ОТЗЫВ научного консультанта о диссертации Нировой Марины Сефовны «Конечные геометрии, графы, их расширения и автоморфизмы», представленной на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальностям 01.01.04 – геометрия и топология и 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел Изучение комбинаторно симметричных графов является одним из наиболее важных направлений в теории графов. Это направление тесно связано с теорией групп. Одной из главных задач этой теории является классификация дистанционно транзитивных графов. С другой стороны, классификация дистанционно регулярных графов представляется неразрешимой задачей. Речь может идти об описании конкретных классов дистанционно регулярных графов. Комбинаторно симметричные графы часто строятся с помощью конечных геометрий. Возникают и обратные задачи -- построение конечных геометрий по заданным графам. Многие авторы изучали однородные расширения частичных геометрий (Камерон П., Пазини А., Хобарт С., Хьюз Д., Дель Фра А. и др.). Заметим, что точечный граф сильно φ-однородного расширения частичной геометрии pGα(s,t) является псевдогеометрическим для pGφ(s+1, st/α). Задача изучения локально GQ(s,t)-графов (графов, в которых окрестности вершин являются точечными графами для GQ(s,t)) является классической. Эта задача решена для s < 4 (Ф. Бюкенхаут и К. Юбо для s = 2, А.А. Махнев и Д.В. Падучих, независимо Д. Пасечник для s = 3). Хорошо известно, что связный граф с b1 = 1 является многоугольником или полным многодольным графом с долями порядка 2. Графы с 2 ≤ b1 ≤ 5 были изучены в работах А.А. Махнева и его учеников. Локально циклические графы привлекают внимание топологов и специалистов по теории графов. В.П. Буриченко и А.А. Махнев нашли массивы пересечений дистанционно регулярных локально циклических графов с не более 1000 вершинами. Ими была предложена программа классификации реберно симметричных графов с массивами из этого списка. При изучении t-изорегулярных графов наиболее интересной представляется задача существования точно 4-изорегулярных графов. Такой граф является псевдогеометрическим для pGr(2r,2r3+3r2-1) и обозначается Izo(r). Известно существование графа Izo(r) только для r, равного 1 или 2. Дж. Кулен предложил задачу классификации дистанционно регулярных графов, в которых окрестности вершин сильно регулярны со вторым собственным значением, не большим данного натурального числа t. Известно, что сильно регулярный граф с нецелым собственным является графом с параметрами (4n+1,2n,n-1,n). Далее, А.А. Махнев доказал, что 1 вполне регулярный граф, в котором окрестности вершин сильно регулярны с k = 2µ, имеет диаметр 2 или является графом Тэйлора. Таким образом, задача Кулена может быть решена пошагово для t = 1, 2, … . Случай t = 1 был рассмотрен А.А. Махневым, Л. Кардановой и независимо Дж. Куленом и его учениками. Хорошо известно, что имеются 30 наборов параметров неизвестных сильно регулярных графов с числом вершин, не большим 100. Бехбахани и Лама установили, что только 11 из них могут отвечать реберно симметричным графам. В диссертации М.С. Нировой решаются вышеуказанные задачи, при этом завершаются программы исследований - дистанционно регулярных локально $GQ(4,t)$-графов, - примитивных дистанционно регулярных реберно симметричных локально циклических графов с числом вершин, не большим 1000, - дистанционно регулярных расширений сильно регулярных графов с собственным значением 2, - реберно симметричных сильно регулярных графов с числом вершин, не большим 100. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. В первой главе изучены сильно (s-2)-однородные расширения частичных геометрий и завершена классификация дистанционно регулярных локально GQ(4,t)-графов. Отметим, что s-однородные и сильно (s-1)-однородные расширения частичных геометрий были изучены в кандидатской диссертации М.С. Нировой. В главе 2 изучены вполне регулярные графы с b1 = 6, сильно регулярные графы с b1 < 24 и примитивные дистанционно регулярные графы с λ = 2 и числом вершин, не большим 1000. В главе~3 решаются некоторые задачи, связанные с точно 4изорегулярными графами. А именно, найдены возможные порядки автоморфизмов графов Izo(r), подграфы неподвижных точек которых являются пустыми, кликами или кокликами. В главе 4 представлена программа изучения вполне регулярных графов, в которых окрестности вершин сильно регулярны с собственным значением 2. Приведены результаты, завершающие указанную программу. Кроме того, доказано, что новых реберно симметричных сильно регулярных графов с числом вершин, не большим 100, нет. В главе 5 найдены массивы пересечений дистанционно регулярных графов с λ = 2 и числом вершин, не большим 4096. Особо выделим следующий результат. Следствие 4.2. Пусть Γ -- дистанционно регулярный граф, в котором окрестности вершин – сильно регулярные графы с неглавным собственным значением 2. Тогда либо окрестности вершин в Γ -- объединения изолированных треугольников, либо Γ -- сильно регулярный граф с параметрами (6,4,2,4), (27,16,10,8), (35,16,6,8), (100,36,14,12), (162,56,10,24), 2 (176,40,12,8), (210,95,40,45), (245,64,18,16), (275,112,30,56), (372,56,10,8) или (486,100,22,20), либо диаметр Γ больше 2 и выполняется одно из следующих утверждений: (1) Γ является локально псевдо pG2(4,t)-графом Тэйлора; (2) Γ -- граф икосаэдра или граф Джонсона J(8,4); (3) Γ -- граф Тервиллигера с массивом пересечений {50,42,1;1,2,50} или {50,42,9;1,2,42}; (4) Γ -- антиподальное 3-накрытие сильно регулярного графа с параметрами (162,56,10,24), имеющее массив пересечений {56,45,16,1;1,8,45,56}; (5) Γ имеет массив пересечений {81,60,1;1,20,81}. Результаты диссертации докладывались на международных научных конференциях и семинарах. Совокупность этих результатов является существенным продвижением в развитии классического научного направления -- изучения конечных геометрий, симметричных графов и их автоморфизмов. Считаю, что диссертационная работа «Конечные геометрии, графы, их расширения и автоморфизмы» удовлетворяет требованиям ВАК, предъявляемым к докторским диссертациям по специальностям 01.01.04 – геометрия и топология и 01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория чисел, а ее автор, Нирова Марина Сефовна, заслуживает присуждения ей ученой степени доктора физико-математических наук. Научный консультант, зав. отделом алгебры и топологии ИММ УрО РАН член-корр. РАН А.А. Махнев 11 октября 2014 года 3