3. Оценка параметров сигнала.

Лекция №8
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
СТАТИСТИЧЕСКОГО СИНТЕЗА
ОПТИМАЛЬНЫХ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ
УСТРОЙСТВ
Процесс
передачи
и
преобразования
информационных
сигналов
в
любых
радиотехнических
устройствах
всегда
сопровождается воздействием различного рода
помех. Поэтому принимаемый сигнал всегда
искажен помехами.
Никакие
конструктивные
решения
не
позволяют полностью устранить вредное
влияние помех. И тем не менее можно и
необходимо строить приемные устройства
таким образом, чтобы свести искажающее
воздействие помех на полезный сигнал к
минимуму.
Приемник, обеспечивающий минимальные
искажения
передаваемого
сообщения,
называется оптимальным (наилучшим). В
зависимости
от
назначения
приемного
устройства существуют различные критерии и
количественные
характеристики
для
определения уровня искажений полезных
сигналов.
При заданных условиях приема и выбранном
соответствующем
критерии
оптимальный
приемник
обеспечивает
минимально
возможный
уровень
искажений.
Этот
минимальный уровень искажений называется
потенциальной помехоустойчивостью.
Потенциальная помехоустойчивость никогда
не может быть превзойдена реальным
приемным
устройством.
Совершенствуя
конструктивно реальный приемник, можно лишь
стремиться
к
достижению
уровня
потенциальной помехоустойчивости.
Существует и другой путь повышения уровня
помехоустойчивости радиотехнических систем.
Он связан с созданием наилучших видов
передаваемых сигналов. Сигнал, для которого
при
заданных
условиях
радиоприема
достигается
наибольшая
потенциальная
помехоустойчивость, называется наилучшим.
Классификация задач
оптимальных методов
радиоприема
Обилие
задач,
решаемых
радиотехническими
устройствами,
обусловливает
разнообразие
оптимальных радиоприемных устройств
для их решения.
Рассмотрим
общепринятую
в
статистической
радиотехнике
классификацию основных задач теории
оптимальных методов радиоприема.
1. Обнаружение сигнала.
Пусть принимается колебание ut  о котором
известно, что оно представляет собой либо
сумму сигнала s(t) и помехи nt  , либо одну
помеху nt  , т.е. нам неизвестен сам факт
наличия или отсутствия сигнала s(t) в принятом
колебании ut  . Математическая модель такого
колебания запишется в виде:
ut   st   nt 
0t T
где  случайная величина, принимающая
два значения:   1 с вероятностью p1 (сигнал
присутствует) и   0 с вероятностью p0  1  p1
(сигнал отсутствует); T - интервал наблюдения
колебания u t  .
Необходимо
по
принятой
конкретной
ut  на интервале 0, T 
реализации
оптимальным образом принять решение о
наличии или отсутствии в ней сигнала s(t) .
Такая задача характерна для радиолокации и
носит название "обнаружение сигнала на фоне
помехи". В результате этой задачи должна быть
получена структурная схема оптимального
обнаружителя сигнала и найдены его основные
характеристики: вероятности правильного и
ошибочного принятия решения. Естественно,
необходимо
стремиться
к
тому,
чтобы
вероятность правильного решения была
намного больше вероятности ошибочного.
2. Различение сигналов.
Возможна ситуация, когда в принятом
колебании u t  может присутствовать один из
двух сигналов: s1 t  или s2 t  , т.е.
ut   s1 t   1  s2 t   nt 
0t T
Здесь случайная величина  также может
принимать
только
два
значения:   1 с
вероятностью p1(присутствует сигнал s1 t  или
  0 с вероятностью p2  1  p1 (присутствует
сигнал s2 t  ).
По принятой реализации необходимо
вынести решение, какой из сигналов s1 t 
или s2 t  присутствует в этом колебании
т.е. требуется оптимальным образом
оценить значение случайной величины  .
Если s2 t   0
двух сигналов
обнаружения.
, то задача различения
переходит в задачу
Обобщением задачи различения двух
сигналов является задача различения n  2
сигналов s1 t , s2 t ,..., sn t  . Такая задача
значительно сложнее задачи различения
двух сигналов.
Отметим, что задача различения двух
сигналов
характерна
для
систем
передачи
бинарных
сообщений,
например,
в
телеграфии.
Задача
различения n  2 сигналов решается в
системах радиосвязи и телеуправления.
3. Оценка параметров сигнала.
Пусть принятое колебание u t  представляет
собой сумму полезного сигнала
st ,   ,
зависящего от некоторого параметра  , и
помехи nt  :
0t T
ut   st ,    nt 
Параметр  сигнала st ,   является
случайной
величиной
с
априорной
плотностью вероятности pапр   *
* Априорная плотность вероятности это плотность вероятности случайной величины
до опыта, в данном случае до наблюдения
колебания.
