Терия вероятностей

Комбинаторика
•
.
Комбинаторика – раздел
математики, посвященный подсчету
количеств разных комбинаций
элементов некоторого, обычно
конечного, множества.
Факториал
Для сокращения записи 12 3 … n было
введено обозначение n! (читается «n
факториал»).
0! = 1
Задача. Вычислите значения следующих
выражений:
а) 1!,
б) 3!,
8!
в) .
6!
Решение:
а ) 1! 1,
б ) 3! 1  2  3  6,
8! 1  2  3  4  5  6  7  8
в) 
 7  8  56.
6!
1 2  3  4  5  6
Элементы теории множеств
Примеры множеств:
• множество всех стульев в комнате,
• множество всех рыб в океане,
• множество всех точек на данной
окружности и т.д.
Все они объединены некоторым общим
признаком.
Предметы, составляющие данное множество,
называются его элементами. Для того, чтобы
указать, что данное множество А состоит из
элементов x, y,…, z, пишут
А = {x, y, …, z}.
Например, множество дней недели состоит из
элементов {понедельник, вторник, среда,
четверг, пятница, суббота, воскресенье}.
Если известно свойство P, которое
связывает элементы данного множества
А, то это множество записывают в виде
А = {x | x обладает свойством P}.
Например,
B = {x  N | x/2} –
множество всех четных натуральных
чисел.
Множество, не имеющее ни одного
элемента, называется пустым и
обозначается .
Примеры числовых множеств.
N = {1, 2, 3, …} – множество всех
натуральных чисел;
Z = {…, - n, …, -2, -1, 0, 1, 2, …, n, …}
– множество всех целых чисел;
m
Q = { | m  Z, n  N} – множество
n
всех рациональных чисел;
R – множество всех вещественных
(действительных) чисел;
C - множество всех комплексных чисел;
{x  R | -1  x  2} - множество всех
действительных чисел, удовлетворяющих
неравенству -1  x  2.
Множество называется конечным, если
оно состоит из конечного числа
элементов. В противном случае,
множество называется бесконечным.
Примеры конечных множеств:
, {}, {0, 1}, {4, 7, 12, 8, 1}.
Множество B называется
подмножеством A, если всякий
элемент множества B является и
элементом множества A.
B  A (или A  B)
NZQR
Два множества равны, если они
состоят из одних и тех же
элементов.
A  B и B  A, то
A=B
ОПЕРАЦИИ НАД
МНОЖЕСТВАМИ
Объединением двух множеств A и B
(обозначение A  B) называется множество
C, элементы которого принадлежат
множеству A или множеству B, т.е.
A  B = {x | x  A или x  B}
A
B
Круги Эйлера
Пересечением двух множеств A и B
(обозначение A  B) называется множество
C, элементы которого принадлежат как
множеству A, так и множеству B, т.е.
A  B = {x | x  A и x  B}
A
B
Разностью множеств A и B (обозначение A \
B) называется множество C, состоящее
только из тех элементов множества A,
которые не содержатся в B, т.е.
A \ B = {x | x  A, x  B}
A
B
В общем случае A \ B ≠ B \ A
Дополнением (до U) множества A называется
множество A всех элементов, не
принадлежащих A, но принадлежащих
универсальному множеству U, т.е.
A = U \ A.
A
A
U
U – универсальное множество такое, что все рассматриваемые
множества являются его подмножествами.
Основные правила комбинаторики.
• Правило сложения:
Если объект а можно выбрать n
различными способами, а объект b –
k различными способами, которые
отличаются n способов, то выбор «или а,
или b» (а + b) можно осуществить n + k
различными способами.
Задача. Имеется 15 билетов в цирк и 6
билетов в кинотеатр. Сколькими
способами можно выбрать один билет?
Решение. Т.к. нам нужно выбрать 1
билет, который был бы или билетом в
цирк, или билетом в кинотеатр (все
билеты разные), то по правилу суммы
получаем:
15 + 6 = 21 способом.
• Правило произведения:
