ОТЗЫВ_Mахнев - ИММ УрО РАН

ОТЗЫВ
научного руководителя о диссертации Хамгоковой Мадианы Мухадиновны
«Расширения обобщенных четырехугольников и их автоморфизмы»,
представленной на соискание ученой степени кандидата
физико-математических наук по специальности 01.01.06
- математическая логика, алгебра и теория чисел
Изучение комбинаторно симметричных графов является одним из
наиболее важных направлений в теории графов. Это направление тесно
связано с теорией групп. Например, изучение сильно регулярных графов, в
частности, графов ранга 3 привело к открытию некоторых спорадических
конечных простых групп.
Задача описания локально GQ(s,t)-графов (графов, в которых
окрестности вершин являются точечными графами для GQ(s,t)) является
классической. Первоначально предполагалась флаг-транзитивность действия
группы автоморфизмов на соответствующей диаграммной геометрии (П.
Камерон, Д. Хьюз, А. Пасини, С. Ешиара, и др.). Без дополнительных
предположений задача решена для s < 4 (Ф. Бюкенхаут и К. Юбо для s = 2,
А.А. Махнев и Д.В. Падучих, независимо Д. Пасечник для s = 3).
М.М. Хамгоковой была предложена задача описания вполне
регулярных локально GQ(s,t)-графов для небольших значений s и t, а также
изучения возможных групп автоморфизмов полученных графов.
При изучении локально GQ(4,t)-графов классификация для t=2 была
получена еще в 2001 г. (А.А. Махнев и Д.В. Падучих). Затем в работе
наступил перерыв до 2010 г., когда Д.В. Падучих обнаружил, что с помощью
программы GAP можно не только классифицировать гиперовалы в известных
обобщенных четырехугольниках, но и находить их пересечения.
В диссертации этот метод был применен при изучении локально
GQ(4,4)-графов и локально GQ(5,3)-графов, а также при исследовании
локально GQ(4,6)-графов, в которых окрестность некоторой вершины
является известным обобщенным четырехугольником.
В главе 2 диссертации доказано, что вполне регулярных локально
GQ(4,4)-графов нет (теорема 1) и получено описание вполне регулярных
локально GQ(4,6)-графов. Особенно интересным представляется
Следствие 2.2. Пусть Γ является связным вполне регулярным локально
GQ(4,6)-графом, в котором окрестность некоторой вершины является
известным обобщенным четырехугольником. Тогда Γ --- дистанционно
регулярный граф с массивом пересечений {125,96,1;1,48,125}.
Изучение локально GQ(5,t)-графов было начато для случая t = 5 в связи
с тем, что окрестность каждого треугольника в изорегулярном графе Izo(4)
является обобщенным четырехугольником
Падучих).
GQ(5,5) (А.А. Махнев и Д.В.
В главе 3 диссертации изучены вполне регулярные локально GQ(5,3)графы.
Теорема 3.1. Пусть Γ --- связный вполне регулярный локально
GQ(5,3)-граф. Тогда выполняется одно из утверждений:
(1) диаметр Γ равен 2, Γ имеет параметры (322,96,20,32) и спектр
961,4252,-1669;
(2) диаметр Γ равен 4 и либо µ = 8, либо Γ --- дистанционно регулярный
граф с массивом пересечений {96,75,16,1;1,16,75,96};
(3) диаметр Γ равен 3 и µ = 8,12,16,18,20,24.
Результаты теоремы 3.1 удалось существенно уточнить с помощью
теории AT4(p,q,r)-графов. Пусть Γ --- дистанционно регулярный граф
диаметра d > 2 и θ0 > θ1 > … > θd --- собственные значения Γ. Тогда
выполняется фундаментальная граница
(θ1 + k/(a1 + 1))( θd + k/(a1 + 1)) ≥ - ka1b1/(a 1+1)2.
Недвудольный граф, для которого достигается равенство в
фундаментальная границе, называется плотным. Антиподальный граф
диаметра 4 является плотным тогда и только тогда, когда q4 11 = 0. Если Γ --плотный граф с окрестностью вершины, имеющей неглавные собственные
значения p,-q, то все параметры Γ выражаются через p,q,r. В этом случае Γ
называется антиподальным плотным графом диаметра 4 с параметрами p,q,r
(AT4(p,q,r)-графом).
Теорема 3.2. Пусть Γ является дистанционно регулярным графом, в
котором окрестность каждой вершины является псевдогеометрическим
графом для обобщенного четырехугольника GQ(5,3). Тогда либо диаметр Γ
равен 2 и Γ имеет параметры (322,96,20,32) или (697,96,20,12), либо Γ --граф с массивом пересечений {96,75,16,1;1,16,75,96}.
Следствие 3.2. Если Γ является дистанционно регулярным графом, в
котором окрестность каждой вершины является точечным графом для
GQ(5,3), то диаметр Γ равен 2 и Γ имеет параметры (322,96,20,32).
В заключительной главе диссертации изучены возможные порядки и
подгрфы неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярного графа с
параметрами (322,96,20,32). Эти результаты существенно уточняются в
случае, когда окрестности вершин графа являются точечными графами для
GQ(5,3) (теорема 4.2).
Результаты диссертации докладывались на международных научных
конференциях и семинарах.
Считаю, что диссертационная работа «Расширения обобщенных
четырехугольников и их автоморфизмы» удовлетворяет требованиям ВАК,
предъявляемым к кандидатским диссертациям по специальности 01.01.06 –
математическая логика, алгебра и теория чисел, а ее автор, Хамгокова
Мадина Мухадиновна, заслуживает присуждения ей ученой степени
кандидата физико-математических наук.
Научный руководитель, зав. отделом
алгебры и топологии ИММ УрО РАН
член-корр. РАН
11 августа 2014 года
А.А. Махнев