Необходимо по принятой реализации ut 
t  0, T  оптимальным образом, т.е. с
минимальной погрешностью оценить
значение неизвестного параметра  .
Обобщением данной задачи является
вариант, когда сигнал st , 1 ,...,  n зависит от
n  2 параметров.
В
этом
случае
ставится задача совместной оценки двух
и большего числа параметров.
Такого типа задачи характерны для
измерительной техники, радиолокации и
радионавигации.
4. Фильтрация сообщений.
Пусть
информационный
параметр  ,от
которого зависит полезный сигнал st ,   ,
изменяется во времени, т.е. представляет
t  , о котором
собой случайный процесс
известны в той или иной мере вероятностные
характеристики. Необходимо из принятого
колебания
ut   st , t   nt 
0t T
основываясь
на
известной
априорной
информации о параметре t  и помехе nt ,
отфильтровать, т.е. получить наилучшим
образом
оценку
реализации
случайного
сообщения t  .
Если за время наблюдения Т случайный
процесс t  почти не претерпевает изменений,
т.е.
, то задача фильтрации
t   const
сообщения переходит в задачу оценки
параметра сигнала. Следовательно, задача
фильтрации является более общей, чем задача
оценки параметра сигнала.
Задачи фильтрации сообщений решаются в
системах
радиосвязи
и
телеметрии,
в
телевидении и радиолокации.
Следует заметить, что описанные выше
задачи оптимальных методов радиоприема
могут
объединяться
в
конкретных
радиосистемах. Так, весьма часто задача
обнаружения сигнала сочетается с оценкой его
параметров или фильтрацией сообщения.
Апостериорная плотность
вероятности
Решение задач оптимального радиоприема
проводится
на
основе
априорных
(предварительных) сведений о подлежащем
приему
колебании
и
соответствующей
обработки реализации принятого колебания.
Естественно,
что
по
сравнению
с
априорными сведениями, знания о принятом
колебании увеличиваются при анализе его
принятой реализации. При этом вновь
сформированное
знание
называется
апостериорным.
Пусть производиться наблюдение над
реализацией колебания
ut   st ,    nt 
0t T
причем ut  регистрируются
значения
колебания
в дискретные моменты
времени 0  t1  t 2  ...  t m  T .Полученная
последовательность отсчетов u  ut ,..., u  ut 
как известно, описывается совместной
плотностью вероятности pu u1 , u 2 ,..., u m  .
1
1
m
m
Полезный сигнал зависит от одного
неизвестного параметра  , имеющего
априорную плотность вероятности pапр   .
Знание
отсчетов u1 , u2 ,..., um увеличивает
информацию о значении параметра 
сигнала st ,   .
При этом вся вновь приобретаемая
информация о параметре  содержится в
условной плотности вероятности которую
и называют апостериорной плотностью
вероятности
pапос    p u1 , u2 ,..., um 
Для совместной плотности вероятности
параметра 
и отсчетов
в
u1 , u 2 ,..., u m
соответствии
с
теоремой
умножения
вероятностей имеем:
pапос  ; u1 , u2 ,..., um   pu u1 , u2 ,..., um   p u1 , u2 ,..., um  
 pапр   pu1 , u2 ,..., um  
Принимая во внимание второе равенство и
pu u1 , u 2 ,..., u m 
учитывая, что
не зависит от
параметра  , для апостериорной плотности
вероятности имеем:
pапос    k  pапр   pu1 , u2 ,..., um  
где коэффициент
нормировки.
k определяется из условия
В
теории
оптимальных
методов
радиоприема условная плотность pu1 , u2 ,..., um 
из рассматриваемая как функция от  ,
носит название функции правдоподобия.
Такое название можно объяснить тем, что
u1 , u 2 ,..., u m данная
при фиксированных
функция показывает, насколько одно
возможное значение параметра  более
правдоподобно, чем другое. Обозначим
эту функцию через  :
   pu1 , u 2 ,..., u m  
Тогда
для
апостериорной
вероятности функция примет вид:
плотности
pапос    k  pапр     
где из условий нормировки
k   pапр     

где  множество возможных значений
параметра  .
Если параметр  принимает конечное или
счетное число значений, то в выражении
интеграл заменяется конечной или бесконечной
суммой соответственно.
Обычно полагают, что априорная плотность
вероятности
pапр   параметра  известна,
поэтому нахождение апостериорной плотности
вероятности pапос   параметра  сводится к
вычислению функции правдоподобия  .
Если принимаемое колебание представляет
собой аддитивную смесь полезного сигнала st ,  
и шума
и известна многомерная
nt 
плотность вероятности шума pn n1 , n2 ,..., nm  то
функция правдоподобия находится довольно
просто. В противном случае вычисление
функции правдоподобия представляет весьма
сложную задачу.