Если объект а можно выбрать n
различными способами, а объект b –
k различными способами, то выбор пары
«а и b» (а  b; одновременно или одно за
другим) можно осуществить n  k
различными способами.
Правило применяется когда каждый способ одного
действия комбинируется с каждым способом
другого действия.
Задача. Сколькими способами можно
выбрать гласную и согласную буквы из
букв слова «учебник»?
Решение. Гласную можно выбрать тремя
способами (у, е, и), а согласную –
четырьмя способами (ч, б, н, к). Т.к.
нужно выбрать гласную и согласную
буквы, то число способов равно
3  4 = 12.
Размещения, перестановки
и сочетания.
• Если из множества, содержащего n
элементов, каким-то способом отобраны m
элементов (m  n), то говорят, что из этого
множества произведена выборка объема m.
• Если порядок расположения
элементов выборки принимают во
внимание, то выборки называют
упорядоченными.
Таким образом, две упорядоченные
выборки считаются различными, если они
отличаются либо составом элементов, либо
их расположением.
• В том случае, когда порядок
расположения элементов не учитывают,
выборки называют неупорядоченными.
Следовательно, две неупорядоченные
выборки считаются различными, если в
одной из них есть хотя бы один элемент,
которого нет в другой.
Например, для множества, состоящего
из трех элементов a, b, c, существуют
три различные неупорядоченные
выборки объема 2 (ab, bc, ac) и шесть
различных упорядоченных выборок того
же объема (ab, bc, ac, ba, cb, ca).
Опр. Размещением из n элементов по k
элементов называется любое
упорядоченное подмножество из элементов
множества n, состоящее из k различных
элементов.
Число размещений из n по k вычисляется
по формуле
n!
A 
(n  k )!
k
n
Читается: «а из n по k».
Задача: В соревновании участвуют 12
команд, сколькими способами они могут
занять призовые места?
Т.к. из 12-элементного множества выбирают
группы по 3 элемента с учетом порядка, то
число способов выбора равно
12!
А 
 12 1110  1320.
9!
3
12
Важен порядок!
Опр. Перестановками из n различных
элементов называется любое
упорядоченное множество, в которое
входят по одному разу все n различные
элементы данного множества.
Количество перестановок множества из n
по k вычисляется по формуле
Pn  n!
•  - 1 перестановка = 0! = 1
кол-во элементов
• {a} – 1 перестановка = 1!
• {a, b}, {b, a} – 2 перестановки = 12 = 2!
• {a, b, c}, {a, c, b}, {c, b, a}, {b, a, c}, {c, a,
b}, {b, c, a} – 6 перестановок = 123 = 3!
• {a, b, c, d} – 24 = 4!
……….
Задача. В команде 6 человек.
Сколькими способами можно
осуществить построение?
Т.к. 6-элементное множество меняет
порядок элементов, то количество
способов равно
P6  6! 720.
• Опр. Сочетанием из n элементов по k
элементов называется любое
неупорядоченное подмножество из k
различных элементов, которые принадлежат
множеству, состоящему из n различных
элементов.
Число сочетаний множества из n по k
вычисляется по формуле
n!
C 
k!(n  k )!
k
n
Читается: «це из n по k».
Задача. Сколькими способами из 33 человек
студенческой группы можно выбрать 5
человек для награждения медалями.
Т.к. из множества, содержащего 33 элемента,
составляют подмножества по 5 элементов, то
число способов равно
33!
C 
 237336.
5!28!
5
33
Порядок не важен!
Свойства числа сочетаний:
1. С  C
k
n
k 1
n1
2. C
nk
n
k 1
n
C
 C ( k  n)
k
n
3. C  C  C  ...  C
0
n
1
n
2
n
n 1
n
C  2 
n
n
число всех подмножеств n–элементного
множества.
n
Бином Ньютона
n
( а  b)   C a
n
k 0
k
n
nk
1 n 1
n
b 
k
C a C a bC a
0
n
n
C
n 1
n
k
n

