Модели стационарных состояний

Системные эффекты
и
теория макросистем
Попков Ю.С.
профессор, чл.-корр. РАН
Институт системного анализа РАН,
кафедра «Системные исследования»
МФТИ – ИСА РАН
popkov@isa.ru
Феноменология макросистемы
М А К Р О С И С Т Е М А
Макроуровень
Макросостояние N  {N 1 ,, N m }
Микроуровень
ресурсы
Вариационный принцип
Модели стационарных состояний
A). С полным использованием ресурсов
H ( N )  max
k (t , N )  qk , k 1, r
Б). С неполным использованием ресурсов
H ( N )  max
k (t , N )  qk , k 1, r
Транспортные потоки 1
Модель транспортных потоков
H ( X )   xij ln
i, j
xij
 max
aij
Ограничения:
А). Балланс
 xij  Pj ,  xij  Qi ,
i
j
Б). Стоимость
 cij xij  T
i, j
В). Пропускная способность
 ijk xij  Wk
i , jk
Транспортные потоки 2
Загрузка УДС в Москве в утренние часы
Транспортные потоки 3
Программный комплекс TransNet. Моделирование транспортных потоков.
Восстановление изображений по проекциям
A) Статические процедуры
Б) Динамические процедуры
Восстановление изображений по проекциям
Энтропийная модель
H ( x, E )   xn ln
n
xn
 (1  xn ) ln(1  xn )  max
En
Проекции
 akn xn  hn ,
k 1, r
n
А) Статическая процедура
H ( x, E 0 )  max,
 akn xn  hk , k 1, r
Б) Динамическая процедура
E t 1  L[ E t , x*t ]
x*t  arg max{ H ( x, E t ) |  akn xn  hkt , k 1, r}
Энтропийно-линейное программирование
H ( y )  max
y  D  { y : Ty  v, T~y  v~}
H ( y )  энтропия
m
  yn ln
n 1
yn
an
  yn ln
yn
 (bn  yn ) ln( bn  yn )
an
v, v~  векторы с положитель ными компонента ми
T , T~  матрицы с неотрицате льными ээлемента и
Мультипликативные алгоритмы
x n1  x n  f  ( x n )
Алгоритмы с p-активными переменными
xkn1(1n )  xkn1 ( n ) f k1 ( n ) ( x n )

p-активные
xknp(1n )  xknp ( n ) f kp ( n ) ( x n )
xkn 1  xkn
1.
2.
k  k1 (n ),, k p ( n )
Проблемы
Мультипликативные алгоритмы с использованием производных
Параллельные вычислительные схемы
Чувствительность и робастность
Математическая модель
I вх
I вых
параметры
Исходная
информация
Чувствител ьность s 
Робастност ь
I вых
I вх


I вых

Наихудшее
I

вх 
  Наихудшее 
Модели стационарных состояний
H ( x, a, G )  max
 tkn xn  qk
k 1, r
n

x*  F ( a, G, T , q)
А) Модели с полным использованием ресурсов (гладкие задачи)
x*   ( (a, G, T , q); a, G, T , q)
 (  ; a, G, T , q)  0
  множители Лагранжа
Б) Модели с неполным использованием ресурсов (негладкие задачи)
Моделирование нестационарных состояний 1
Процессы
Природа процессов
Воспроизведение
Распределение
Участники
Специфические и
неспецифические
элементы
Универсальный
продукт
Факторы
неопределенности
Детерминированный
процесс
Случайный
процесс
Динамические
характеристики
Медленные
процессы
Быстрые
процессы
Моделирование нестационарных состояний 2
А) Эволюция состояния блоков
x i (t )  Fi ( x(t ), Y * (t )),
Y * (t )  локально - стационарн ые состояния распределе ния потоков
Б) Состояние распределения потоков
H (Y , x)  max, Y (t )  D( x)
Автономная модель
x i (t )  Fi ( x(t ), Y * (t ))
Y*
Y * (t )  arg max{ H (Y , x ) | Y  D( x )}
x  F ( x,Y *)
x
Y *  arg max
Y*
Неавтономная модель
x i (t )  Fi ( x (t ), Y * (t ), u(t ))
Y * (t )  arg max{ H (Y , x, v ) | Y  D( x, v )}
u
Y*
x  F ( x,Y *)
x
Y *  arg max
v
Y*
Приложение: пространственная динамика населения
Воспроизводство (медленный процесс)
• рождаемость 
• смертность d
Миграция (быстрый процесс)
• потоки из i в j
xij (t )
Динамика численности населения
n
n
j 1
j 1
N i( t )  (  d ) N i( t )   xij* (t )   x*ji (t )
Локально-стационарные состояния миграционного процесса
H ( X , N )    xij ln
i, j
xij
 max
aij ( N )

 
 
 cijk( N ) xij  qk ( N ), k 1, r

X * (t )  локально  стационарн ые состояния миграционн ого процесса
Динамические модели стохастической сети
Региональная структура сети
X i (t )
— объем информационно-вычислительных
ресурсов в регионе i (медленные переменные)
yij (t )
— информационный поток между регионами I
и j (быстрые переменные)
0  X (t )  M (t )
0  Y (t )  C (t )
или
0  Y (t )  C(t )
Факторы влияющие на изменение информационно-вычислительных ресурсов
• естественное «старение» (зависит от X(t))
• обновление ресурсов (внешнее воздействие U(t))
• информационные потоки (Y(t))
Факторы влияющие на изменение информационных потоков
• информационно-вычислительные ресурсы (X(t))
• объемы потребностей (Q(t))
• информационные потоки (Y(t))
Динамическая модель
dX ~
dY
 F [ X (t ),U (t ), Y (t )];
 Ф[Y (t ), X (t ), Q(t )]
dt
dt
А. Динамика ресурсов
- позитивность
F~i ( X 1 ,, X i 1 ,0, X i 1 ,, X n | U , Y )  0 i 1, n
F~ ( X | U , Y )   ( X ) F ( X ,U , Y ), где  ( X )  0, F ()  
i
i
i
dX
 X  F ( X ,U , Y )
dt
- ограниченность
Fi ( X | U , Y )  0 для X  i
i  { X : 0  X j (t )  M i (t ); X i (t )  M i (t ),
j 1, n; j  i}
Например:
Fi ( X | U , Y )  bi (U , Y )  X i si (U , Y ) i 1, n
Типы моделей
1. Старение с постоянной скоростью и линейным влиянием потоков
Fi ( X , Y )  bi  X i PiY i
bi  const
2. Старение и обновление с постоянной скоростью и линейным влиянием потоков
i i
i
i
i
i
F ( X , Y )  b  b~U  X P Y
b , b~  const
i
i
3. Обновление с постоянной скоростью и линейным влиянием потоков
i i
i
i
i
F ( X ,U )  b~U  X P Y
b~  const
i
P – (m x n) матрица;
Pi – i –я строка матрицы P;
Yi – i –й столбец матрицы Y;
B. Квази-стационарные состояния распределений информационных потоков
max H (Y , X , t )
Y  D( x )
Общая динамическая модель стохастической сети
dX
 X  ( b(U , Y * ( X , t ))  X  s(U , Y * ( X , t )))
dt
Y * ( X , t )  arg max( H (Y , X , t ) | Y  D( x ))
Позитивная динамическая система с энтропийным оператором