-8а+а2-6= а2 4 6 а2-8а+10 Ответ : а (0,5;4 6 ) Реши самостоятельно: Лысенко Ф.Ф., Подготовка к ЕГЭ, 2012г. Вариант 1 ( х 7) 2 ( у 2) 2 9 Найдите все положительные значения параметра а, ( х 3) 2 ( у 1) 2 а 2 при которых система имеет единственное решение Вариант 2 ( х 3) 2 ( у 5) 2 16 у ха 2 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет ровно три различных решения Вариант 3 Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции f(х) = 2ах + |х2 – 8х + 15| больше 1. Ответы: Вариант1 : 2;3 109 Вариант 2 : 4 2 ;6 4 2 ;3 7 1 Вариант 3 : ;4 14 6 Построение графика функции с помощью производной. Решение уравнений с параметром. Справочный материал Исследование функции 1. Найти производную функции. 2. Найти точки экстремума, определить промежутки знакопостоянства. 3. Найти значение функции в точках экстремума. 4. Найти значение функции в дополнительных точках. 5. Построить график функции. Решение уравнения 1. Преобразовать условие уравнения (при необходимости) 2. Рассмотреть левую и правую части уравнений, как функции, и построить их графики. 3. С помощью графической иллюстрации составить ответ. Задача. При каком натуральном значении параметра а уравнение имеет ровно один корень? х х 9х а 3 2 Решим уравнение графически, построив графики функций: у х3 х 2 9 х и у а у х х 9х 3 2 27 у 3х 2 х 9 / 2 у 0, если х 3, х 1 / - + -3 у (3) 27 у (1) 5 + 1 у/ у Графиком функции у а является прямая , параллельная оси х. Графики функций пересекают ся в двух точках, если а 27 и а 5. 1 -5 Ответ: 27 которых уравнение имеет Задача. Найдите все значения р, при единственный корень: 3х 1 32 х 1 2 3х 1 9 р 5 3х 2 1. Преобразуем условие: 3 х 1 32 х 1 2 3 х 1 9 р 5 3 х 2 33 х 2 2 32 х 2 3 х 2 5 9 р 9 3 (3 2 3 1) 5 9 р х 2х х + -1 у 1 9 3 х (3 х 1) 2 5 9 р 0 у 0 0 у 5 ОДЗ ( р ) ; 9 функцию 2. Исследуем с помощью 4 3 производной: у 33 х 2 2 32 х 2 3 х 2 у / 27 33 х 36 32 х 9 3 х 4 , 3 + у/ у х -1 27 33 х 36 32 х 9 3 х 0 / : 9 3 х 3 32 х 4 3 х 1 0, пусть 3 х t , 11 4 1 р 2 59р 3t 4t 1 0, t1 1, t 2 27 3 3 5 59p 0 х p тогда 3 1, х 0 9 1 11 5 p ; 3 х , х 1 Ответ: 27 9 3 у 59р Реши уравнения: 1.При каком наименьшем натуральном значении параметра m 1 3 уравнение х х 2 15 х m имеет ровно один корень ? 3 2.Найдите все значения p, при которых уравнение имеет единственный корень : 23 х 1 2 3 4 х 2 х 2 p 53 x 1 8 3 5 x 1 3 5 x p