C
ab
n 1
2
n
n2 2
b  ... 
C b .
n n
n
биноминальные коэффициенты.
Треугольник Паскаля
С 00
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
С 20
1
4

С30
1
С40
С10
С 21
С11
С 31
С41
С 22
С 32
С42
С 33
С43
С44

По краям каждой строки стоят единицы, а каждое
из остальных чисел равно сумме двух стоящих над
ним чисел предыдущей строки.
Сумма всех чисел, стоящих на n-ой строке треугольника равна 2n.
Теория вероятностей
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И
ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Теория вероятностей – это раздел
математики, изучающий
закономерности массовых
случайных событий.
Случайным называется событие,
наступление которого нельзя
гарантировать.
К случайным событиям относятся:
выпадение того или иного числа при
бросании игральной кости,
выигрыш в лотереи и т.п.
Случайным событиям (явлениям)
присущи свои закономерности, но они
проявляются лишь при большом
количестве испытаний.
Испытанием (опытом) называется
совокупность условий, при которых
может произойти данное случайное
событие.
Событие называется случайным по
отношению к данному опыту, если при
осуществлении этого опыта оно может
наступить или не наступить.
События обозначается:
A, B, C ,....
Например, завтра днем ожидается
дождь. В этом примере наступление
дня является испытанием, а
выпадение дождя – случайное
событие.
Достоверное событие – это
событие, которое в результате
испытания непременно должно
произойти.
Например, получение студентом
положительной или отрицательной
оценки на экзамене есть событие
достоверное, если экзамен протекает
согласно обычным правилам.
Невозможное событие – это
событие, которое в результате
испытания не может произойти.
Например, если в урне находятся
лишь цветные (не белые) шары, то
извлечение из этой урны белого
шара есть событие невозможное.
События называются несовместными,
если в результате данного опыта
появление одного из них исключает
появление другого.
Например, при бросании монеты
выпадение одновременно орла и решки
есть события несовместные.
События называются совместными,
если в результате данного опыта
появление одного из них не исключает
появление другого.
Например, при игре в карты появление
валета и масти пик - события
совместные.
События называются
равновозможными, если нет оснований
считать, что одно из них происходит
чаще, чем другое.
Например, выпадение любой грани
игрального кубика есть равновозможные
события.
События образуют полную группу
событий, если в результате опыта
обязательно произойдет хотя бы одно из
них и любые два из них несовместны.
Например, при 10 выстрелах в мишень
возможно от 0 до 10 попаданий.
События, входящие в полную группу
попарно несовместных и равновозможных
событий, называются исходами, или
элементарными событиями.
Совокупность  = А1+ А2 +…+ Аn всех
элементарных событий в опыте
называется пространством
элементарных событий.
Два несовместных события A и A
(читается «не A») называются
противоположными, если в результате
опыта одно из них должно обязательно
произойти.
Например, если стипендия начисляется
только при получении на экзамене
хороших и отличных оценок, то события
«стипендия» и «неудовлетворительная
или удовлетворительная оценка» противоположные.
Событие A называется
благоприятствующим событию B, если
появление события A влечет за собой
появление события B.
Например, при бросании игрального
кубика появлению нечетного числа
благоприятствуют события, связанные с
выпадением чисел 1, 3 и 5.
АЛГЕБРА СОБЫТИЙ
Суммой событий A и B называется
событие A + B  A  B, состоящее
в том, что в опыте произойдет хотя
бы одно из этих событий (возможно
два сразу).
Произведением событий A и B
называется событие AB  A  B,
состоящее в одновременном
появлении этих событий.
AB = 0 – события A и B
несовместные, т.к. событие AB
невозможное событие.
Разностью событий A и B
называется событие A - B,
состоящее в том, что событие A
произойдет, а событие B нет.
Диаграммы Венна
А
A
A B
A
B
AB
A
B
A B
A
B
Например, пусть при бросании
игрального кубика событие А –
появление четных чисел (2, 4, 6), а
событие В – чисел кратных 3 (3, 6).
Тогда событие А – В – появление
чисел (2, 4).
AB  C
B
A
C
ВЕРОЯТНОСТЬ
СОБЫТИЯ
Классическое определение
вероятности
Вероятностью p(A) события А
называется отношение числа
благоприятствующих этому событию
исходов к общему числу всех
равновозможных несовместных исходов
опыта.
k
p ( A)  ,
n
где k – число элементарных исходов,
благоприятствующих событию А,
n – число всех возможных элементарных
исходов опыта.
СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ:
1. Вероятность достоверного события равна
единице.
k n
p( A)    1
n n
2. Вероятность невозможного события равна
нулю.
k 0
p( A) 
n

