ОТЗЫВ_Mak_Kagaz

ОТЗЫВ
научного руководителя о диссертации Кагазежевой Алены Мухамедовны
«Сильно регулярные графы с собственным значением 3,
их расширения и автоморфизмы»,
представленной на соискание ученой степени кандидата
физико-математических наук по специальности 01.01.06
- математическая логика, алгебра и теория чисел
Изучение комбинаторно симметричных графов является одним из
наиболее важных направлений в теории графов. Это направление тесно
связано с теорией групп. Например, изучение сильно регулярных графов, в
частности, графов ранга 3 привело к открытию некоторых спорадических
конечных простых групп.
Задача описания локально GQ(s,t)-графов (графов, в которых
окрестности вершин являются точечными графами обобщенных
четырехугольников GQ(s,t)) является классической. Первоначально
предполагалась флаг-транзитивность действия группы автоморфизмов на
соответствующей диаграммной геометрии (П. Камерон, Д. Хьюз, А. Пасини,
С. Ешиара, и др.). Без дополнительных предположений задача решена для s <
4 (Ф. Бюкенхаут и К. Юбо для s = 2, А.А. Махнев и Д.В. Падучих,
независимо Д. Пасечник для s = 3).
Дж. Кулен предложил задачу изучения дистанционно регулярных
графов, в которых окрестности вершин – сильно регулярные графы со
вторым собственным значением, не большим t для данного натурального
числа t. Заметим, что сильно регулярный граф с нецелым собственным
значением является графом в половинном случае, а вполне регулярный граф,
в котором окрестности вершин – сильно регулярные графы в половинном
случае, либо имеет диаметр 2, либо являеься графом Тэйлора. Таким
образом, задача Кулена может быть решена пошагово для t=1,2,... .
А.М. Кагазежевой были предложены задачи описания вполне
регулярных локально GQ(4,11)-графов, изучения автоморфизмов сильно
регулярных графов с параметрами (96,45,24,18) и (320,99,18,36),
перечисления массивов пересечений дистанционно регулярных графов, в
которых окрестности вершин сильно регулярные графы со вторым
собственным значением 3 и параметрами (v',k',5,µ'), а также нахождения
автоморфизмов возникших графов. Отметим, что все встречающиеся выше
сильно регулярные графы имеют второе собственное значение 3
При изучении локально GQ(4,t)-графов, классификация для t=2 была
получена еще в 2001 г. (А.А. Махнев и Д.В. Падучих). Затем в работе
наступил перерыв до 2010 г., когда Д.В. Падучих обнаружил, что с помощью
программы GAP можно не только классифицировать гиперовалы в известных
обобщенных четырехугольниках, но и находить их пересечения.
1
В диссертации этот метод был применен при изучении локально
GQ(4,11)-графов (предложение 1).
В главе 2 диссертации изучены автоморфизмы сильно регулярных
графов с параметрами (96,45,24,18) и (320,99,18,36). А.А. Махнев и М.С.
Нирова
предложили
программу изучения
неизвестных
реберно
симметричных графов с числом вершин, не большим 100. В следствии
теоремы 2 установлено, что граф с параметрами (96,45,24,18) и
дополнительный к нему граф не являются реберно симметричными.
Во второй части главы 2 решаются некоторые задачи, связанные с
точно 4-изорегулярными графами. А именно, найдены возможные порядки и
подграфы неподвижных точек автоморфизмов графа с параметрами
(320,99,18,36) (если Γ – окрестность вершины в графе Izo(3), то вторая
окрестность вершины в графе Γ имеет параметры (320,99,18,36)). Ранее были
найдены автоморфизмы второй окрестности вершины в графе Izo(3) и
ее
локальных подграфов (Махнев А.А. и Нирова М.С., Махнев А.А. и Исакова
М.М., Махнев А.А. и Токбаева А.А.).
В главе 3 диссертации изучены графы, в которых окрестности вершин
сильно регулярны со вторым собственным значением 3 и параметрами
(v',k',5,µ'). Из описания параметров исключительных сильно регулярных
графов с неглавным собственным значением 3, полученного А.А. Махневым
и Д.В. Падучих легоко получается следующее утверждение.
Пусть Γ – исключительный сильно регулярный граф с неглавным
собственным значением 3. Если λ = 5, то Γ имеет параметры (21,10,5,4),
(111,30,5,9) или (169,42,5,12).
Следствие 3. Пусть Γ – дистанционно регулярный граф, в котором
окрестности вершин – сильно регулярные графы с собственным значением 3
и параметрами (v',k',5,µ'). Тогда окрестности вершин либо изоморфны
треугольному графу T(7) и Γ – половинный граф 7-куба, либо сильно
регулярны с параметрами (169,42,5,12) и Γ имеет массив пересечений
{169,126,1;1,42,169}.
В главе 4 изучаются автоморфизмы дистанционно регулярного графа с
массивом пересечений {169,126,1;1,42,169}. Здесь можно отметить
Следствие 4. Пусть Γ – дистанционно регулярный граф с массивом
пересечений {169,126,1;1,42,169}, в котором окрестности вершин сильно
регулярны с параметрами (169,42,5,12). Если G = Aut(Γ) – неразрешимая
группа, действующая транзитивно на множестве вершин графа Γ, то S=S(G)
является элементарной абелевой 2-группой, факторгруппа G= G/S изоморфна
Sp_4(4), для вершины a из Γ имеем Ga = 26:(Z 3 × A5), S содержит нормальную
в G подгруппу K порядка 4, регулярную на каждом антиподальном классе,
|S:S{F}|=2 для антиподального класса F, S/K является неприводимым
F2Sp 4(4)-модулем порядка 28, 216 или 232 и C_S(f) = K для элемента f порядка
17 из G.
Отметим, что переход от реберно симметричных к вершинно
симметричным графам зачастую приводит к задачам, связанным с
модулярными представлениями конечных почти простых групп.
2
Результаты диссертации докладывались на международных научных
конференциях и семинарах. Автореферат полно и правильно отражает
содержание диссертации.
Диссертационная работа «Сильно регулярные графы с собственным
значением 3, их расширения и автоморфизмы» является законченным
научным исследованием, в котором получено существенное продвижение в
классическом научном направлении – изучении симметричных графов
и их автоморфизмов.
Считаю, что диссертационная работа «Сильно регулярные графы с
собственным значением 3, их расширения и автоморфизмы» удовлетворяет
требованиям ВАК, предъявляемым к кандидатским диссертациям по
специальности 01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория чисел, а
ее автор, Кагазежева Алена Мухамедовна заслуживает присуждения ей
ученой степени кандидата физико-математических наук.
Научный руководитель, зав. отделом
алгебры и топологии ИММ УрО РАН
член-корр. РАН
А.А. Махнев
21 июля 2015 года
3