n
0
3. Вероятность случайного события
находится между 0 и 1.
0  p( A)  1
Задача. В урне 10 белых, 5 красных и 5 зеленых
шаров. Найти вероятность того, что вынутый
наугад шар будет цветным (не белым).
Решение. Опыт: 1 шар из 20.
n = 20 (способов вынуть 1 шар из 20).
Событие А: вынутый шар окажется не белым.
k = 10 (способов вынуть не белый шар из 10
(сумма красных и зеленых шаров)). Тогда
k 10
p( A)  
 0,5
n 20
(шансы исходов, которые приведут к появлению
события А).
Вероятность противоположенного
события
p( A)  1  p( A)
Классическое определение вероятности
события предполагает, что
1) число элементарных исходов конечно,
2) эти исходы равновозможные.
На практике встречаются опыты с бесконечным
числом различных возможных исходов. Существует
сложность обоснования равновозможных конечных
элементарных исходов. В этих случаях используют
статистическую оценку вероятности события.
Отношение числа появлений k события А к
общему числу испытаний n называется
относительной частотой (частостью)
события А.
k
n ( A)  ,
n
0  n ( A)  1
Теорема сложения вероятностей.
Вероятность суммы двух несовместных
событий (АВ = 0) равна сумме
вероятностей этих событий
p( A  B)  p( A)  p( B).
= А1+ А2 +…+ Аn – полная группа
событий, то
p(А1) + p (А2) +…+ p (Аn) = 1.
Сумма вероятностей
противоположенных событий
p( A)  p( A)  1
Вероятность появления хотя бы
одного из двух совместных событий
равна сумме вероятностей этих
событий без вероятности их
совместного наступления, т.е.
p( A  B)  p( A)  p( B)  p( AB).
Теорема умножения вероятностей.
Вероятность события А при условии, что
произошло событие В, называется
условной вероятностью события А и
обозначается
p(A/B) = pB(A).
Читаем: p от A при условии B.
Теорема. Если события А и В
независимы, то независимы
события А и В, а также и события А
и В.
Два события А и В называются
независимыми, если вероятность каждого
из них не зависит от появления или
непоявления другого, т.е.
p( A)  p( A / B)  p( A / B),
p( B)  p( B / A)  p( B / A).
В противном случае события называются
зависимыми.
Вероятность произведения (совместного
появления) 2 независимых событий А и В
равна произведению вероятностей этих
событий:
p( AB)  p( A) p( B).
Этот закон справедлив и для n
независимых событий.
p( A1  A2  ...  An )  p( A1 )  p( A2 )  ...  p( An )
Вероятность произведения (совмещения) 2
зависимых событий А и В равна
произведению вероятности одного из них
на условную вероятность второго,
вычисленную при условии, что первое
событие осуществилось.
p( AB)  p( A) p( B / A)
Задача. В группе из 20 человек 5
студентов не подготовили задание.
Какова вероятность того, что два
первых студента, вызванные наугад,
будут не готовы к ответу.
Решение. Опыт: 2 студента одного за другим
вызывают наугад.
Событие А: вызванные студенты не готовы к
ответу.
Введем события:
А1 – первый студент не готов,
А2 – второй студент не готов.
и А1 и А2  А = А1  А2
События зависимые (происходят
одновременно или один за другим), то
5 4
p( A)  p( A1 ) p( A2 / A1 )    0,05.
20 19
Задача. Слово «лотос» составлено из одинаковых
букв - кубиков. Кубики рассыпаны. Берут наугад
один за другим три кубика. Какова вероятность
того, что при этом появиться слово «сто».
Решение: . Опыт: Берут наугад один за другим
три кубика.
Событие A - проявиться слово «сто».
A1 - первой извлечена «с».
A2 - второй извлечена «т».
A3 - третьей извлечена «о».
(События зависимые)
Представим событие A в виде:
A  A1  A2  A3
Тогда:
р( А)  р( А1 )  р( А2 / А1 )  р( А3 / А1 А2 ) 
1 1 2 1
    .
5 4 3 30
(2 – две буквы «о»)
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ
ВЕРОЯТНОСТИ
Пусть событие А может наступить только
вместе с одним из нескольких попарно
несовместных событий Н1 ,..., Н n ,
образующих полную группу.
Н1 ,..., Н n  гипотезы.
Вероятность события А, которое может
наступить лишь при условии появления
одного из несовместных событий Н1 ,..., Н n ,
образующих полную группу, равна сумме
произведений вероятностей каждого из этих
событий на соответствующую условную
вероятность события А:
n
р( А)   p( H i )  p( A / H i )
i 1
ФОРМУЛА БАЙЕСА
Эта формула решает следующую задачу:
пусть произведен опыт, и в результате него
наступило событие А.
H1, H2,…, Hn - полная группа несовместных
гипотез,
p(Hi) (i = 1, 2,…, n) – вероятности этих
гипотез известны до опыта. Найти
вероятности этих гипотез после опыта, т.е.
условную вероятность p( Н i / А) :
р( Н i ) p( A / H i )
p ( Н i / А) 
p ( A)
ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ
ИСПЫТАНИЯ
Формула Бернулли
Пусть производится n независимых
испытаний, каждое из которых может иметь
2 исхода: «успех» с вероятностью p и
«неудачу» с вероятностью q = 1 – p.
Теорема. Пусть в опыте производится n
независимых испытаний в одних и тех же
условиях, причем некоторое событие A в
каждом опыте появляется с одной и той же
вероятностью p. Тогда вероятность pn(k)
того, что в n опытах событие A произойдет
ровно k раз, вычисляется по формуле
pn (k )  C  p  q
k
n
k
где n - столько раз проводили опыт;
k - число появления соб. A;
p - вероятность появления соб. A;
q - вероятность не появления соб. A,
( q  1  p ).
nk
,
Следствия:
1) Если n  10, то используют формулу
Бернулли.
2)
p(k1  k  k2 )  pn (k1 )  pn (k  1)  ... 
 pn (k2  1)  pn (k2 ).
Вероятность pn (k )
при больших значениях
n
Локальная приближенная
формула Лапласа
( n - велико)
Теорема. Если вероятность p
наступления события A в каждом
испытании постоянна и 0  p  1, то
вероятность pn(k) того, что событие A
произойдет k раз в n независимых
испытаниях при достаточно большом
числе n, вычисляется по формуле
1
pn ( k ) 
  ( x),
npq
k  np
где x 
;
npq
 ( x) 
1
e
2
x2

2
;
 ( x)   ( x)
• Чем больше n, тем точнее
формула.
• Значения функции (x) сведены в
специальную таблицу.
Интегральная формула
Лапласа
Теорема. Если вероятность p
наступления события A в каждом
испытании постоянна и 0  p  1, то
вероятность того, что число k
наступления события A в n
независимых испытаниях заключено в
пределах от k1 до k2 (включительно),
при достаточно большом числе n
приближенно равно
pn (k1  k  k2 )  Ф( x2 )  Ф( x1 ),
t2

2
1 x
где  ( x) 
  e dt 
2 0
интегральная функция Лапласа;
k1  np
k2  np
x1 
, x2 
.
npq
npq
• Чем больше n, тем точнее
интегральная формула Лапласа.
• Значения функции Ф(x) сведены в
специальную таблицу.
• Свойства функции Ф(x):
- Ф(x) – нечетная функция,
- Ф(x) – монотонно возрастающая
функция.
Часть таблицы значений функции Ф(x)
x
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Ф(x)
0
0,192
0,341
0,433
0,477
0,494
0,499
Приближенная формула
Пуассона
Теорема. Если вероятность p наступления
события A в каждом испытании стремится к
нулю (p «мала») при неограниченном
увеличении числа n испытаний (n «велико»),
причем произведение np стремится к
постоянному числу  (np), то вероятность
того, что событие A появится k раз в n
независимых испытаниях, удовлетворяет
предельному равенству
p
(
k
)

p
(

)

n
k
n
lim
n 
  np.

k
k!

e ,
Задача. При выработке некоторой
массовой продукции вероятность
появления одного нестандартного
изделия составляет 0,01. Какова
вероятность того, что в партии 100
изделий этой продукции 2 изделия
будут нестандартными?
Решение. Вероятность p = 0,01 мала, а
число n = 100 велико,
причем  = np = 100  0,01 = 1.
Для искомой вероятности
используем формулу Пуассона и
получим:
2
1 1
p100 (2)  p2 (1)  e  0,184.
2!
Существует таблица значений функции
pn ( k ) 

k
k!
e

для  10.
Случайные величины
Случайной называется величина,
которая в результате опыта может
принять то или иное возможное
значение, неизвестное заранее, но
обязательно одно.
Дискретной (прерывной)
случайной величиной называют
такую случайную величину,
множество возможных значений
которой либо конечно, либо
бесконечно, но обязательно счетно.
Например, количество студентов на
лекции, число новорожденных за
сутки.
Непрерывной случайной величиной
называют такую случайную
величину, которая может принять
любое значение из некоторого
конечного или бесконечного
интервала.
Например, дальность полета
футбольного мяча, температура тела
пациента за определенный
промежуток времени.
Случайные величины: X ,Y , Z ,...;
их значения: x, y, z,....
Операции над
случайными величинами.
X : x1 , x2 ,..., xi ,..., xn ;
Y : y1 , y2 ,..., y j ,..., ym .
Определение.
Суммой X  Y случайных
величин X и Y
называется случайная
величина Z , возможные
значения которой есть
x1  y1 , x1  y2 , x1  y3 ,..., x1  y j ,
x2  y1 , x2  y2 ,..., x2  y j ,...,
xi  y1 ,
xi  y 2 ,
xi  y3 ,...,
xi  y j ,..., xn  y m .
Определение.
Произведением X  Y
случайных величин X и Y
называется случайная
величина Z , возможные
значения которой есть
x1  y1 , x1  y 2 , ..., x1  y j ,
x2  y1 , x2  y2 ,...,
x2  y j ,..
..., xi  y1 , xi  y2 ,..., xi  y j ,..
..., xn  ym .
Определение.
Произведением С X случайной
величины X на постоянную С
называется случайная величина Z,
возможные значения которой есть
Cx1 , Cx2 , Cx3 ,...,
Cxi .
Определение.
m-й степенью случайной величины
m
X, т.е. X , называется случайная
величина, которая принимает
m
значения xi с теми же
вероятностями pi (i = 1, 2,…, n).
Закон распределения
случайной величины
Законом распределения случайной
величины называется всякое
соотношение между возможными
значениями случайной величины и
соответствующими им
вероятностями.
Закон распределения дискретной
случайной величины можно задать
табличным, графическим и
аналитическим способами.
Две случайные величины
называются независимыми, если
закон распределения вероятностей
одной из них не зависит от того
какие возможные значения приняла
другая.
Табличный способ
Пусть
X  x1 тогда
p( X  x1 )  p1;
X  x2 тогда
p( X  x2 )  p2 ;
X  x3 тогда
p( X  x3 )  p3 ;
…………………………………
X  xn тогда
p( X  xn )  pn.
xi
x1
x2
x3
pi
p1
p2
p3
n
p
i 1
i
 1.
……
xn
……
pn
Графический способ
xi
1
2
3
4
5
pi
0,1
0,3
0,2
0,3
0,1
n
p
i 1
pi
Многоугольник
распределения
0,3
0,2
0,1
1
2
3
4
5
xi
(xi, pi) - вершины многоугольника.
i
 1.
Аналитический
способ
Функцией распределения
вероятностей случайной величины X
называется функция F(x), задающая
вероятность того, что случайная
величина X принимает значение,
меньшее x, т.е.
F ( x)  P( X  x),
x  (; ).
Свойства функции распределения:
1. 0  F ( x)  1,
т.к. F ( x)  p( X  x), а 0  p  1.
2. F(x) - неубывающая функция и для   
выполняется равенство
P(  X   )  F (  )  F ( ).
3. На минус бесконечности функция
распределения равна нулю, на плюс
бесконечности – единице, т.е.
F ( x )  1.
lim F ( x)  0, lim
x  
x  
4. pX  x  1  F ( x).
5. F(x) – непрерывная слева функция.
Рассмотрим F(x) для дискретной случайной
величины X. F(x) можно представить как
сумму значений вероятностей по тем
значениям X, которые меньше xi, т.е.
F ( xi )  p( X  xi )   p( xi ).
xi  x
xi
x1
x2
x3
pi
p1
p2
p3
n
p
i 1
i
 1.
……..
……..
xn
pn
x  x1 ,
F ( x)  p( X  x1 )  0;
x1  x  x2 ,
x2  x  x3 ,
F ( x)  p( X  x2 )  p( X  x1 )  p1;
F ( x)  p( X  x3 )  p( X  x1 )  p( X  x2 )  p1  p2 ;
…………………………………………...........
xn1  x  xn , F ( x)  p( X  xn )  p( X  x1 )  p( X  x2 )  ...  p( X  xn1 ) 
 p1  p2  ...  pn1;
x  xn ,
F ( x)  p( X  xn )  p1  p2  ...  pn  1.
x  x1 ;
0,
p ,
;
x

x

x
2
1
1

 p1  p2 ,
x2  x  x3 ;
F ( x)  
..........
..........

 p1  p2  ...  pn 1 , xn 1  x  xn ;

1,
x  xn .
Суммирование производится по тем i, для которых xi  x.
F (x )
1
p1  p2  ...  pn1
...............
p1  p2
p1
x1 x 2 x3 ........ x n
График функции F(x)
pi
Плотность
распределения
вероятностей
Плотность распределения
вероятностей f(x) является
разновидностью закона
распределения для непрерывных
случайных величин.
Пусть X - непрерывная случайная величина.
Рассмотрим вероятность попадания
значений случайной величины в некоторый
интервал ( x; x  x) :
P( x  X  x  x)  F ( x  x)  F ( x).
Разделим обе части на  x
P( x  X  x  x) F ( x  x)  F ( x)

и
x
x
P( x  X  x  x)

lim
x
x 0
F ( x  x)  F ( x)
 lim

x
x 0
 F ( x)  f ( x).
Дифференциальной функцией
распределения или плотностью
распределения вероятностей f(x)
непрерывной случайной величины X
называется первая производная
интегральной функции
распределения F(x).
График дифференциальной функции
распределения f (x) называется кривой
распределения:
f (x )
x
При возрастании числа значений случайной величины (n∞) и увеличении
количества интервалов на графике, уменьшаются их ширины (x0) и функция
распределения вместо ступенчатого, принимает плавный характер.
Свойства плотности распределения
вероятности:
1. Для x f ( x)  0.
2. Для f (x ) имеет место равенство
b
P(a  X  b)   f ( x)dx  F (b)  F (a).
a

3.
 f ( x)dx  1.

x
4. F ( x) 
 f ( x)dx.

Числовые характеристики
случайных величин.
При решении ряда задач нет необходимости
знать все возможные значения случайной
величины и соответствующие им вероятности,
удобнее пользоваться некоторыми
количественными показателями, которые в
жатой форме дают достаточную информацию о
случайной величине. Такие показатели
называются числовыми характеристиками
случайной величины. Основными из них
являются: математическое ожидание,
дисперсия и среднее квадратическое
отклонение.
Математическое ожидание
характеризует положение случайной
величины на числовой оси, определяя
некоторое среднее значение, около
которого сосредоточены все возможные
значения случайной величины.
Математическое ожидание M(X)
дискретной случайной величины X равно сумме
произведений всех возможных ее значений на
соответствующие вероятности:
n
M ( X )   xi  pi .
i 1
Математическое ожидание M(X)
непрерывной случайной величины X с
плотностью распределения f(x) равно
b
 x  f ( x)dx.
a
В общем случае

M (X ) 
 x  f ( x)dx.

Математическое ожидание является
центром распределения вероятностей
случайной величины X.
f(x)
M(X)
x
Свойства математического ожидания:
1. M (C )  C.
2. M (C  X )  C  M ( X ).
3. M ( X  C )  M ( X )  C.
4. Если X, Y - независимые случайные величины,
то
M ( X  Y )  M ( X )  M (Y ).
5. Если X, Y - независимые случайные величины,
то
M ( X  Y )  M ( X )  M (Y ).
6. M ( X  M ( X ))  0.
Другой характеристикой центра
распределения является срединная точка,
или медиана. Медиана Ме равна такому
значению случайной величины, которое
делит пополам площадь под кривой
плотности распределения.
Мода – это значение случайной
величины, имеющее наибольшую
вероятностью.
Пример 1.
xi
2
5
8
19
p i 0,2 0,3 0,4 0,1
M ( X )  2  0,2  5  0,3  8  0,4  19  0,1  7.
Пример 2.
при x   ; 1,
0



(
x

1
)
при
x

1
;
2
,

f ( x)  


(

x

3
)
при
x

2
;
3
,

0


при
x

3
;

.


M ( X )   x  f ( x)dx 

1
2
3

2

1
2
3
1
  x  0dx   x  ( x  1)dx   x  (3  x)dx   x  0dx   ( x 2  x)dx 
3
  (3x  x 2 )dx 
2
2
x x 
   
 3 2 1
3
2
2
 3x x 
 
   2.
3 2
 2
2
3
f (x )
2
1
2
3
xi
Дисперсией (рассеянием) D(X)
случайной величины X называют
математическое ожидание квадрата
отклонения этой величины от её
математического ожидания.
D( X )  M ( X  M ( X )) ,
2
где M(X) - математическое ожидание
случайной величины X,
(X - M(X)) - отклонение.
Для дискретной
n
D( X )   ( xi  M ( X ))  pi ,
2
i 1
для непрерывной

D( X )   ( x  M ( X ))  f ( x)dx.
2

Задача. Случайная величина задана
следующим рядом распределения
xi -1
0
1
2
p i 0,1 0,3 0,4 0,2
Найти математическое ожидание и
дисперсию этой величины.
Решение. Дана дискретная случайная
величина. Результаты вычисления
сведены в таблицу.
x
p i xi pi xi  M (X ) ( xi  M ( X )) ( xi  M ( X )) pi
-1
0
1
2
0,1 -0,1
0,3 0
0,4 0,4
0,2 0,4

2
2
1
0,7
M(X) = 0,7;
D(X)= 0,81.
-1,7
-0,7
0,3
1,3
2,89
0,49
0,09
1,69
0,289
0,147
0,036
0,338
0,81
Задача. Случайная величина задана
плотностью вероятности:
0 при x   ; 0,

f ( x)  2 x при x  0; 1,

0 при x  1; .
Найти математическое ожидание и
дисперсию этой величины.
Решение. Дана непрерывная случайная
величина.
Математическое ожидание:

M ( X )   x  f ( x)dx 

0

1
1
  x  0dx   x  2 xdx   x  0dx   2 x dx 
2

2x

3
0
31
1
2 1 2  0 2


 .
3
3
3
0
3
3
0
Дисперсия:

2
2

D ( X )   ( x  M ( X ))  f ( x)dx    x   2 xdx 
3

0
1
2
2

8x 8x 
 2 4x 4 
3
 x 
 2 xdx    2 x 
 dx 
3 9
3
9 
0
0
1
1
1
x
4x
2x 
1 4 2 1
  2     .
 2 

9
9 0
 4 9 9  18
 4
4
3
2
Формула для вычисления дисперсии
случайной величины:
D( X )  M ( X )  ( M ( X )) .
2
Читается: разность между математическим ожиданием
квадрата случайной величины и квадратом ее
математического ожидания.
2
Дисперсия D(X) характеризует
рассеивание (отклонение) случайной
величины относительно
математического ожидания.
Дисперсия – всегда положительное
число.
Свойства дисперсии:
1. D ( X  Y )  D ( X )  D(Y ).
2. D (C )  0.
2
3. D(C  X )  C  D( X ).
4. D( X  C )  D( X ).
5. D( X  M ( X ))  D( X ).
Среднее квадратическое
отклонение:
 ( x)  D( X ).
Законы распределения
непрерывных
случайных величин
• Равномерное
распределение
Непрерывная случайная величина X, все
возможные значения которой
заполняют конечный промежуток [a, b],
называется равномерно
распределенной, если ее плотность
вероятности f(x) постоянна на этом
промежутке.
при x  a ;
0
 1
f ( x)  
при a  x  b ;
b

a

при x  b.
0
f (x )
1
ba
a
ba
M (X ) 
,
2
b
x
(b  a)
D( X ) 
.
12
2
0 при x  a ;
 x  a
F ( x)  
при a  x  b ;
b

a

при x  b.
1
F(x)
1
a
b
x
• Нормальное
распределение
Непрерывная случайная величина X
имеет нормальное распределение
вероятностей (закон Гаусса) с
параметрами a и , если ее
плотность распределения задается
формулой:
f ( x) 
1
  2
e
( x a )

2
2
2
где a = M(X) – математическое ожидание
случайной величины;
2 = D(X)– дисперсия случайной величины;
 - среднее квадратическое отклонение.
,
Основные свойства графика
нормального распределения:
1. D(f) = (-; +).
2. f(x) > 0.
3. Предел функции f(x) при неограниченном
возрастании x равен нулю, т.е. ось Оx является
горизонтальной асимптотой графика функции.
4. Функция
f(x)
имеет
в
точке
x
=
a
максимум,
1
равный  2 .
5. График функции f(x) симметричен относительно
прямой x = a .
6. Кривая нормального распределения в точках x =
a   имеет перегиб.
Параметр a характеризует положение
графика на числовой оси, а 
характеризует степень сжатия или
растяжения графика относительно оси a.
Площадь под кривой во всех случаях
должна быть одинаковой и равной 1.
Если случайная величина подчинена
нормальному закону распределения с
параметрами a и , то это можно записать
X  N (a, ).
Вероятность попадания в заданный
интервал нормальной случайной
величины.
Для этого используем интегральную функцию
Лапласа.
   a    a 
P(  X   )  Ф
  Ф
.
     
Вероятность того, что отклонение случайной
величины X, распределенной по
нормальному закону, от математического
ожидания не превысит величину || > 0,
вычисляется по формуле

P ( X  a   )  2  Ф


.

Правило «трех сигм»:
Если случайная величина X распределена
по нормальному закону, то ее значения
практически не выходят за интервал
(a – 3; a + 3).
Нормальный закон распределения
вероятностей находит применение в
теории ошибок, теории стрельбы,
физике и т.д.
• Показательное
(экспоненциальное)
распределение
Случайная величина X распределена по
экспоненциальному закону, если ее плотность
распределения имеет вид:
при x  0 ,
0
f ( x )   -x
e при x  0 .
f(x)
1
x
Функция распределения случайная величина
X, распределенной по экспоненциальному
закону, имеет вид:
при x  0 ,
0
F ( x)  
- x
(1  e ) при x  0 .
F(x)
1
x
M (X ) 
D( X ) 
1

1

2
Законы распределения
дискретных
случайных величин
• Биномиальное
распределение
Дискретная случайная величина X имеет
биномиальный закон распределения, если
она принимает значения 0, 1, 2, …, n с
вероятностями
pn (k )  C  p  q
k
n
k
nk
,
где 0 < p < 1, q =1 – p, k = 0, 1, …, n.
Биномиальным называют распределение
вероятностей, определяемое формулой
Бернулли.
Бином Ньютона
n 1
(q  p)  C q  C pq
n
 ...  C
n 1
n
0
n
n 1
n
1
n
C p q
2
n
p qC p .
n
n
n
n
(q  p)  1  1, т.к.  pi  1.
n
n
i 1
2
n2

Биномиальный закон в виде таблицы:
1
xi 0
n
1
n 1
p i q Cn pq
…
…
k
… C p q
k
n
k
nk
…
n
p
n
Первый член разложения определяет
вероятность того, что событие не появится ни
разу, а последний член определяет вероятность
наступления рассматриваемого события n раз в n
независимых испытаниях.
M ( X )  np,
D( X )  npq.
Биномиальный закон распределения
широко используется в теории и
практике статистического контроля
качества продукции, при описании
функционирования систем массового
обслуживания, в теории стрельбы и
других областях.
Задача. Монета брошена 2 раза.
Написать в виде таблицы закон
распределения случайной величины X –
числа выпадений «герба».
Решение. Вероятность появления
«герба» в каждом бросании монеты p =
1/2, а вероятность непоявления «герба»
q = 1- ½ = ½.
При двух бросаниях монеты «герб» может
появится либо 2 раза, либо 1 раз, либо
совсем не появится.
Таким образом возможные значения X :
x1 = 2, x2 = 1, x3 = 0.
Найдем вероятности этих значений по
формуле Бернулли:
2
1
p2 (2)  C p     0,25
2
1 1
1
p2 (1)  C2 pq  2    0,5
2 2
2
2
2
2
1
p2 (0)  q     0,25
2
2
Закон распределения:
xi
0
1
2
pi
0,25
0,5
0,25
Контроль: 0,25 + 0,5 + 0,25 =1.
• Распределение
Пуассона
Дискретная случайная величина X
распределена по закону Пуассона, если она
принимает значения 0, 1, 2, … с
вероятностями
pn ( k ) 
где k = 0, 1, 2, …
k 
e
k!
,
Ряд распределения закона Пуассона:
xi
0
pi e
1

e
2
2 
e

…
…
2!
k
k 
e
k!
n
 pi  1.
i 1
M ( X )  D( X )   .
…
…